Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. वे ग्रामीण क्षेत्रों को बंदरगाहों और औद्योगिक केंद्रों से जोड़ते थे/They connected rural areas with ports and industrial centers
Explanation
Simple Explanation
रेलवे का प्रभाव दोहरा था क्योंकि संपर्क भी बढ़ा और निकासी भी आसान हुई। परीक्षा में संतुलित मूल्यांकन लिखें। / Railways had a dual effect as they increased contact and eased extraction. For exams write balanced evaluation.
D. निर्यात संसाधन प्रवाह और सैन्य प्रशासनिक नियंत्रण/Export resource flow and military administrative control
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक ढांचा अक्सर संसाधन निकासी और नियंत्रण के लिए बनाया गया। परीक्षा में लाभार्थी को पहचानें। / Colonial infrastructure was often built for resource extraction and control. For exams identify the beneficiary.
A. वे अक्सर खनन क्षेत्रों बंदरगाहों और निर्यात मार्गों को जोड़ते थे/They often connected mining areas ports and export routes
Explanation
Simple Explanation
रेलमार्गों का ढांचा औपनिवेशिक व्यापार और संसाधन निकासी से जुड़ा था। परीक्षा में रेल बंदरगाह और खदानें साथ पढ़ें। / Railway networks were linked with colonial trade and resource extraction. For exams study railways ports and mines together.
A. उन्होंने संपर्क बढ़ाया लेकिन संसाधन निकासी और सैन्य नियंत्रण भी आसान किया/They increased connectivity but also eased resource extraction and military control
Explanation
Simple Explanation
रेलवे विकास और औपनिवेशिक हित दोनों से जुड़ा था। परीक्षा में आधारभूत ढांचे का संतुलित विश्लेषण करें। / Railways were linked with both development and colonial interests. For exams analyze infrastructure in a balanced way.
A. उन्होंने लोगों विचारों और राजनीतिक संदेशों का संपर्क बढ़ाया/They increased contact of people ideas and political messages
Explanation
Simple Explanation
रेलवे औपनिवेशिक हित में बने पर राष्ट्रवादी संपर्क भी बढ़ा। परीक्षा में ढांचे का दोहरा प्रभाव याद रखें। / Railways were built for colonial interests but also increased nationalist contact. For exams remember the dual effect of infrastructure.
A. उन्होंने संपर्क बढ़ाया पर संसाधन निकासी और सैन्य नियंत्रण भी आसान किया/They increased connectivity but also eased resource extraction and military control
Explanation
Simple Explanation
रेलवे का विकास और शोषण दोनों पक्षों से संबंध था। परीक्षा में आधारभूत ढांचे का संतुलित विश्लेषण करें। / Railways were linked with both development and exploitation. For exams analyze infrastructure in a balanced way.
A. जन संपर्क और राजनीतिक संदेश फैलाने के लिए/To spread public contact and political messages
Explanation
Simple Explanation
रेलवे औपनिवेशिक हित में बना लेकिन इससे जनता और विचारों का संपर्क भी बढ़ा। परीक्षा में ढांचे का दोहरा प्रभाव समझें। / Railways were built for colonial interests but also increased contact of people and ideas. For exams understand dual impact of infrastructure.
A. यातायात सुविधा और औपनिवेशिक आर्थिक हित दोनों/Both transport facility and colonial economic interest
Explanation
Simple Explanation
रेलवे से संपर्क बढ़ा लेकिन संसाधन और माल ढुलाई भी तेज हुई। परीक्षा में विकास और शोषण दोनों पक्ष लिखें। / Railways improved connectivity but also sped up transport of resources and goods. For exams write both development and exploitation sides.
A. वे संसाधन निकालने और निर्यात व्यापार को तेज करने में सहायक थे/They helped extract resources and speed up export trade
Explanation
Simple Explanation
रेल और बंदरगाह औपनिवेशिक ढांचे के आर्थिक उपकरण भी थे। परीक्षा में विकास और शोषण दोनों पक्ष देखें। / Railways and ports were also economic tools of colonial infrastructure. For exams see both development and exploitation sides.
A. क्योंकि वे अक्सर संसाधन ढुलाई और व्यापारिक हितों से भी जुड़े थे/Because they were often linked with resource transport and commercial interests
Explanation
Simple Explanation
रेलवे ने परिवहन सुधारा लेकिन औपनिवेशिक आर्थिक हित भी साधे। परीक्षा में ढांचे के दोहरे पक्ष को याद रखें। / Railways improved transport but also served colonial economic interests. For exams remember the dual nature of infrastructure.
A. संसाधनों को बंदरगाहों तक पहुंचाना/Carrying resources to ports
Explanation
Simple Explanation
रेलवे से माल और संसाधन ढुलाई आसान हुई। परीक्षा में इसे औपनिवेशिक आर्थिक हित से जोड़ें। / Railways made transport of goods and resources easier. For exams connect it with colonial economic interest.
A. संसाधन निकालना और माल ढोना/Extracting resources and carrying goods
Explanation
Simple Explanation
रेलवे ने संसाधनों और माल को बंदरगाहों तक पहुंचाने में मदद की। परीक्षा में ढांचा और औपनिवेशिक अर्थव्यवस्था साथ पढ़ें। / Railways helped move resources and goods to ports. For exams study infrastructure with colonial economy.
C. संसाधनों और माल की ढुलाई आसान करने के लिए/To make transport of resources and goods easier
Explanation
Simple Explanation
रेल से संसाधन बंदरगाहों तक पहुंचाना आसान हुआ। परीक्षा में औपनिवेशिक ढांचा और आर्थिक हित साथ पढ़ें। / Railways made it easier to move resources to ports. For exams study colonial infrastructure with economic interests.
A. उन्होंने वस्तुओं और लोगों की आवाजाही तेज और सस्ती की/They made movement of goods and people faster and cheaper
Explanation
Simple Explanation
रेलवे ने क्षेत्रीय बाजारों को व्यापक राष्ट्रीय बाजारों से जोड़ा। परीक्षा में परिवहन और बाजार को साथ समझें। / Railways linked regional markets with wider national markets. For exams understand transport and markets together.
C. भाप शक्ति और लोहे के उपयोग/Steam power and use of iron
Explanation
Simple Explanation
भाप शक्ति और लोहे ने रेल परिवहन के विकास में मदद की। परीक्षा में रेल को औद्योगिक क्रांति के परिवहन बदलाव से जोड़ें। / Steam power and iron helped the development of railway transport. For exams connect railways with transport change in the Industrial Revolution.
A. विभिन्न क्षेत्रों के लोगों और विचारों का संपर्क बढ़ा/Contact among people and ideas from different regions increased
Explanation
Simple Explanation
रेलवे औपनिवेशिक हित के लिए बनी पर उसने भारतीयों को जोड़ने में भी भूमिका निभाई। परीक्षा में औपनिवेशिक साधनों के दोहरे प्रभाव याद रखें। / Railways were built for colonial interests but also helped connect Indians. Exam tip is to remember the dual effects of colonial tools.
A. इसने लोगों और वस्तुओं की आवाजाही को आसान बनाया/It made movement of people and goods easier
Step 1
Concept
रेलवे का आर्थिक प्रभाव पहचानें। / Identify the economic effect of railways.
Step 2
Why this answer is correct
इससे दूरी और समय की बाधा कम हुई। / They reduced the barriers of distance and time.
Step 3
Exam Tip
आसान आवागमन ने बाजारों और लोगों को जोड़कर राष्ट्रीय भावना को बल दिया। / Easier movement connected markets and people and strengthened national feeling.
A. उन्होंने कच्चे माल और तैयार माल की ढुलाई को तेज और सस्ता किया/They made transport of raw materials and finished goods faster and cheaper
Explanation
Simple Explanation
परिवहन सुधार ने बाजारों को जोड़ा और उत्पादन बढ़ाया। परीक्षा में रेल को औद्योगीकरण का विस्तारक मानें। / Transport improvement linked markets and increased production. For exams treat railways as an extender of industrialization.
A. विशाल दूरी में सेना को भोजन ईंधन और गोला बारूद पहुंचाना कठिन था/It was difficult to deliver food fuel and ammunition across vast distances
Explanation
Simple Explanation
पूर्वी मोर्चे की विशालता ने रसद को निर्णायक बना दिया। परीक्षा में लड़ाई को केवल मोर्चे पर नहीं आपूर्ति में भी देखें। / The vastness of the Eastern Front made logistics decisive. For exams see war not only at the front but also in supply.
A. कच्चा माल बंदरगाहों तक और ब्रिटिश माल बाजारों तक पहुँचाने के लिए/To move raw materials to ports and British goods to markets
Explanation
Simple Explanation
रेलवे औपनिवेशिक व्यापार और प्रशासन दोनों के लिए उपयोगी थी। परीक्षा में रेलवे को आर्थिक शोषण और एकता दोनों संदर्भों में समझें। / Railways served both colonial trade and administration. Exam tip is to understand railways in both exploitation and unity contexts.
लॉर्ड डलहौजी के समय रेल, डाक और तार का विस्तार हुआ। परीक्षा में उसे आधुनिक संचार और परिवहन से जोड़ें। / Railways, post and telegraph expanded during Lord Dalhousie's time. Exam tip: connect him with modern communication and transport.
A. नकदी फसल लाभ और जबरन श्रम का गठजोड़/Link between cash crop profit and forced labour
Explanation
Simple Explanation
चीनी बागान दास श्रम और यूरोपीय बाजार से जुड़े थे। परीक्षा में कैरेबियन को श्रम शोषण से जोड़ें। / Sugar plantations were linked with slave labour and European markets. For exams connect the Caribbean with labour exploitation.
कैरेबियन क्षेत्र में चीनी बागान और श्रम शोषण महत्वपूर्ण थे। परीक्षा में चीनी और दास श्रम साथ याद रखें। / Sugar plantations and labour exploitation were important in the Caribbean. For exams remember sugar with slave labour.
पहला अंतर (12-5=7) और दूसरा (26-19=7) है। समान अंतर समांतर श्रेढ़ी की पुष्टि करता है। / The first difference is (12-5=7), and the second is (26-19=7). Equal differences confirm an arithmetic progression.
नए अनुक्रम में दो-दो मूल पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (2d) है। परीक्षा में पद-संख्या की छलांग को (d) से गुणा करें। / The new sequence jumps two original terms each time, so the difference is (2d). In exams, multiply (d) by the term-number jump.
उलटने पर हर कदम का अंतर विपरीत चिन्ह वाला हो जाता है। परीक्षा में उलटा क्रम (d) को (-d) कर देता है। / Reversing changes each step to the opposite sign. In exams, reverse order changes (d) to (-d).
नए अनुक्रम में हर बार तीन पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (3d=12) है। परीक्षा में चुने गए पदों के बीच की दूरी गिनें। / The new sequence jumps three original terms each time, so its difference is (3d=12). In exams, count the gap between selected term numbers.
\(\frac{1}{3}\) से गुणा करने पर अंतर (-9) से (-3) हो जाता है, और (5) जोड़ने से अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में जोड़ और गुणन के प्रभाव अलग करें। / Multiplying by \(\frac{1}{3}\) changes the difference from (-9) to (-3), and adding (5) does not change it. In exams, separate the effects of addition and multiplication.
पदों को (2) से गुणा करने पर अंतर भी (2) गुना हो जाता है, इसलिए (8)। परीक्षा में जोड़ना-घटाना अंतर नहीं बदलता, गुणा बदलता है। / Multiplying terms by (2) multiplies the difference by (2), so it becomes (8). In exams, adding or subtracting a constant does not change the difference, but multiplication does.
पहले अनुक्रम का (d=4) और दूसरे का (d=6) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=4-6=-2)। पद-दर-पद अंतर में सार्व अंतरों का अंतर लें। / The first sequence has (d=4) and the second has (d=6), so the difference sequence has (d=4-6=-2). In termwise difference, take the difference of common differences.
तीसरा पद (63) और चौथा (57) है इसलिए अंतर (57-63=-6) है। अंतर निकालते समय अगला पद घटा पिछला पद करें। / The third term is (63) and the fourth is (57), so the difference is (57-63=-6). While finding difference subtract the previous term from the next term.
तीसरा पद (36) और चौथा (33) है इसलिए (33-36=-3)। अंतर निकालते समय बाद वाला पद घटा पहले वाला पद करें। / The third term is (36) and the fourth is (33), so (33-36=-3). While finding the difference subtract the previous term from the next term.
दूसरा पद (10) और तीसरा पद (14) है इसलिए अंतर (14-10=4) है। यह (d) के बराबर है। / The second term is (10) and the third term is (14), so the difference is (14-10=4). It equals (d).
सार्व अंतर (90-100=-10) है। घटते अनुक्रम में उत्तर का चिह्न जरूर देखें। / The common difference is (90-100=-10). In a decreasing sequence carefully check the sign.
पहला पद (20) है और (15-20=-5) है। क्रमशः पूछे जाने पर क्रम का ध्यान रखें। / The first term is (20) and (15-20=-5). When asked respectively keep the order in mind.
A. कठिन पर्वतीय ढाल पर रेलवे निर्माण/Railway construction on difficult mountain slopes
Explanation
Simple Explanation
यह पर्वतीय भूभाग में रेलवे इंजीनियरिंग का उदाहरण है। परीक्षा में भारत की पर्वतीय रेलें याद रखें। / It is an example of railway engineering in mountainous terrain. For exams remember Mountain Railways of India.
B. भारत की पर्वतीय रेलें/Mountain Railways of India
Explanation
Simple Explanation
भारत की पर्वतीय रेलें कठिन पर्वतीय मार्गों पर रेलवे इंजीनियरिंग दिखाती हैं। परीक्षा में तकनीकी धरोहर याद रखें। / Mountain Railways of India show railway engineering on difficult mountain routes. For exams remember technical heritage.
D. पर्वतीय रेलवे विरासत और इंजीनियरिंग/Mountain railway heritage and engineering
Explanation
Simple Explanation
नीलगिरि पर्वतीय रेलवे भारत की विरासत रेल प्रणाली का हिस्सा है। परीक्षा में तमिलनाडु और नीलगिरि याद रखें। / Nilgiri Mountain Railway is part of India's heritage railway system. For exams remember Tamil Nadu and Nilgiri.
A. विरासत परिवहन और पर्वतीय रेलवे/Heritage transport and mountain railway
Explanation
Simple Explanation
दार्जिलिंग हिमालयन रेलवे भारत की पर्वतीय रेल धरोहर का हिस्सा है। परीक्षा में विरासत परिवहन याद रखें। / Darjeeling Himalayan Railway is part of India's mountain railway heritage. For exams remember heritage transport.
C. भारत की पर्वतीय रेलें/Mountain Railways of India
Explanation
Simple Explanation
कालका शिमला रेलवे भारत की पर्वतीय रेलों का हिस्सा है। परीक्षा में विरासत रेलवे याद रखें। / Kalka Shimla Railway is part of Mountain Railways of India. For exams remember heritage railways.
A. भारत की पर्वतीय रेलें/Mountain Railways of India
Explanation
Simple Explanation
दार्जिलिंग हिमालयन रेलवे भारत की पर्वतीय रेलों का हिस्सा है। परीक्षा में पर्वतीय रेल और विरासत परिवहन याद रखें। / Darjeeling Himalayan Railway is part of Mountain Railways of India. For exams remember mountain railway and heritage transport.
रेलवे और बंदरगाह संसाधन ढुलाई और व्यापार के लिए बनाए जाते थे। परीक्षा में ढांचे को आर्थिक हित से जोड़ें। / Railways and ports were built for resource movement and trade. For exams connect infrastructure with economic interest.
A. रेलवे ने लोगों को गेटो और शिविरों तक संगठित रूप से पहुंचाने में मदद की/Railways helped systematically transport people to ghettos and camps
Explanation
Simple Explanation
आधुनिक परिवहन का उपयोग नरसंहार में हुआ। परीक्षा में तकनीक का नैतिक उपयोग और दुरुपयोग समझें। / Modern transport was used in genocide. For exams understand ethical use and misuse of technology.
B. अंग्रेजों को सूचना और सैनिक सहायता जल्दी पहुंचाने में मदद मिली/The British could move information and military support quickly
Explanation
Simple Explanation
संचार और यातायात ने अंग्रेजी दमन को तेज बनाया। परीक्षा में तकनीकी साधनों का राजनीतिक प्रभाव समझें। / Communication and transport made British suppression faster. Exam tip: understand political effects of technology.
B. कच्चा माल और ब्रिटिश माल के आवागमन को सरल बनाना/To ease movement of raw materials and British goods
Explanation
Simple Explanation
रेलवे ने बाजारों बंदरगाहों और कच्चे माल के क्षेत्रों को जोड़ा। परीक्षा में रेलवे को आर्थिक और प्रशासनिक साधन दोनों मानें। / Railways linked markets ports and raw material areas. Exam tip is to see railways as both economic and administrative tools.
भारत में पहली रेलगाड़ी 1853 में बंबई से ठाणे के बीच चली। परीक्षा में रेल को ब्रिटिश आर्थिक और प्रशासनिक नियंत्रण से जोड़ें। / The first train in India ran in 1853 between Bombay and Thane. Exam tip is to link railways with British economic and administrative control.
हर पद से समान संख्या घटाने पर अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में समान घटाव को केवल पहला पद बदलने वाला समझें। / Subtracting the same number from every term does not change the difference. In exams, treat uniform subtraction as changing only the first term.
गुणन से सभी अंतर उसी गुणक से गुणा होते हैं, इसलिए नया अंतर (-3d) है। परीक्षा में रूपांतरण का असर अंतर पर लगाएं। / Multiplication scales all differences by the same factor, so the new difference is (-3d). In exams, apply the transformation to the difference.
चुना गया अनुक्रम \(5,19,33,\ldots\) होगा और इसका अंतर (14) है। हर दूसरा पद लेने पर नया (d) मूल (d) का (2) गुना होता है। / The selected sequence is \(5,19,33,\ldots\), and its difference is (14). Selecting every second term makes the new (d) twice the original (d).
मूल (d=5) है और (4n) का (d=4) है, इसलिए नया (d=1)। पद संख्या से जुड़े परिवर्तन में उसके अंतर को घटाएं। / The original (d=5), and (4n) has (d=4), so the new (d=1). In term-number changes, subtract its difference.
पहले अनुक्रम का (d=5) और दूसरे का (d=6) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=5-6=-1)। पद-दर-पद अंतर में सार्व अंतरों का अंतर लें। / The first sequence has (d=5) and the second has (d=6), so the difference sequence has (d=5-6=-1). In termwise difference, take the difference of common differences.
नए पद (a+3,a+d+6,a+2d+9) हैं और दोनों अंतर (d+3) हैं। क्रमशः बढ़ते जोड़ का अंतर (d) में जुड़ता है। / The new terms are (a+3,a+d+6,a+2d+9), and both differences are (d+3). The difference of the added numbers is added to (d).
पहले से पांचवें पद तक (4) अंतर हैं, इसलिए (4d=-20) और (d=-5)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक होता है। / From the first to the fifth term there are (4) gaps, so (4d=-20) and (d=-5). In a decreasing progression, (d) is negative.
(1.05-0.60=0.45) और (1.50-1.05=0.45) है। दशमलव में शून्य लगाकर घटाना सुरक्षित है। / (1.05-0.60=0.45) and (1.50-1.05=0.45). Adding zeros makes decimal subtraction safer.
सभी पदों में समान संख्या जोड़ने से सार्व अंतर नहीं बदलता। मूल (d=20-24=-4) है, इसलिए नया (d=-4) ही रहेगा। / Adding the same number to all terms does not change the common difference. The original (d=20-24=-4), so the new (d) remains (-4).
\(\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\) है। भिन्नों में समान हर होने पर अंशों का अंतर लें। / \(\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\). When denominators are equal, subtract the numerators.
नए पद (a+2, a+d+4, a+2d+6) हैं और दोनों अंतर (d+2) हैं। क्रमशः बढ़ते जोड़ का अंतर (2) भी (d) में जुड़ता है। / The new terms are (a+2, a+d+4, a+2d+6), and both differences are (d+2). The difference (2) of the added numbers is also added to (d).
दूसरे से पांचवें पद तक (3) अंतर हैं, इसलिए (3d=-18) और (d=-6)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक रहता है। / From the second to the fifth term there are (3) gaps, so (3d=-18) and (d=-6). In a decreasing progression, (d) remains negative.
तीसरे से सातवें पद तक (4) अंतर होते हैं, इसलिए (4d=28) और (d=7)। पदों की दूरी को अंतरालों की संख्या में बदलें। / From the third to the seventh term there are (4) gaps, so (4d=28) and (d=7). Convert term distance into number of gaps.
(-1-\left\(-\frac{7}{4}\right\)=\frac{3}{4}) और अगला अंतर भी \(\frac{3}{4}\) है। ऋणात्मक भिन्नों में घटाव सावधानी से करें। / (-1-\left\(-\frac{7}{4}\right\)=\frac{3}{4}), and the next difference is also \(\frac{3}{4}\). Be careful while subtracting negative fractions.
(2(2x+1)=13+(4x-5)) से (2=8) असंभव है। इसलिए ऐसा सामान्य अंतर नहीं होगा। / From (2(2x+1)=13+(4x-5)), we get (2=8), which is impossible. Therefore no such common difference exists.
सभी पद समान हों तो हर अंतर (0) होता है। स्थिर क्रम भी समांतर श्रेणी होता है। / When all terms are equal, every difference is (0). A constant sequence is also an arithmetic progression.
हर अगला पद पिछले से (4) कम है, इसलिए (d=-4). घटती समांतर श्रेणी में सामान्य अंतर ऋणात्मक होता है। / Each next term is (4) less than the previous one, so (d=-4). A decreasing arithmetic progression has a negative common difference.
पहले विकल्प में हर लगातार अंतर \(\frac{3}{4}\) है। भिन्नों में हर को समान बनाकर अंतर निकालना सुरक्षित तरीका है। / In the first option, every consecutive difference is \(\frac{3}{4}\). With fractions, using common denominators is the safer method.
अंतर (-x+8) और (-2x+16) हैं। बराबर करने पर (x=8), इसलिए (d=0) नहीं बल्कि (d=0) आता है। / The differences are (-x+8) and (-2x+16). Equating them gives (x=8), so (d=0), not (8).
हर अगला पद पिछले पद से (d) कम है। इसलिए सामान्य अंतर (-d) है। / Each next term is (d) less than the previous term. Therefore the common difference is (-d).
(2y=9+(2y+6)) से (0=15) नहीं, इसलिए यह कभी समांतर श्रेणी नहीं बनती। सही विकल्पों में ऐसा कोई सामान्य अंतर नहीं है। / From (2y=9+(2y+6)), we get (0=15), so it never forms an arithmetic progression. None of the listed values can be its common difference.
(20,16,12,8) में हर बार (4) घटता है, इसलिए (d=-4). केवल घटते क्रम को देखकर नहीं, बराबर अंतर भी जांचें। / In (20,16,12,8), (4) is subtracted each time, so (d=-4). Do not just see decreasing order; check equal differences too.
पहले (2(2p+1)=(p-4)+(4p-2)) से (p=8) मिलता है। तब सामान्य अंतर ((2p+1)-(p-4)=13) है। / First, (2(2p+1)=(p-4)+(4p-2)) gives (p=8). Then the common difference is ((2p+1)-(p-4)=13).
A. (d=-1) वाली अंकगणितीय श्रेणी/Arithmetic progression with (d=-1)
Explanation
Simple Explanation
पहले (d=4) और दूसरे (d=5) हैं, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=4-5=-1)। दो अंकगणितीय श्रेणियों का पद-दर-पद अंतर भी अंकगणितीय श्रेणी होता है। / The first has (d=4) and the second has (d=5), so the difference sequence has (d=4-5=-1). The termwise difference of two arithmetic progressions is also an arithmetic progression.
नए पद (a+1, a+d+2, a+2d+3) हैं और दोनों अंतर (d+1) हैं। क्रमशः बढ़ती हुई जोड़ से (d) में (1) जुड़ता है। / The new terms are (a+1, a+d+2, a+2d+3), and both differences are (d+1). Adding increasing numbers respectively adds (1) to (d).
दोनों सार्व अंतर (3) और (5) हैं, इसलिए योग अनुक्रम का (d=3+5=8)। पद-दर-पद योग में सार्व अंतरों का योग होता है। / The two common differences are (3) and (5), so the sum sequence has (d=3+5=8). In termwise addition, common differences add.
पहले तीन विकल्पों में (d=-8) है, लेकिन \(81,72,63,54,\ldots\) में (d=-9) है। विकल्पों में मान और चिह्न दोनों देखें। / The first three options have (d=-8), but \(81,72,63,54,\ldots\) has (d=-9). Check both value and sign in the options.
चौथे और पहले पद के बीच (3) अंतर हैं, इसलिए (3d=-15) और (d=-5)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक रखें। / There are (3) gaps between the fourth and first terms, so (3d=-15) and (d=-5). Keep (d) negative for a decreasing progression.
दूसरे से पांचवें पद तक (3) अंतर होते हैं, इसलिए (3d=18) और (d=6)। पदों की दूरी को अंतरों की संख्या में बदलें। / From the second to the fifth term there are (3) gaps, so (3d=18) and (d=6). Convert distance between terms into number of gaps.
(1.20-0.75=0.45) और (1.65-1.20=0.45) है। दशमलव में शून्य लगाकर घटाना बेहतर होता है। / (1.20-0.75=0.45) and (1.65-1.20=0.45). In decimals, adding zeros helps subtraction.
मूल सार्व अंतर (5) है, इसलिए (3) से गुणा करने पर नया (d=15) होगा। सभी पदों को समान गुणक से गुणा करने पर (d) भी उसी गुणक से गुणा होता है। / The original common difference is (5), so after multiplying by (3), the new (d=15). When all terms are multiplied by the same factor, (d) is multiplied by that factor too.
सभी पदों में समान (5) जोड़ने से (d) नहीं बदलता, इसलिए (d=-4) रहेगा। समान जोड़ या घटाव से सार्व अंतर अपरिवर्तित रहता है। / Adding the same (5) to all terms does not change (d), so (d=-4) remains. Equal addition or subtraction keeps the common difference unchanged.
दोनों अंतर बराबर रखने पर ((3x+10)-(5x+2)=(x+18)-(3x+10)), जिससे पहचान समानता बनती है और (d=8-2x)। इसलिए यह हर (x) पर अंकगणितीय श्रेणी है, लेकिन (d) निश्चित नहीं है। / Equating differences gives ((3x+10)-(5x+2)=(x+18)-(3x+10)), which is an identity, so (d=8-2x). Therefore it is an arithmetic progression for every (x), but (d) is not fixed.
\(\frac{7}{10}-\frac{2}{5}=\frac{3}{10}\) और \(1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}\) है। भिन्नों में हर समान करना न भूलें। / \(\frac{7}{10}-\frac{2}{5}=\frac{3}{10}\) and \(1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}\). Do not forget to use common denominators in fractions.
सार्व अंतर ((8+s)-8=s) है। अक्षर वाले अनुक्रम में भी समान जोड़ा गया भाग देखें। / The common difference is ((8+s)-8=s). In algebraic sequences also look at the equally added part.
सार्व अंतर (1.9-1.4=0.5) है। दशमलव घटाते समय स्थान मान का ध्यान रखें। / The common difference is (1.9-1.4=0.5). In decimal subtraction pay attention to place value.
\(\frac{7}{6}-\frac{5}{6}=\frac{1}{3}\) और \(\frac{3}{2}-\frac{7}{6}=\frac{1}{3}\) है। भिन्नों में हर समान करके घटाएं। / \(\frac{7}{6}-\frac{5}{6}=\frac{1}{3}\) and \(\frac{3}{2}-\frac{7}{6}=\frac{1}{3}\). For fractions subtract using common denominators.
(d=(4x+3)-4x=3) है। बीजगणितीय पदों में भी दूसरा पद घटा पहला पद करें। / (d=(4x+3)-4x=3). For algebraic terms also subtract the first term from the second term.
सार्व अंतर (7.5-7=0.5) है। दशमलव पदों में भी नियमित अंतर देखें। / The common difference is (7.5-7=0.5). For decimal terms also, check the regular difference.
सार्व अंतर (36-42=-6) है। घटती श्रेढ़ी में चिन्ह जरूर जाँचें। / The common difference is (36-42=-6). Always check the sign in a decreasing progression.
सार्व अंतर (13-8=5) है। हमेशा लगातार दो पदों का अंतर जाँचें। / The common difference is (13-8=5). Always check the difference of two consecutive terms.
सार्व अंतर ((5+s)-5=s) है। अक्षर वाले अनुक्रम में भी समान जोड़ा गया भाग देखें। / The common difference is ((5+s)-5=s). In algebraic sequences also look at the equal added part.
