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A. ढाल \(3\) और \(y\)-अवरोध \(8\)/Slope \(3\) and \(y\)-intercept \(8\)
Explanation
Simple Explanation
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल तथा \(c\) \(y\)-अवरोध है। दिए गए समीकरण \(y=3x+8\) में \(m=3\) और \(c=8\) है, इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B में गुणांक और स्थिरांक को उलट दिया गया है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक हमेशा ढाल बताता है, जबकि स्थिर पद \(y\)-अवरोध होता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. In \(y=3x+8\), \(m=3\) and \(c=8\), so option A is correct. Option B incorrectly interchanges the coefficient of \(x\) and the constant term. Exam tip: the coefficient of \(x\) gives the slope, while the constant term gives the \(y\)-intercept.
\(y=mx+b\) में \(m\) ढाल और \(b\) y-अवरोध है। समानांतर रेखाओं की ढाल समान होती है, इसलिए \(m=3\); y-अवरोध 7 रखने पर \(y=3x+7\) मिलता है। विकल्प A का अवरोध सही है, पर ढाल \(-3\) है। परीक्षा टिप: पहले \(m\), फिर \(b\) मिलाइए। / In \(y=mx+b\), \(m\) is the slope and \(b\) is the y-intercept. Parallel lines have equal slopes, so \(m=3\); with \(b=7\), the equation is \(y=3x+7\). Option A has the correct intercept but slope \(-3\). Exam tip: compare slope before intercept.
ढाल ज्ञात करने के लिए समीकरण को मानक रूप \(y=mx+c\) में लिखते हैं। \(2y=6x+10\) को 2 से भाग देने पर \(y=3x+5\) मिलता है। यहाँ \(x\) का गुणांक 3 है, इसलिए ढाल \(m=3\) है। 6 को ढाल मानना गलत है, क्योंकि वह \(y\) का गुणांक हटाने से पहले का गुणांक है। परीक्षा टिप: \(y\) का गुणांक 1 करने के बाद \(x\) का गुणांक ही ढाल होता है। / To find the slope, write the equation in the form \(y=mx+c\). Dividing \(2y=6x+10\) by 2 gives \(y=3x+5\). The coefficient of \(x\) is 3, so the slope is \(m=3\). Taking 6 as the slope is incorrect because it is the coefficient before making the coefficient of \(y\) equal to 1. Exam tip: after isolating \(y\), the coefficient of \(x\) is the slope.
y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं। तब 3y=9(0)-15=-15, इसलिए y=-5। अतः रेखा y-अक्ष को -5 पर काटती है। -15 को y-अवरोध मानना गलत है, क्योंकि वह 3 से भाग देने से पहले समीकरण का स्थिर पद है। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए हमेशा x=0 रखें। / To find the y-intercept, put x=0. Then 3y=9(0)-15=-15, so y=-5. Therefore, the line crosses the y-axis at -5. Taking -15 as the y-intercept is incorrect because it is the constant term before dividing the equation by 3. Exam tip: for the y-intercept, always substitute x=0.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप (y=mx+c) होता है, जहाँ (m) ढाल है। दिए गए समीकरण को (y=-2x+4) लिखा जा सकता है, इसलिए (x) का गुणांक -2 है और ढाल -2 है। 2 केवल परिमाण है; ऋण चिह्न बताता है कि रेखा बाएँ से दाएँ जाने पर नीचे की ओर जाती है। परीक्षा टिप: (y=mx+c) में (x) के साथ लगे पूरे चिह्न सहित गुणांक को ढाल मानें। / The slope-intercept form is (y=mx+c), where (m) is the slope. The given equation can be written as (y=-2x+4), so the coefficient of (x) is -2 and the slope is -2. Although 2 is the magnitude, the negative sign shows that the line falls from left to right. Exam tip: In (y=mx+c), take the complete signed coefficient of (x) as the slope.
रेखा को मानक ढाल-अवरोध रूप में y=-3x+7 लिखा जा सकता है। y-अवरोध वह y-मान है जहाँ x=0 होता है। x=0 रखने पर y=7 मिलता है, इसलिए सही उत्तर 7 है। -3 रेखा की ढाल है, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: y=mx+c में c सीधे y-अवरोध होता है। / The line can be written in slope-intercept form as y=-3x+7. The y-intercept is the y-value when x=0. Substituting x=0 gives y=7, so the correct answer is 7. Here, -3 is the slope, not the y-intercept. Exam tip: In y=mx+c, c is the y-intercept.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध है। यहाँ \(m=6\) तथा \(c=-4\) रखने पर \(y=6x-4\) मिलता है। विकल्प B में अवरोध का चिन्ह गलत है, क्योंकि वहाँ \(y\)-अवरोध \(+4\) है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर समीकरण का स्थिर पद ही \(y\)-अवरोध देता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Substituting \(m=6\) and \(c=-4\) gives \(y=6x-4\). In option B, the intercept has the wrong sign, because its \(y\)-intercept is \(+4\). Exam tip: put \(x=0\); the constant term gives the \(y\)-intercept.
ढाल (x) का गुणांक होती है और (y)-अवरोध स्थिर पद होता है। इसलिए सही रेखा (y=-4x+9) है। / The slope is the coefficient of (x) and the (y)-intercept is the constant term. So the correct line is (y=-4x+9).
y-अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए x=0 होता है। समीकरण y=5x+c में x=0 रखने पर y=c मिलता है। दिया गया y-अवरोध (0,-3) है, इसलिए c=-3। 3 लेने पर रेखा y-अक्ष को (0,3) पर काटती, जो दिए गए बिंदु से अलग है। परीक्षा टिप: y=mx+c के रूप में c सीधे y-अवरोध होता है। / For every point on the y-axis, x=0. Substituting x=0 in y=5x+c gives y=c. The given y-intercept is (0,-3), so c=-3. If c were 3, the line would meet the y-axis at (0,3), not at the given point. Exam tip: in y=mx+c, c is directly the y-intercept.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल (slope) को दर्शाता है। यहाँ ढाल \(-7\) दी गई है, इसलिए \(m=-7\) होगा। \(2\) y-अवरोध है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक हमेशा ढाल होता है। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) represents the slope. Since the given slope is \(-7\), \(m=-7\). The number \(2\) is the y-intercept, not the slope. Exam tip: in \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is always the slope.
A. यह y-अक्ष को \((0,4)\) पर काटती है/It intersects the y-axis at \((0,4)\)
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(c\) y-अवरोध होता है। यहाँ \(c=4\) है, इसलिए रेखा y-अक्ष को \((0,4)\) पर काटती है। \(-3\) ढाल है, अतः ढाल धनात्मक नहीं है। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखें। / In \(y=mx+c\), \(c\) is the y-intercept. Here \(c=4\), so the line meets the y-axis at \((0,4)\). The value \(-3\) is the slope, so it is not positive. Exam tip: put \(x=0\) to identify the y-intercept.
\(y=5\) में \(x\) का गुणांक 0 है, इसलिए ढाल \(m=0\) होगी और रेखा क्षैतिज बनेगी। \(x=5\) ऊर्ध्वाधर रेखा है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(m=0\) हो तो रेखा x-अक्ष के समानांतर होती है। / In \(y=5\), the coefficient of \(x\) is 0, so the slope is \(m=0\) and the line is horizontal. \(x=5\) is a vertical line. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(m=0\) means the line is parallel to the x-axis.
रेखा \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल होती है। दी गई रेखा की ढाल \(-3\) है और विकल्प B की भी \(-3\) है, इसलिए दोनों समानांतर हैं। विकल्प C का अवरोध समान है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: समानांतर रेखाओं की ढाल मिलाइए। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope. The given line has slope \(-3\), and option B also has slope \(-3\), so the lines are parallel. Option C has the same intercept, not the same slope. Exam tip: compare slopes for parallel lines.
रेखा के y-अवरोधन के लिए \(x=0\) रखा जाता है। समीकरण \(y=-2x-11\) में \(x=0\) रखने पर \(y=-11\) प्राप्त होता है। अतः रेखा y-अक्ष को \((0,-11)\) बिंदु पर काटती है। \((-11,0)\) x-अक्ष पर स्थित बिंदु है, इसलिए वह y-अवरोधन नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है। / To find the y-intercept, put \(x=0\). Substituting \(x=0\) in \(y=-2x-11\) gives \(y=-11\). Therefore, the line cuts the y-axis at \((0,-11)\). The point \((-11,0)\) lies on the x-axis, so it cannot be the y-intercept. Exam tip: every point on the y-axis has x-coordinate 0.
B. ढाल \(2\) और \(y\)-अवरोध \(3\)/Slope \(2\) and \(y\)-intercept \(3\)
Explanation
Simple Explanation
रेखा के समीकरण \(4y=8x+12\) के दोनों पक्षों को \(4\) से भाग देने पर \(y=2x+3\) प्राप्त होता है। मानक रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। अतः ढाल \(2\) और \(y\)-अवरोध \(3\) है। विकल्प A में \(4\) से भाग नहीं दिया गया है। परीक्षा टिप: ढाल और \(y\)-अवरोध पढ़ने से पहले समीकरण को हमेशा \(y=mx+c\) के रूप में लिखें। / Divide both sides of \(4y=8x+12\) by \(4\) to get \(y=2x+3\). In the standard form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Therefore, the slope is \(2\) and the \(y\)-intercept is \(3\). Option A incorrectly uses the coefficients before dividing by \(4\). Exam tip: first rewrite the equation in the form \(y=mx+c\) before identifying the slope and intercept.
C. ढाल \,(-2) और \(y\)-अवरोध \,5/Slope \,(-2) and \(y\)-intercept \,5
Explanation
Simple Explanation
रेखा को ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में लिखने के लिए दोनों पक्षों को 5 से भाग दें: \(y=-2x+5\)। यहाँ \(x\) का गुणांक \(m=-2\) ढाल है और स्थिर पद \(c=5\), \(y\)-अवरोध है। विकल्प A में 5 से भाग नहीं दिया गया है। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को \(y=mx+c\) के रूप में बदलें, फिर \(m\) और \(c\) सीधे पढ़ें। / Write the line in slope-intercept form \(y=mx+c\) by dividing both sides by 5: \(y=-2x+5\). The coefficient of \(x\), \(m=-2\), is the slope, and the constant term, \(c=5\), is the \(y\)-intercept. Option A incorrectly uses the coefficients before dividing by 5. Exam tip: first rewrite the equation as \(y=mx+c\), then identify \(m\) and \(c\).
समीकरण \(x+y=6\) में से \(x\) को दूसरी ओर ले जाने पर \(y=-x+6\) मिलता है। \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल \(m\) होता है। अतः यहाँ ढाल \(-1\) है। \(6\) y-अवरोध \(c\) है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x\) का गुणांक देखें। / Rearranging \(x+y=6\) gives \(y=-x+6\). In \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope \(m\). Hence, the slope is \(-1\). Here, \(6\) is the y-intercept \(c\), not the slope. Exam tip: identify the coefficient of \(x\) after writing the equation in slope-intercept form.
(y)-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं। समीकरण 2x+y=9 में x=0 रखने पर y=9 मिलता है, इसलिए (y)-अवरोध 9 है; ग्राफ पर इसका बिंदु (0, 9) होगा। -2 ढाल है, क्योंकि y=-2x+9। परीक्षा टिप: (y)-अवरोध के लिए हमेशा x को 0 रखें। / To find the y-intercept, put x=0. In 2x+y=9, this gives y=9, so the y-intercept is 9; the corresponding point on the graph is (0, 9). Here, -2 is the slope because y=-2x+9. Exam tip: always set x=0 to find the y-intercept.
दिए गए समीकरण को ढाल-अवरोध रूप में लिखें: \(3x-y=6\Rightarrow -y=6-3x\Rightarrow y=3x-6\)। रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक \(m\) ढाल होता है, इसलिए ढाल \(3\) है। \(-3\) भ्रमित करने वाला विकल्प है, क्योंकि \(y\) को अलग करते समय दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर \(3x\) का चिह्न धनात्मक हो जाता है। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को \(y=mx+c\) के रूप में बदलें और फिर \(x\) का गुणांक देखें। / Write the equation in slope-intercept form: \(3x-y=6\Rightarrow -y=6-3x\Rightarrow y=3x-6\). In the form \(y=mx+c\), the coefficient \(m\) of \(x\) is the slope, so the slope is \(3\). The option \(-3\) is a common error because multiplying both sides by \(-1\) while isolating \(y\) makes the coefficient of \(x\) positive. Exam tip: convert the equation to \(y=mx+c\) before identifying the slope.
y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं। समीकरण 4x-y=-8 में x=0 रखने पर -y=-8 मिलता है, अतः y=8। इसलिए y-अवरोध 8 है। -8 एक सामान्य चिह्न-त्रुटि से मिल सकता है, क्योंकि -y=-8 को हल करते समय दोनों पक्षों का चिह्न बदलना पड़ता है। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए हमेशा x=0 रखें। / To find the y-intercept, put x=0. In 4x-y=-8, this gives -y=-8, so y=8. Therefore, the y-intercept is 8. The value -8 can result from a sign error, because both sides must change sign when solving -y=-8. Exam tip: always set x=0 to find the y-intercept.
रेखा \(y=\frac{3}{2}x-4\) की ढाल \(\frac{3}{2}\) है, अर्थात \(x\) में 1 की वृद्धि पर \(y\) में \(\frac{3}{2}\) की वृद्धि होती है। इसलिए \(x\) में 2 की वृद्धि पर \(y\) में वृद्धि \(\frac{3}{2}\times 2=3\) होगी। \(-4\) y-अवरोध है, इसलिए यह वृद्धि को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में कुल परिवर्तन ज्ञात करने के लिए \(\Delta y=m\Delta x\) लें। / The slope of \(y=\frac{3}{2}x-4\) is \(\frac{3}{2}\), so for every increase of 1 in \(x\), \(y\) increases by \(\frac{3}{2}\). Therefore, when \(x\) increases by 2, \(y\) increases by \(\frac{3}{2}\times2=3\). The constant \(-4\) is the y-intercept and does not affect the change. Exam tip: In \(y=mx+c\), use \(\Delta y=m\Delta x\) to find total change.
रेखा की ढाल \(-\frac{5}{3}\) है, अर्थात \(x\) में प्रत्येक 3 इकाई की वृद्धि पर \(y\) 5 इकाई घटता है। इसलिए \(\Delta y=-\frac{5}{3}\times 3=-5\), यानी \(y\) 5 घटेगा। विकल्प B में 3 ढाल के हर का मान है, जबकि 7 केवल y-अवरोध है और परिवर्तन को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: परिवर्तन ज्ञात करने के लिए हमेशा \(\Delta y=m\Delta x\) का उपयोग करें। / The slope of the line is \(-\frac{5}{3}\). This means that for every increase of 3 units in \(x\), \(y\) decreases by 5 units. Thus, \(\Delta y=-\frac{5}{3}\times 3=-5\), so \(y\) decreases by 5. In option B, 3 is the denominator of the slope, while 7 is only the y-intercept and does not affect the change. Exam tip: use \(\Delta y=m\Delta x\) to find the change in \(y\).
रेखा y=mx-1 में बिंदु (2,7) रखने पर 7=2m-1 प्राप्त होता है। अतः 2m=8, इसलिए m=4। विकल्प 3 लेने पर y=2(3)-1=5 आएगा, 7 नहीं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु से गुजरने वाली रेखा में बिंदु के x और y मान सीधे समीकरण में रखकर अज्ञात मान ज्ञात करें। / Substituting the point (2,7) into y=mx-1 gives 7=2m-1. Therefore, 2m=8 and m=4. If m=3, then y=2(3)-1=5, not 7. Exam tip: To find an unknown parameter in a line, substitute the coordinates of the given point into its equation.
रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। विकल्प A में \(m=-3\) ऋणात्मक तथा \(c=4\) है। विकल्प B का अवरोध 4 है, पर उसकी ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक ढाल बताता है। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. In option A, \(m=-3\) is negative and \(c=4\). Option B has intercept 4 but a positive slope. Exam tip: check the coefficient of \(x\) for slope.
रेखा \(y=2x+c\) में \(x=0\) रखने पर \(y=c\) मिलता है। क्योंकि रेखा \(y\)-अक्ष को \((0,5)\) पर काटती है, इसलिए \(c=5\) होगा। अतः रेखा \(y=2x+5\) है। \(y=5x+2\) में ढाल बदल जाती है, जबकि दी हुई रेखा की ढाल 2 है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध \(c\) होता है। / Putting \(x=0\) in \(y=2x+c\) gives \(y=c\). Since the line cuts the \(y\)-axis at \((0,5)\), \(c=5\). Therefore, the line is \(y=2x+5\). In \(y=5x+2\), the slope changes, whereas the given line has slope 2. Exam tip: in \(y=mx+c\), the \(y\)-intercept is \(c\).
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है। यहाँ ढाल \(m=-3\) और \(y\)-अवरोध \(c=4\) है, इसलिए समीकरण \(y=-3x+4\) होगा। विकल्प A में अवरोध सही है, लेकिन उसकी ढाल \(+3\) है, \(-3\) नहीं। परीक्षा टिप: \(y\)-अक्ष पर काटने वाले बिंदु \((0,c)\) से स्थिरांक \(c\) सीधे मिल जाता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\). Here, the slope is \(m=-3\) and the \(y\)-intercept is \(c=4\), so the equation is \(y=-3x+4\). Option A has the correct intercept but its slope is \(+3\), not \(-3\). Exam tip: from a point \((0,c)\) on the \(y\)-axis, the constant term is directly \(c\).
A. दोनों रेखाओं की ढाल 4 है/Both lines have slope 4
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप y=mx+c में x का गुणांक m ढाल होता है। दोनों समीकरणों में x का गुणांक 4 है, इसलिए दोनों रेखाओं की ढाल 4 है और वे समानांतर हैं। -6 और 9 क्रमशः y-अवरोध हैं, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करने के लिए हमेशा x का गुणांक देखें। / In the form y=mx+c, the coefficient m of x is the slope. Since the coefficient of x is 4 in both equations, both lines have slope 4 and are parallel. The values -6 and 9 are y-intercepts, not slopes. Exam tip: To find the slope, look for the coefficient of x.
B. दोनों रेखाओं का y-अवरोध 5 है/Both lines have y-intercept 5
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में y-अवरोध \(c\) होता है, क्योंकि y-अक्ष पर \(x=0\) होता है। दोनों समीकरणों में स्थिर पद \(5\) है, इसलिए दोनों रेखाएँ y-अक्ष को \(5\) पर काटती हैं। \(-2\) और \(3\) उनकी ढालें हैं, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। / In the form \(y=mx+c\), the y-intercept is \(c\), because \(x=0\) on the y-axis. Both equations have constant term \(5\), so both lines meet the y-axis at \(5\). The values \(-2\) and \(3\) are their slopes, not their y-intercepts. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept.
रेखा का रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। यहाँ \(m=-6\) तथा \(c=0\) है, इसलिए समीकरण \(y=-6x\) होगा। \(y=6x\) का y-अवरोध 0 तो है, पर उसकी ढाल \(+6\) है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में x का गुणांक देखकर ढाल पहचानें। / A line can be written as \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here, \(m=-6\) and \(c=0\), so the equation is \(y=-6x\). Although \(y=6x\) also has y-intercept 0, its slope is \(+6\). Exam tip: In \(y=mx+c\), the coefficient of x gives the slope.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध है। यहाँ \(m=0\) तथा \(c=9\) रखने पर \(y=0x+9=9\) मिलता है। इसलिए रेखा क्षैतिज है और \(y\)-अक्ष को 9 पर काटती है। \(y=x+9\) का \(y\)-अवरोध 9 है, लेकिन उसकी ढाल 1 है। परीक्षा टिप: क्षैतिज रेखा का समीकरण हमेशा \(y=\) स्थिरांक के रूप में होता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Substituting \(m=0\) and \(c=9\) gives \(y=0x+9=9\). Hence, the line is horizontal and meets the \(y\)-axis at 9. Although \(y=x+9\) has a \(y\)-intercept of 9, its slope is 1. Exam tip: a horizontal line always has an equation of the form \(y=\) constant.
दिए गए समीकरण में x=0 रखने पर y=-(0)+6=6 प्राप्त होता है। इसलिए सही मान 6 है। यहाँ 6 रेखा का y-अवरोध भी है, क्योंकि रेखा y-अक्ष को x=0 पर काटती है। -1 समीकरण में x का गुणांक (ढाल) है, y का मान नहीं। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा x=0 रखें। / Substituting x=0 in the equation gives y=-(0)+6=6. Therefore, the correct value is 6. It is also the y-intercept because the line meets the y-axis where x=0. The value -1 is the coefficient of x (the slope), not the value of y. Exam tip: To find the y-intercept, always put x=0.
दिया गया समीकरण (y=10-4x) है। (x=0) रखने पर (y=10-4(0)=10) मिलता है। अतः सही उत्तर 10 है। यहाँ (-4) रेखा की ढाल है, (x=0) पर (y) का मान नहीं। परीक्षा टिप: (y=mx+c) के रूप में (x=0) पर (y) का मान हमेशा (c) होता है। / The given equation is (y=10-4x). Substituting (x=0) gives (y=10-4(0)=10). Hence, the correct answer is 10. Here, (-4) is the slope of the line, not the value of (y) when (x=0). Exam tip: In the form (y=mx+c), the value of (y) at (x=0) is always (c).
A. ढाल धनात्मक और y-अवरोध ऋणात्मक है/The slope is positive and the y-intercept is negative
Explanation
Simple Explanation
रेखा के समीकरण y=mx+c में m ढाल है और c y-अवरोध है। दिया है m>0, इसलिए ढाल धनात्मक है; तथा c<0, इसलिए रेखा y-अक्ष को मूलबिंदु के नीचे काटती है और y-अवरोध ऋणात्मक है। विकल्प B में दोनों संकेत उलटे हैं। परीक्षा टिप: y=mx+c में m को ढाल तथा c को y-अवरोध सीधे पहचानें। / In the line y=mx+c, m is the slope and c is the y-intercept. Since m>0, the slope is positive; since c<0, the line cuts the y-axis below the origin, so the y-intercept is negative. Option B reverses both signs. Exam tip: In y=mx+c, identify m directly as the slope and c as the y-intercept.
B. घटती हुई और (y)-अक्ष को धनात्मक भाग में काटती है/Decreasing and cuts positive part of (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(m<0) से रेखा घटती है और (c>0) से (y)-अवरोध धनात्मक है। संकेतों को अलग-अलग पढ़ें। / (m<0) means the line decreases and (c>0) means the (y)-intercept is positive. Read the signs separately.
समीकरण को ढाल-अंतःखंड रूप में लिखें: \(y+5=2x\), अतः \(y=2x-5\)। रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक \(m\) ढाल होता है, इसलिए ढाल \(2\) है। \(-5\) y-अंतःखंड है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: पहले समीकरण में \(y\) को अकेला करें, फिर \(x\) का गुणांक पहचानें। / Write the equation in slope-intercept form: \(y+5=2x\), so \(y=2x-5\). In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\), namely \(m\), is the slope. Therefore, the slope is \(2\). Here, \(-5\) is the y-intercept, not the slope. Exam tip: isolate \(y\) first and then identify the coefficient of \(x\).
दिए गए समीकरण में 7 को दाईं ओर ले जाने पर \(y=-3x+7\) मिलता है। \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें; तब \(y=7\) होगा। इसलिए \(y\)-अवरोध \(7\) है। \(-3\) ढाल है, \(y\)-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। / Moving 7 to the right gives \(y=-3x+7\). To find the \(y\)-intercept, put \(x=0\); then \(y=7\). Hence, the \(y\)-intercept is \(7\). Here, \(-3\) is the slope, not the \(y\)-intercept. Exam tip: in \(y=mx+c\), \(c\) is the \(y\)-intercept.
रेखा का रूप \(y=ax+4\) है, जिसमें \(x\) का गुणांक \(a\) ढाल होता है और \(4\) y-अवरोध है। ढाल 9 होने पर \(a=9\) रखने से \(y=9x+4\) प्राप्त होता है। \(y=4x+9\) में ढाल 4 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में ढाल हमेशा \(x\) का गुणांक \(m\) होती है। / The line is in the form \(y=ax+4\), where the coefficient of \(x\), namely \(a\), is the slope and 4 is the y-intercept. Since the slope is 9, substituting \(a=9\) gives \(y=9x+4\). In \(y=4x+9\), the slope is 4, so it is not correct. Exam tip: In \(y=mx+c\), the coefficient \(m\) of \(x\) is the slope.
रेखा के रूप \(y=-2x+b\) में स्थिर पद \(b\), \(y\)-अवरोध होता है। यहाँ \(b=-6\) दिया है, इसलिए \(b\) के स्थान पर \(-6\) रखने पर \(y=-2x-6\) प्राप्त होता है। विकल्प C में अवरोध सही है, लेकिन \(x\) का गुणांक \(-2\) के बजाय \(+2\) है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(c\) सीधे \(y\)-अवरोध होता है। / In the form \(y=-2x+b\), the constant term \(b\) is the \(y\)-intercept. Since \(b=-6\), substituting it gives \(y=-2x-6\). Option C has the correct intercept but changes the coefficient of \(x\) from \(-2\) to \(+2\). Exam tip: in \(y=mx+c\), \(c\) is directly the \(y\)-intercept.
A. वे समान ढाल वाली समानांतर रेखाएँ हैं/They are parallel lines with the same slope
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। दोनों रेखाओं में \(m=3\) है, इसलिए उनकी ढाल समान है। उनके y-अवरोध क्रमशः \(1\) और \(-5\) हैं, इसलिए वे अलग-अलग समानांतर रेखाएँ हैं, एक ही रेखा नहीं। परीक्षा टिप: समान ढाल लेकिन अलग y-अवरोध वाली रेखाएँ समानांतर होती हैं। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Both lines have \(m=3\), so they have the same slope. Their y-intercepts are \(1\) and \(-5\), respectively; hence, they are distinct parallel lines, not the same line. Exam tip: lines with equal slopes but different y-intercepts are parallel.
B. दोनों का y-अवरोध समान है/Both have the same y-intercept
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप y=mx+c में c, y-अवरोध होता है। दोनों समीकरणों में c=7 है, इसलिए दोनों रेखाएं y-अक्ष को (0,7) पर काटती हैं। उनकी ढालें 2 और -5 हैं, अतः ढाल समान नहीं है; केवल दूसरी रेखा घटती हुई है। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखें। / In the form y=mx+c, c is the y-intercept. In both equations, c=7, so both lines meet the y-axis at (0,7). Their slopes are 2 and -5, so the slopes are not the same; only the second line is decreasing. Exam tip: put x=0 to find the y-intercept.
रेखा y=12 में y का मान हर बिंदु पर 12 रहता है, इसलिए यह x-अक्ष के समानांतर क्षैतिज रेखा है। क्षैतिज रेखा की ढाल 0 होती है और यह y-अक्ष को (0, 12) पर काटती है, अतः y-अवरोध 12 है। विकल्प D में ढाल तो सही है, पर y-अवरोध -12 होता तो रेखा y=-12 होती। परीक्षा टिप: y=c के रूप की हर रेखा की ढाल 0 और y-अवरोध c होता है। / In the line y=12, the value of y remains 12 at every point, so it is a horizontal line parallel to the x-axis. A horizontal line has slope 0, and it meets the y-axis at (0, 12); therefore, its y-intercept is 12. In option D, the slope is correct, but a y-intercept of -12 would represent the line y=-12. Exam tip: For every line of the form y=c, the slope is 0 and the y-intercept is c.
रेखा y = -9 में y का मान हर x के लिए स्थिर रहता है, इसलिए यह x-अक्ष के समानांतर क्षैतिज रेखा है और इसकी ढाल 0 होती है। x = 0 रखने पर y = -9 मिलता है, अतः y-अवरोध -9 है। विकल्प B में ढाल तो 0 है, लेकिन y-अवरोध का चिह्न गलत है। परीक्षा टिप: y = c के रूप की प्रत्येक रेखा की ढाल 0 और y-अवरोध c होता है। / In the equation y = -9, the value of y remains constant for every value of x. Therefore, it is a horizontal line parallel to the x-axis, so its slope is 0. Putting x = 0 gives y = -9, hence the y-intercept is -9. Option B has the correct slope but the wrong sign for the y-intercept. Exam tip: every line of the form y = c has slope 0 and y-intercept c.
रेखा \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल होती है, जो \(x\) में प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) का परिवर्तन बताती है। यहाँ ढाल \(\frac{1}{4}\) है। अतः \(x\) में 8 की वृद्धि पर \(y\) में परिवर्तन \(\Delta y=\frac{1}{4}\times 8=2\) होगा। 6 y-अवरोध है, परिवर्तन नहीं। परीक्षा टिप: परिवर्तन निकालने के लिए ढाल को \(x\) के परिवर्तन से गुणा करें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope, which gives the change in \(y\) for each 1-unit change in \(x\). Here, the slope is \(\frac{1}{4}\). Therefore, when \(x\) increases by 8, \(\Delta y=\frac{1}{4}\times 8=2\). The number 6 is the y-intercept, not the change in \(y\). Exam tip: multiply the slope by the change in \(x\) to find the change in \(y\).
रेखा की ढाल \(-\frac{2}{5}\) है, अर्थात \(x\) में प्रत्येक 5 इकाई की वृद्धि पर \(y\) 2 इकाई घटता है। इसलिए \(x\) में 10 इकाई की वृद्धि के लिए \(\Delta y=-\frac{2}{5}\times 10=-4\) होगा। अतः \(y\) की कमी 4 इकाई है। विकल्प 2 केवल \(x\) में 5 इकाई वृद्धि के लिए होता। परीक्षा टिप: “कितना घटेगा” पूछने पर ऋणात्मक परिवर्तन का परिमाण लिखें। / The slope is \(-\frac{2}{5}\), so for every increase of 5 units in \(x\), \(y\) decreases by 2 units. For an increase of 10 units, \(\Delta y=-\frac{2}{5}\times 10=-4\). Hence, \(y\) decreases by 4 units. Option 2 would apply only when \(x\) increases by 5 units. Exam tip: when asked “how much does it decrease,” report the magnitude of the negative change.
ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। यहाँ \(m=2\), \(c=-3\) रखने पर \(y=2x-3\) मिलता है। \(y=2x+3\) में अवरोध का चिह्न गलत है। परीक्षा में \(x\) का गुणांक और स्थिर पद अलग-अलग जाँचें। / In slope-intercept form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. With \(m=2\) and \(c=-3\), the equation is \(y=2x-3\). In \(y=2x+3\), the intercept has the wrong sign. Exam tip: check the coefficient of \(x\) and the constant separately.
\(y=5\) में \(x\) का गुणांक 0 है, इसलिए इसकी ढाल 0 है। \(x=0\) पर \(y=5\), अतः y-अवरोध 5 है। \(x=5\) ऊर्ध्वाधर रेखा है। परीक्षा में \(y=mx+c\) से \(m\) और \(c\) पहचानें। / In \(y=5\), the coefficient of \(x\) is 0, so the slope is 0. At \(x=0\), \(y=5\), giving y-intercept 5. \(x=5\) is a vertical line. Exam tip: identify \(m\) and \(c\) from \(y=mx+c\).
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। यहाँ \(m=3\) तथा \(x=0\) पर \(y=4\) होने से \(c=4\) है। इसलिए रेखा \(y=3x+4\) है। \(y=4x+3\) में ढाल 4 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर मिलने वाला \(y\) स्थिर पद होता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here, \(m=3\), and \(y=4\) when \(x=0\), so \(c=4\). Therefore, the equation is \(y=3x+4\). In \(y=4x+3\), the slope is 4, so it is not correct. Exam tip: on putting \(x=0\), the resulting value of \(y\) is the constant term.
रेखा का ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध है। यहाँ \(m=-5\) तथा \(x=0\) पर \(y=-2\) है, इसलिए \(c=-2\) होगा। अतः रेखा \(y=-5x-2\) है। विकल्प D में ढाल सही है, लेकिन उसका y-अवरोध \(+2\) है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर समीकरण में स्थिर पद सीधे y-अवरोध देता है। / The slope-intercept form of a line is \(y=mx+c\), where \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Here, \(m=-5\), and at \(x=0\), \(y=-2\); therefore, \(c=-2\). Hence, the line is \(y=-5x-2\). Option D has the correct slope but its y-intercept is \(+2\). Exam tip: Put \(x=0\) in an equation to identify its y-intercept directly.
B. ढाल अलग है और (y)-अवरोध समान हैं/Slopes are different and (y)-intercepts are same
Explanation
Simple Explanation
ढालें (8) और (-8) हैं लेकिन स्थिर पद (-3) दोनों में समान है। इसलिए (y)-अवरोध समान है। / The slopes are (8) and (-8), but the constant term (-3) is same in both. So the (y)-intercepts are equal.
A. ढाल समान है और y-अवरोध अलग हैं/Slopes are the same and y-intercepts are different
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप y=mx+c में m ढाल और c y-अवरोध होता है। दोनों समीकरणों में x का गुणांक -6 है, इसलिए दोनों की ढाल समान है। उनके y-अवरोध क्रमशः 2 और -7 हैं, इसलिए वे अलग हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि -6 ऋणात्मक ढाल है। परीक्षा टिप: y=mx+c में x का गुणांक ढाल और स्थिर पद y-अवरोध बताता है। / In the form y=mx+c, m is the slope and c is the y-intercept. Both equations have -6 as the coefficient of x, so their slopes are the same. Their y-intercepts are 2 and -7 respectively, so they are different. Option D is wrong because -6 is a negative slope. Exam tip: In y=mx+c, the coefficient of x gives the slope and the constant term gives the y-intercept.
