Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दशमलव के अंक हैं: 5, 6, 0, 9, 0, 9, 0, 9, ...। यहाँ 56 अनावर्ती भाग है और उसके बाद 09 का समूह बार-बार दोहरता है। इसलिए सही संकेतन \(0.56\overline{09}\) है। विकल्प \(0.560\overline{9}\) में केवल 9 को आवर्ती माना गया है, जबकि वास्तव में 0 और 9 दोनों दोहरते हैं। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दशमलव के अंकों को अलग-अलग लिखकर सबसे छोटे दोहरने वाले समूह को पहचानें। / The decimal digits are 5, 6, 0, 9, 0, 9, 0, 9, ... . Here, 56 is the non-repeating part, and the block 09 repeats thereafter. Hence the correct notation is \(0.56\overline{09}\). In \(0.560\overline{9}\), only 9 is treated as recurring, but both 0 and 9 repeat as a block. Exam tip: Write out a few decimal digits first and identify the smallest repeating block before placing the bar.
A. जब \(q\) के अभाज्य गुणनखंड केवल \(2\) और \(5\) हों/When the prime factors of \(q\) are only \(2\) and \(5\)
Explanation
Simple Explanation
न्यूनतम रूप में \(q=2^m5^n\) होने पर ही दशमलव प्रसार समाप्त होता है। केवल सम हर पर्याप्त नहीं है, क्योंकि \(6=2\cdot3\) में 3 भी है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को न्यूनतम रूप में करें। / In lowest form, a decimal terminates only when \(q=2^m5^n\). An even denominator alone is not enough, since \(6=2\cdot3\) also contains 3. Exam tip: reduce the fraction to lowest form first.
\( \frac{11}{17}=0.647058\ldots \), जो (0.6471) से छोटा है। तुलना में सभी संख्याओं को दशमलव रूप में देखें। / \( \frac{11}{17}=0.647058\ldots \), which is less than (0.6471). View all numbers in decimal form for comparison.
13.24999\ldots में दशमलव के बाद 4 के पश्चात अनंत 9 हैं। किसी भी स्थान पर अनंत 9 का मान उस स्थान के अगले अंक को 1 बढ़ाने के बराबर होता है; अर्थात 0.00999\ldots = 0.01। इसलिए 13.24999\ldots = 13.25। विकल्प 13.249 केवल तीन दशमलव स्थानों तक काटा गया मान है, इसलिए यह बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: अनंत आवर्ती 9 को देखकर उसके ठीक पहले वाले अंक में 1 जोड़ दें। / In 13.24999\ldots, infinitely many 9s occur after 13.24. An infinite tail of 9s increases the preceding place value by 1; for example, 0.00999\ldots = 0.01. Hence, 13.24999\ldots = 13.25. Option 13.249 is only a truncated value and is not equal to the given decimal. Exam tip: Replace an infinite string of 9s by adding 1 to the digit immediately before it.
C. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Explanation
Simple Explanation
क्रमिक 1 के बाद शून्यों की संख्या 1, 2, 3, ... बढ़ती है; कोई स्थिर अंक-खंड नहीं दोहरता। अतः यह असांत-अनावर्ती, यानी अपरिमेय है। परीक्षा में आवर्ती खंड जाँचें। / The zero gaps after successive 1s are 1, 2, 3, ..., so no fixed digit block repeats. Hence it is non-terminating and non-recurring, therefore irrational. Exam tip: look for a repeating block, not merely repeated digits.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
यहाँ बार केवल 81 के ऊपर है, इसलिए दशमलव के बाद पहले तीन अंक 000 अनावर्ती हैं और उसके बाद 81 लगातार दोहरता है। अतः \(0.000\overline{81}=0.000818181\ldots\) होगा। विकल्प B में एक अतिरिक्त 0 आ जाता है, जबकि विकल्प C में 810 का आवर्तन दिखाया गया है। परीक्षा टिप: बार के नीचे आने वाले अंकों को ही आवर्ती भाग मानें; बार से पहले के अंक केवल एक बार लिखे जाते हैं। / The bar is placed only over 81. Thus, the first three digits after the decimal point, 000, do not repeat, and 81 repeats thereafter. Hence, \(0.000\overline{81}=0.000818181\ldots\). Option B has an extra zero, while option C incorrectly makes 810 the repeating block. Exam tip: only the digits under the bar repeat; digits before the bar are written once.
\(\frac{33}{154}=\frac{3}{14}\) और \(14=2\times7\) है। सरलतम रूप के हर में 2 और 5 के अलावा 7 भी है, इसलिए दशमलव प्रसार अनंत आवर्ती होगा। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को अवश्य सरल करें। / \(\frac{33}{154}=\frac{3}{14}\), and \(14=2\times7\). Its reduced denominator has a prime factor other than 2 or 5, so the decimal is non-terminating recurring. Exam tip: simplify the fraction before checking denominator factors.
यहाँ 17.374999\ldots में दशमलव के बाद 4 के पश्चात अनंत 9 हैं। क्योंकि \(0.009999\ldots=0.010\), इसलिए \(17.374999\ldots=17.375\)। विकल्प 17.374 केवल एक सन्निकट मान है, बराबर मान नहीं। परीक्षा में याद रखें: किसी अंक के बाद अनंत 9 हों, तो उस अंक को 1 बढ़ाकर शेष 9 हटा सकते हैं। / In 17.374999\ldots, infinitely many 9s occur after 4. Since \(0.009999\ldots=0.010\), we get \(17.374999\ldots=17.375\). Option 17.374 is only an approximation, not an equal value. Exam tip: when infinitely many 9s follow a digit, increase that digit by 1 and remove the repeating 9s.
\( \frac{45}{64}=0.703125 \) और \(0.703\overline{1}=0.703111\ldots\) है। इसलिए (0.703125) बड़ा है। / \( \frac{45}{64}=0.703125 \) and \(0.703\overline{1}=0.703111\ldots\). Therefore, (0.703125) is greater.
दशमलव के बाद पहला अंक 0 केवल एक बार आता है। इसके बाद 96, 96, 96, … लगातार दोहरता है। इसलिए बार केवल 96 के ऊपर लगेगा: \(0.0\overline{96}\)। विकल्प \(0.\overline{96}\) में 0 भी आवर्ती माना जाएगा, जबकि \(0.09\overline{6}\) में केवल 6 आवर्ती है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दशमलव अंकों को अलग करके लिखें और सबसे छोटा दोहरने वाला समूह पहचानें। / The first digit after the decimal point, 0, occurs only once. After it, the block 96 repeats as 96, 96, 96, … . Therefore, the bar is placed only over 96: \(0.0\overline{96}\). In \(0.\overline{96}\), 0 would also repeat, while \(0.09\overline{6}\) makes only 6 recurring. Exam tip: write out a few decimal digits and identify the shortest repeating block before placing the bar.
रवि कहता है, “जिस भिन्न के हर में 3 का गुणनखंड हो, उसका दशमलव प्रसार कभी सांत नहीं हो सकता।” निम्नलिखित में से कौन-सी भिन्न रवि के कथन को गलत सिद्ध करती है?
\(\frac{21}{30}=\frac{7}{10}=0.7\), इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत है। सांत दशमलव का नियम भिन्न को सरलतम रूप में करने के बाद लागू होता है; \(\frac{7}{30}\) में 3 नहीं कटता। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल करें। / \(\frac{21}{30}=\frac{7}{10}=0.7\), so its decimal expansion terminates. The prime-factor test is applied only after reducing the fraction; in \(\frac{7}{30}\), factor 3 remains. Exam tip: simplify first.
A. हर अभाज्य गुणनखंड केवल 2 या 5 है/Every prime factor is only 2 or 5
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 होने पर हर को \(10^n\) के रूप में बदला जा सकता है, इसलिए दशमलव सांत होता है। 2 या 5 के अलावा कोई गुणनखंड हो तो प्रसार आवर्ती होता है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में करें। / In lowest terms, a denominator containing only 2 and 5 can be converted into a factor of \(10^n\), so the decimal terminates. Any other prime factor gives a recurring decimal. Exam tip: reduce the fraction first before checking its denominator.
