Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\( \frac{13}{17}=0.764705\ldots \), जो (0.7648) से छोटा है। तुलना में सभी संख्याओं को दशमलव रूप में देखें। / \( \frac{13}{17}=0.764705\ldots \), which is less than (0.7648). View all numbers in decimal form for comparison.
यहाँ 8.03999\ldots में दशमलव के बाद तीसरे स्थान से 9 अनंत तक दोहराए जा रहे हैं। क्योंकि \(0.00999\ldots=0.01\), इसलिए \(8.03999\ldots=8.03+0.00999\ldots=8.04\)। विकल्प 8.039 केवल संख्या को बीच में रोक देता है; वह अनंत 9 के प्रभाव को शामिल नहीं करता। परीक्षा टिप: किसी अंक के बाद अनंत 9 हों, तो उस अंक तक की संख्या में अंतिम संबंधित अंक को 1 बढ़ाकर लिखें। / In 8.03999\ldots, 9 repeats forever from the third decimal place onward. Since \(0.00999\ldots=0.01\), \(8.03999\ldots=8.03+0.00999\ldots=8.04\). Option 8.039 merely stops the decimal and does not account for the infinitely repeating 9s. Exam tip: When infinitely many 9s follow a digit, increase the relevant preceding digit by 1.
C. असांत अनावर्ती दशमलव प्रसार/A non-terminating non-recurring decimal expansion
Explanation
Simple Explanation
असांत अनावर्ती प्रसार में कोई अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता, इसलिए वह अपरिमेय होता है। आरंभिक अंकों के बाद आवर्ती प्रसार परिमेय है। परीक्षा टिप: आवृत्ति-चिह्न दिखे तो संख्या परिमेय है। / A non-terminating, non-recurring expansion has no repeating block, so it is irrational. A recurring expansion after initial digits is rational. Exam tip: a bar denotes repetition.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
बार चिह्न केवल 63 के ऊपर है, इसलिए 63 बार-बार दोहरता है। दशमलव बिंदु के बाद पहले तीन अंक 000 हैं और उसके बाद 63, 63, 63, ... आता है। अतः सही रूप \(0.000636363\ldots\) है। विकल्प B में 63 को एक स्थान अधिक दाईं ओर खिसका दिया गया है। परीक्षा टिप: बार के पहले के अंक केवल एक बार लिखें, जबकि बार के भीतर के अंकों को बार-बार दोहराएँ। / The bar is over 63 only, so the block 63 repeats indefinitely. There are three zeros immediately after the decimal point, followed by 63, 63, 63, ... Hence the correct form is \(0.000636363\ldots\). Option B incorrectly shifts the repeating block one place to the right. Exam tip: write the digits before the bar once, then repeat only the barred block.
B. यह अपरिमेय है, क्योंकि क्रमिक 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है; इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता।/It is irrational because the number of zeros between successive 1s increases; hence no fixed repeating block occurs.
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प B है। 1 के बीच शून्यों के समूह 1, 2, 3, … बढ़ते हैं, इसलिए कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं बनता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। टिप: केवल सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / Option B is correct. Zero blocks of lengths 1, 2, 3, … prevent a fixed period. Thus the decimal is non-terminating, non-repeating and irrational. Tip: rational decimal expansions terminate or repeat.
उत्तर 11.625 है। 11.624999\ldots में 4 के बाद अनंत तक 9 आते हैं। किसी स्थान पर अनंत आवर्ती 9 होने पर वह संख्या अगले स्थान पर 1 बढ़ाकर लिखी जा सकती है; अतः 11.624999\ldots = 11.625। 11.624 केवल तीन दशमलव स्थानों तक काटा हुआ मान है, इसलिए यह बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी संख्या के अंत में \(999\ldots\) दिखे, तो उसके ठीक पहले वाले अंक में 1 जोड़ दें। / The correct value is 11.625. In 11.624999\ldots, 9s continue indefinitely after 4. An infinite repeating tail of 9s can be replaced by increasing the preceding digit by 1; hence 11.624999\ldots = 11.625. The number 11.624 is only a truncated value, so it is not equal to the given decimal. Exam tip: when a decimal ends in \(999\ldots\), add 1 to the digit immediately before that repeating tail.
\( \frac{27}{64}=0.421875 \) और \(0.421\overline{8}=0.421888\ldots\) है। इसलिए आवर्ती संख्या बड़ी है। / \( \frac{27}{64}=0.421875 \) and \(0.421\overline{8}=0.421888\ldots\). Therefore, the recurring number is greater.
दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक 0 है, जो केवल एक बार आता है। इसके बाद 85, 85, 85, ... का क्रम लगातार दोहरता है। इसलिए बार केवल 85 पर लगाया जाता है: \(0.0\overline{85}\)। \(0.\overline{85}\) गलत है, क्योंकि उसमें 85 दशमलव बिंदु के तुरंत बाद से दोहरना शुरू हो जाता है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले उन अंकों को पहचानें जो वास्तव में बार-बार दोहर रहे हैं। / After the decimal point, the first digit is 0 and it occurs only once. Then the block 85 repeats continuously as 85, 85, 85, ... . Hence, the bar is placed only over 85: \(0.0\overline{85}\). \(0.\overline{85}\) is incorrect because it starts repeating 85 immediately after the decimal point. Exam tip: identify the exact repeating block before placing the bar.
\(\frac{21}{150}\) को 3 से सरल करने पर \(\frac{7}{50}\) मिलता है और \(50=2\times5^2\) है। सरलतम रूप के हर में केवल 2 और 5 हों तो दशमलव समाप्त होता है। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल करें। / On reducing \(\frac{21}{150}\) by 3, we get \(\frac{7}{50}\), and \(50=2\times5^2\). A decimal terminates when the denominator in lowest form has only 2 and 5 as prime factors. Exam tip: reduce first.
B. जब \(q\) में 2 और 5 के अतिरिक्त कम-से-कम एक अभाज्य गुणनखंड हो/When \(q\) has at least one prime factor other than 2 or 5
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप में हर \(q\) में 2 या 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड होने पर दशमलव अनंत आवर्ती होता है। केवल 2 और 5 होने पर प्रसार सांत होता है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरल करें। / In lowest form, a denominator containing any prime factor other than 2 or 5 gives a non-terminating recurring decimal. A denominator with only 2 and 5 gives a terminating decimal. Exam tip: reduce the fraction first.
