Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(S \circ R\) हमेशा स्ववाची होगा/\(S \circ R\) is always reflexive
Step 1
Concept
किसी भी \(a \in A\) के लिए \((a,a) \in R\) और \((a,a) \in S\) है। / For every \(a \in A\), \((a,a) \in R\) and \((a,a) \in S\).
Step 2
Why this answer is correct
संयोजन में बीच का अवयव (a) ही चुन सकते हैं, इसलिए \((a,a) \in S \circ R\) होगा। / In the composition, choose the middle element as (a), so \((a,a) \in S \circ R\).
Step 3
Exam Tip
स्ववाची संबंधों का संयोजन भी स्ववाची होता है। / The composition of reflexive relations is reflexive.
(B) का हर अवयव (A) में भी है। / Every element of (B) is also in (A).
Step 2
Why this answer is correct
(R) स्ववाची होने से हर \(b \in B\) के लिए \((b,b) \in R\) है और \((b,b) \in B \times B\) भी है। / Since (R) is reflexive, \((b,b) \in R\) for every \(b \in B\), and also \((b,b) \in B \times B\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिबंधित संबंध (B) पर स्ववाची रहेगा। / Thus the restricted relation is reflexive on (B).
D. तत्समक संबंध \(\Delta_A={(a,a):a \in A}\)/Identity relation \(\Delta_A={(a,a):a \in A}\)
Step 1
Concept
स्ववाचीता के लिए सभी विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity requires all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे छोटे संबंध में केवल वही अनिवार्य युग्म रखे जाते हैं, कोई अतिरिक्त युग्म नहीं। / The smallest relation keeps only those compulsory pairs and no extra pair.
Step 3
Exam Tip
इसलिए तत्समक संबंध सबसे छोटा स्ववाची संबंध है। / Therefore the identity relation is the smallest reflexive relation.
(3) अवयवों पर कुल (9) युग्म हैं, जिनमें (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / With (3) elements, there are (9) pairs, and (3) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर (6) युग्म हैं, पर ((1,2)) और ((2,3)) पहले से अनिवार्य कर दिए गए हैं। / Among the (6) non-diagonal pairs, ((1,2)) and ((2,3)) are also fixed.
Step 3
Exam Tip
बाकी (4) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। / The remaining (4) pairs are optional, so the count is \(2^4=16\).
स्ववाचीता से (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity fixes the (4) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति में हर अविकर्ण जोड़ी ((a,b)) और ((b,a)) साथ-साथ चुनी जाती है या छोड़ी जाती है। / Symmetry makes each unordered off-diagonal pair either included both ways or excluded both ways.
Step 3
Exam Tip
ऐसी \({4 \choose 2}=6\) जोड़ियाँ हैं, इसलिए संख्या \(2^6=64\) है। / There are \({4 \choose 2}=6\) such pairs, so the count is \(2^6=64\).
स्ववाचीता से (3) विकर्ण युग्म निश्चित हैं। / Reflexivity fixes the (3) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हर अलग अवयवों की जोड़ी के लिए तीन विकल्प हैं: कोई दिशा नहीं, पहली दिशा, या उल्टी दिशा। / For each unordered pair of distinct elements, there are three choices: no direction, one direction, or the opposite direction.
Step 3
Exam Tip
\({3 \choose 2}=3\) जोड़ियाँ हैं, इसलिए संख्या \(3^3=27\) है। / Since there are \({3 \choose 2}=3\) such pairs, the count is \(3^3=27\).
