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\(d=\frac{90-27}{14-5}=7\) और \(a_{20}=90+6\times7=132\)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / \(d=\frac{90-27}{14-5}=7\) and \(a_{20}=90+6\times7=132\). First find (d) then move forward.
\(d=\frac{55-15}{12-4}=5\) और \(a_{16}=55+4\times5=75\)। पहले (d) फिर वांछित पद निकालें। / \(d=\frac{55-15}{12-4}=5\) and \(a_{16}=55+4\times5=75\). First find (d), then the required term.
\(d=\frac{3-8}{8-3}=-1\), इसलिए (a_{11}=3+3(-1)=0)। ज्ञात पास वाले पद से आगे बढ़ना सरल है। / \(d=\frac{3-8}{8-3}=-1\), so (a_{11}=3+3(-1)=0). Moving from the nearer known term is simple.
संबंधों को घटाने पर (d=-1) और आगे रखने पर \(a_{p+q}=0\) मिलता है। प्रतीकात्मक AP में भी (a_n=a+(n-1)d) ही लगाएं। / Subtracting the relations gives (d=-1), and substitution gives \(a_{p+q}=0\). Even in symbolic APs, use (a_n=a+(n-1)d).
\(d=\frac{32-16}{9-5}=4\), इसलिए \(a_{13}=32+4\times4=48\)। समान स्थान अंतर होने पर पदों का अंतर भी समान होता है। / \(d=\frac{32-16}{9-5}=4\), so \(a_{13}=32+4\times4=48\). Equal position gaps give equal term gaps in an AP.
\(47=a+8\times4\) से (a=15)। ज्ञात पद से पहले पद तक जाने के लिए (8d) घटाएं। / From \(47=a+8\times4\), (a=15). To move from the known term to the first term, subtract (8d).
(23=a+5d=a+25), इसलिए (a=-2)। दिए गए पद से पीछे जाते समय (5d) घटाया जाता है। / (23=a+5d=a+25), so (a=-2). When moving backward from a given term, subtract (5d).
(206=26+(n-1)9) से (180=9(n-1)) इसलिए (n=21)। पद और पहले पद का अंतर (d) से भाग दें। / From (206=26+(n-1)9), (180=9(n-1)) so (n=21). Divide the difference between the term and first term by (d).
(185=14+(n-1)9) से (171=9(n-1)) और (n=20)। अंतर को (d) से भाग देकर पद संख्या पाएं। / From (185=14+(n-1)9), (171=9(n-1)) and (n=20). Divide the difference by (d) to get the term number.
(111=15+(n-1)6), इसलिए (96=6(n-1)) और (n=17)। पद संख्या में अंतर को (d) से भाग दें। / (111=15+(n-1)6), so (96=6(n-1)) and (n=17). For term number, divide the difference by (d).
\(a_{36}=8\times36+15=303\)। बने हुए सूत्र में (n=36) रखकर सीधे उत्तर पाएं। / \(a_{36}=8\times36+15=303\). Put (n=36) in the formed formula to get the answer directly.
((r+6))वां पद (r)वें पद से (6d) आगे है इसलिए (3r-2+24=3r+22)। प्रतीकात्मक प्रश्न में स्थान अंतर देखें। / The ((r+6))th term is (6d) ahead of the (r)th term so (3r-2+24=3r+22). In symbolic questions look at the position gap.
((m+5))वां पद (m)वें पद से (5d) आगे है इसलिए (2m+3+10=2m+13)। प्रतीकात्मक पदों में भी स्थान अंतर देखें। / The ((m+5))th term is (5d) ahead of the (m)th term, so (2m+3+10=2m+13). In symbolic terms, look at the position gap.
(93=25+17d) से (68=17d) इसलिए (d=4)। (18)वें पद के लिए गुणक (17) होता है। / From (93=25+17d), (68=17d) so (d=4). For the (18)th term, the multiplier is (17).
\(a_{32}=6\times32+5=197\)। बनाए गए सूत्र में (n) का सही मान रखें। / \(a_{32}=6\times32+5=197\). Substitute the correct value of (n) in the formed formula.
(93=18+15d), इसलिए (75=15d) और (d=5)। (16)वें पद के लिए गुणक (15) होगा। / (93=18+15d), so (75=15d) and (d=5). For the (16)th term, the multiplier is (15).
दो पदों का अंतर (81-41=40) है और पद संख्या का अंतर (10), इसलिए (d=4)। \(दो ज्ञात पदों में (d=\frac{\)पदों का अंतर}{स्थान का अंतर}) लगाएं। \(/ The difference of terms is (81-41=40) and the difference of positions is (10), so (d=4). Use (d=\frac{\)difference of terms}{difference of positions}).
सूत्र (a_n=a+(n-1)d) लगाने पर \(7+17\times4=75\)। परीक्षा में (n-1) को भूलना नहीं चाहिए। / Using (a_n=a+(n-1)d), \(7+17\times4=75\). Exam tip: do not forget (n-1).
(10)वाँ पद (4)थे पद से (6d) आगे है इसलिए (21+36=57)। पद संख्या का अंतर सीधे उपयोग करें। / The (10)th term is (6d) after the (4)th term, so (21+36=57). Use the difference in term numbers directly.
(7)वाँ पद (3)रे पद से (4d) आगे है इसलिए (14+20=34)। बीच के पदों की संख्या सही गिनें। / The (7)th term is (4d) after the (3)rd term, so (14+20=34). Count the gap between terms correctly.
(8)वाँ पद (5)वें पद से (3d) आगे है इसलिए (22+18=40)। पदों का अंतर गिनना आसान तरीका है। / The (8)th term is (3d) after the (5)th term, so (22+18=40). Counting the gap between terms is an easy method.
(10)वाँ पद (7)वें पद से (3d) आगे है इसलिए \(31+3\times4=43\)। पास के पदों के लिए अंतर विधि तेज होती है। / The (10)th term is (3d) after the (7)th term, so \(31+3\times4=43\). The difference method is quick for nearby terms.
सूत्र (a_n=a+(n-1)d) लगाएं तो \(5+7\times3=26\)। परीक्षा में (n-1) लेना न भूलें। / Using (a_n=a+(n-1)d), \(5+7\times3=26\). In exams, do not forget (n-1).
तीन अंकों वाली पहली संख्या (100) है जो (7) से विभाज्य नहीं है, लेकिन \(105,112,119,\ldots\) तीन अंकों वाली (7) की गुणज AP है। इस AP का (50)वां पद क्या होगा?
इस AP में (a=105), (d=7), इसलिए \(a_{50}=105+49\times7=448\)। गुणजों की AP में पहला सही गुणज चुनें। / In this AP, (a=105), (d=7), so \(a_{50}=105+49\times7=448\). In an AP of multiples, choose the first correct multiple.
\(112=z+18\times5\) से (z=22)। चर वाले पहले पद को (a) मानकर सूत्र लगाएं। / From \(112=z+18\times5\), (z=22). Treat the variable first term as (a) and apply the formula.
पद (7+5(n-1)) हैं। (180) से कम अंतिम पद (177) है क्योंकि अगला पद (182) होगा। / The terms are (7+5(n-1)). The last term less than (180) is (177) because the next term will be (182).
(a_n=105+(n-1)(-7)=112-7n)। \(a_n<0\) से (n>16) इसलिए पहला ऋणात्मक पद (17)वां है। / (a_n=105+(n-1)(-7)=112-7n). From \(a_n<0\), (n>16) so the first negative term is the (17)th.
(201=9+(n-1)8) से (192=8(n-1)) और (n=25)। पद संख्या पूर्णांक आए तो उत्तर सही दिशा में है। / From (201=9+(n-1)8), (192=8(n-1)) and (n=25). If the term number is an integer the answer is on the right track.
(a_n=72+(n-1)(-6)=78-6n)। \(a_n<0\) से (n>13) इसलिए पहला ऋणात्मक पद (14)वां है। / (a_n=72+(n-1)(-6)=78-6n). From \(a_n<0\), (n>13) so the first negative term is the (14)th.
(149=21+(n-1)8) से (128=8(n-1)) इसलिए (n=17)। पद संख्या पूछी हो तो दिए पद को \(a_n\) मानें। / From (149=21+(n-1)8), (128=8(n-1)) so (n=17). When term number is asked, treat the given term as \(a_n\).
\(50=x+9\times4\), इसलिए (x=14)। चर वाले पहले पद को (a) मानकर सूत्र लगाएं। / \(50=x+9\times4\), so (x=14). Treat the variable first term as (a) and apply the formula.
(0=30+(n-1)(-2)) से (2(n-1)=30), अतः (n=16)। शून्य पद के लिए भी वही (n)वां पद सूत्र लगाएं। / From (0=30+(n-1)(-2)), (2(n-1)=30), so (n=16). Use the same nth-term formula even for the zero term.
(a_n=45+(n-1)(-5)=50-5n)। \(a_n<0\) से (n>10), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (11)वां है। / (a_n=45+(n-1)(-5)=50-5n). From \(a_n<0\), (n>10), so the first negative term is the (11)th.
(88=3+(n-1)5) से (85=5(n-1)), अतः (n=18)। पद संख्या के प्रश्न में दिए पद को \(a_n\) मानें। / From (88=3+(n-1)5), (85=5(n-1)), hence (n=18). In term-number questions, treat the given term as \(a_n\).
\(a_{11}=7\times11+2=79\)। सामान्य पद में सही पद संख्या रखना ही मुख्य कदम है। / \(a_{11}=7\times11+2=79\). The main step is substituting the correct term number in the general term.
(a=12), (d=4), अतः \(a_{18}=12+17\times4=80\)। सूची के पैटर्न से (d) पहले निकालें। / (a=12), (d=4), so \(a_{18}=12+17\times4=80\). First find (d) from the pattern.
(189=18+(n-1)9) से (171=9(n-1)) इसलिए (n=20)। पद संख्या के लिए पहले पद को घटाकर (d) से भाग दें। / From (189=18+(n-1)9), (171=9(n-1)) so (n=20). For term number subtract the first term and divide by (d).
(170=17+(n-1)9) से (153=9(n-1)) इसलिए (n=18)। पद संख्या निकालते समय अंत में (1) जोड़ें। / From (170=17+(n-1)9), (153=9(n-1)) so (n=18). Add (1) at the end while finding the term number.
(136=17+(n-1)7) से (119=7(n-1)) इसलिए (n=18)। पद संख्या पूर्णांक आनी चाहिए। / From (136=17+(n-1)7), (119=7(n-1)) so (n=18). The term number should be an integer.
(121=13+(n-1)6) से (108=6(n-1)) इसलिए (n=19)। (n-1) मिलने के बाद (1) जरूर जोड़ें। / From (121=13+(n-1)6), (108=6(n-1)) so (n=19). After finding (n-1), add (1).
(74=8+(n-1)6) से (66=6(n-1)), इसलिए (n=12)। उत्तर में पद संख्या हमेशा पूर्णांक होनी चाहिए। / From (74=8+(n-1)6), (66=6(n-1)), so (n=12). The term number must always be an integer.
(103=5+(n-1)7) से (98=7(n-1)), अतः (n=15)। पद संख्या निकालते समय अंत में (1) जोड़ना न भूलें। / From (103=5+(n-1)7), (98=7(n-1)), so (n=15). When finding the term number, remember to add (1) at the end.
यहां (a=408) और (d=12) है इसलिए \(a_{18}=408+17\times12=612\)। सीमा के बाद पहला सही गुणज चुनें। / Here (a=408) and (d=12) so \(a_{18}=408+17\times12=612\). Choose the first correct multiple after the limit.
पद (13+8(n-1)) के रूप में हैं और (250) से कम सबसे बड़ा ऐसा पद (245) है। सीमा वाले प्रश्न में अगले पद से भी जांच करें। / The terms are of the form (13+8(n-1)) and the greatest such term less than (250) is (245). In limit questions check the next term too.
(a=-45) और (d=9) हैं इसलिए \(a_{20}=-45+19\times9=126\)। ऋणात्मक शुरूआत वाली बढ़ती AP में अंतिम जोड़ सावधानी से करें। / (a=-45) and (d=9) so \(a_{20}=-45+19\times9=126\). In an increasing AP starting negative add carefully at the end.
यहां \(a=\frac{2}{3}\) और \(d=\frac{2}{3}\) है इसलिए \(a_{28}=\frac{2}{3}+27\cdot\frac{2}{3}=\frac{56}{3}\)। भिन्नों में गुणन को पहले सरल करें। / Here \(a=\frac{2}{3}\) and \(d=\frac{2}{3}\) so \(a_{28}=\frac{2}{3}+27\cdot\frac{2}{3}=\frac{56}{3}\). Simplify multiplication first in fractions.
यहां (a=2.4) और (d=1.6) है इसलिए \(a_{16}=2.4+15\times1.6=26.4\)। दशमलव गुणा में स्थान मूल्य ध्यान रखें। / Here (a=2.4) and (d=1.6) so \(a_{16}=2.4+15\times1.6=26.4\). Keep place value in mind while multiplying decimals.
(d=-11) है इसलिए (a_{13}=120+12(-11)=-12)। बड़े ऋणात्मक अंतर में गुणा पहले करें। / (d=-11) so (a_{13}=120+12(-11)=-12). With a large negative difference multiply first.
यहां (a=-28) और (d=8) है इसलिए \(a_{21}=-28+20\times8=132\)। ऋणात्मक पहले पद को जोड़ते समय सावधानी रखें। / Here (a=-28) and (d=8) so \(a_{21}=-28+20\times8=132\). Be careful while adding a negative first term.
यहां (d=-6) है इसलिए (a_{18}=84+17(-6)=-18)। घटती AP में सार्व अंतर को ऋणात्मक लें। / Here (d=-6) so (a_{18}=84+17(-6)=-18). In a decreasing AP take the common difference as negative.
यहां (a=6) और (d=8) है इसलिए \(a_{23}=6+22\times8=182\)। परीक्षा में (n) की जगह (n-1) लगाना याद रखें। / Here (a=6) and (d=8) so \(a_{23}=6+22\times8=182\). Remember to use (n-1) instead of (n) in exams.
यहां (a=304) और (d=8) है इसलिए \(a_{25}=304+24\times8=496\)। सीमा के बाद पहला सही गुणज चुनें। / Here (a=304) and (d=8) so \(a_{25}=304+24\times8=496\). Choose the first correct multiple after the limit.
पद (5+7(n-1)) के रूप में हैं। (150) से कम सबसे बड़ा ऐसा पद (145) है। / The terms are of the form (5+7(n-1)). The greatest such term less than (150) is (145).
(116=16+25d) से (100=25d) इसलिए (d=4)। (26)वें पद में (d) (25) बार जुड़ता है। / From (116=16+25d), (100=25d) so (d=4). In the (26)th term, (d) is added (25) times.
(a=-32) और (d=7) हैं इसलिए \(a_{22}=-32+21\times7=115\)। ऋणात्मक आरंभ में जोड़ते समय सावधान रहें। / (a=-32) and (d=7) so \(a_{22}=-32+21\times7=115\). Be careful while adding from a negative start.
यहां \(a=\frac{3}{4}\) और \(d=\frac{1}{2}\) है इसलिए \(a_{31}=\frac{3}{4}+30\cdot\frac{1}{2}=\frac{63}{4}\)। भिन्नों में समान हर बनाएं। / Here \(a=\frac{3}{4}\) and \(d=\frac{1}{2}\) so \(a_{31}=\frac{3}{4}+30\cdot\frac{1}{2}=\frac{63}{4}\). Use a common denominator for fractions.
यहां (a=1.2) और (d=1.5) है इसलिए \(a_{19}=1.2+18\times1.5=28.2\)। दशमलव में गुणा सावधानी से करें। / Here (a=1.2) and (d=1.5) so \(a_{19}=1.2+18\times1.5=28.2\). Multiply decimals carefully.
(d=-9) है इसलिए (a_{12}=96+11(-9)=-3)। बड़े घटते अंतर में चिन्ह गलती से न बदलें। / (d=-9) so (a_{12}=96+11(-9)=-3). Do not accidentally change the sign in a large decreasing difference.
यहां (a=-15) और (d=6) है इसलिए \(a_{24}=-15+23\times6=123\)। ऋणात्मक पहले पद को अलग से ध्यान में रखें। / Here (a=-15) and (d=6) so \(a_{24}=-15+23\times6=123\). Keep the negative first term in mind.
यहां (a=38) और (d=-5) है इसलिए (a_{17}=38+16(-5)=-42)। घटती श्रेणी में (d) को ऋणात्मक लें। / Here (a=38) and (d=-5) so (a_{17}=38+16(-5)=-42). In a decreasing AP take (d) as negative.
(a=4) और (d=7) हैं इसलिए \(a_{28}=4+27\times7=193\)। परीक्षा में पद संख्या से (1) घटाना न भूलें। / (a=4) and (d=7) so \(a_{28}=4+27\times7=193\). In exams remember to subtract (1) from the term number.
यहां (a=-20), (d=6), इसलिए \(a_{19}=-20+18\times6=88\)। ऋण से शुरू होने वाली बढ़ती AP में अंतिम जोड़ सावधानी से करें। / Here (a=-20), (d=6), so \(a_{19}=-20+18\times6=88\). In an increasing AP starting negative, add carefully at the end.
यहां \(a=\frac{1}{2}\), \(d=\frac{1}{2}\), इसलिए \(a_{40}=\frac{1}{2}+39\cdot\frac{1}{2}=20\)। भिन्नों को दशमलव में बदलकर भी जांच सकते हैं। / Here \(a=\frac{1}{2}\), \(d=\frac{1}{2}\), so \(a_{40}=\frac{1}{2}+39\cdot\frac{1}{2}=20\). Fractions can also be checked as decimals.
\(a_{22}=7-3\times22=-59\)। घटते प्रत्यक्ष सूत्र में ऋण चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / \(a_{22}=7-3\times22=-59\). Pay special attention to the negative sign in a decreasing direct formula.
(n=30) रखने पर \(a_{30}=4\times30-1=119\)। प्रत्यक्ष सूत्र में केवल सही (n) रखें। / Putting (n=30), \(a_{30}=4\times30-1=119\). In a direct formula, substitute the correct (n).
यहां (a=2.5), (d=2.5), इसलिए \(a_{20}=2.5+19\times2.5=50\)। दशमलव AP में समान गुणन का ध्यान रखें। / Here (a=2.5), (d=2.5), so \(a_{20}=2.5+19\times2.5=50\). In decimal APs, keep multiplication exact.
यहां (d=-8), इसलिए (a_{15}=100+14(-8)=-12)। बड़े घटते अंतर में गुणा पहले करें। / Here (d=-8), so (a_{15}=100+14(-8)=-12). In large decreasing differences, multiply first.
यहां (a=-4), (d=5), इसलिए \(a_{31}=-4+30\times5=146\)। ऋणात्मक पहले पद को सावधानी से जोड़ें। / Here (a=-4), (d=5), so \(a_{31}=-4+30\times5=146\). Add the negative first term carefully.
यहां (a=12) और (d=-3), इसलिए (a_{25}=12+24(-3)=-60)। घटती श्रेणी में (d) का चिन्ह ध्यान रखें। / Here (a=12) and (d=-3), so (a_{25}=12+24(-3)=-60). Keep the sign of (d) carefully in decreasing APs.
यहाँ (d=1) है इसलिए \(a_6=\frac{4}{5}+5=\frac{29}{5}\)। पूर्ण संख्या को समान हर वाली भिन्न में बदलें। / Here (d=1), so \(a_6=\frac{4}{5}+5=\frac{29}{5}\). Convert the whole number to a fraction with the same denominator.
(15)वाँ पद (9)वें पद से (6d) आगे है इसलिए (70+18=88)। निकट पदों में यह विधि सरल है। / The (15)th term is (6d) after the (9)th term, so (70+18=88). This method is simple for nearby terms.
यहाँ (d=6) है इसलिए \(a_{28}=9+27\times6=171\)। (28)वें पद के लिए (27d) जोड़ें। / Here (d=6), so \(a_{28}=9+27\times6=171\). For the (28)th term, add (27d).
यहाँ (d=11) है इसलिए \(a_{16}=6+15\times11=171\)। (16)वें पद के लिए (15) अंतर जोड़ें। / Here (d=11), so \(a_{16}=6+15\times11=171\). For the (16)th term, add (15) differences.
यहाँ (d=6) है इसलिए \(a_{18}=-15+17\times6=87\)। ऋणात्मक प्रथम पद को सही जोड़ें। / Here (d=6), so \(a_{18}=-15+17\times6=87\). Add the negative first term correctly.
यहाँ (d=5) है इसलिए \(a_{24}=12+23\times5=127\)। (24)वें पद के लिए (23d) जोड़ें। / Here (d=5), so \(a_{24}=12+23\times5=127\). For the (24)th term, add (23d).
(12)वाँ पद (8)वें पद से (4d) आगे है इसलिए (44+4(-2)=36)। ऋणात्मक अंतर को ध्यान से जोड़ें। / The (12)th term is (4d) after the (8)th term, so (44+4(-2)=36). Add the negative difference carefully.
यहाँ (d=9) है इसलिए \(a_{21}=7+20\times9=187\)। (21)वें पद तक (20) अंतर जुड़ते हैं। / Here (d=9), so \(a_{21}=7+20\times9=187\). Up to the (21)st term, (20) differences are added.
(7)वाँ पद (2)रे पद से (5d) आगे है इसलिए (12+45=57)। दिए पद से आगे बढ़कर हल करें। / The (7)th term is (5d) after the (2)nd term, so (12+45=57). Solve by moving forward from the given term.
यहाँ (d=10) है इसलिए \(a_9=18+8\times10=98\)। (9)वें पद तक (8) अंतर जुड़ते हैं। / Here (d=10), so \(a_9=18+8\times10=98\). Up to the (9)th term, (8) differences are added.
यहाँ (d=3) है इसलिए \(a_{22}=31+21\times3=94\)। (22)वें पद में (21) अंतर जुड़ते हैं। / Here (d=3), so \(a_{22}=31+21\times3=94\). The (22)nd term includes (21) differences.
यहाँ \(d=\frac{1}{2}\) है इसलिए \(a_9=\frac{5}{4}+8\times\frac{1}{2}=\frac{21}{4}\)। भिन्न वाले अंतर को सरल रूप में लें। / Here \(d=\frac{1}{2}\), so \(a_9=\frac{5}{4}+8\times\frac{1}{2}=\frac{21}{4}\). Use the fractional difference carefully.
यहाँ (d=-10) है इसलिए (a_{16}=200+15(-10)=50)। बड़े पदों में भी चिह्न पर ध्यान दें। / Here (d=-10), so (a_{16}=200+15(-10)=50). Watch the sign even with large terms.
