यदि (R) समुच्चय (A) पर स्ववाची संबंध है, तो \(R^{-1}\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) is a reflexive relation on a set (A), which statement about \(R^{-1}\) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#inverse_relation
#hard
A \(R^{-1}\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R^{-1}\) is always reflexive
B \(R^{-1}\) कभी स्ववाची नहीं होगा / \(R^{-1}\) is never reflexive
C \(R^{-1}\) तभी स्ववाची होगा जब (R) सममित हो / It is reflexive only when (R) is symmetric
D \(R^{-1}\) केवल सीमित समुच्चय पर स्ववाची होगा / It is reflexive only on finite sets
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Correct Answer
A. \(R^{-1}\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R^{-1}\) is always reflexive
Step 1
Concept
स्ववाची होने से हर \((a,a) \in R\) है। / Since (R) is reflexive, every \((a,a) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टे संबंध में ((a,a)) का उल्टा भी ((a,a)) ही रहता है। / The inverse of ((a,a)) is again ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
उल्टा संबंध बनाते समय विकर्ण युग्म नहीं बदलते। / Diagonal pairs remain unchanged in the inverse relation.
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किसी संबंध (R) को स्ववाची बनाने के लिए सबसे छोटा आवश्यक विस्तार कौन-सा है?
What is the smallest necessary extension that makes a relation (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#reflexive_closure
#hard
A \(R \cap \Delta_A\)
B \(R \cup \Delta_A\)
C \(R-\Delta_A\)
D \(A \times A-R\)
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Correct Answer
B. \(R \cup \Delta_A\)
Step 1
Concept
\(\Delta_A={(a,a):a \in A}\) में सभी विकर्ण युग्म होते हैं। / \(\Delta_A={(a,a):a \in A}\) contains all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R \cup \Delta_A\) में पुराने युग्म भी रहते हैं और छूटे हुए विकर्ण युग्म भी आ जाते हैं। / \(R \cup \Delta_A\) keeps the old pairs and adds any missing diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
स्ववाची आवरण के लिए यही सबसे छोटा सुरक्षित तरीका है। / This gives the smallest reflexive closure.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) सम है}) दिया है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is even}) is given. Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#even_sum
#hard
A (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि (1+1) विषम है / (R) is not reflexive because (1+1) is odd
B (R) केवल दो अवयवों के लिए स्ववाची है / (R) is reflexive only for two elements
C (R) स्ववाची है क्योंकि हर (a+a) सम है / (R) is reflexive because every (a+a) is even
D (R) खाली संबंध है / (R) is the empty relation
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Correct Answer
C. (R) स्ववाची है क्योंकि हर (a+a) सम है / (R) is reflexive because every (a+a) is even
Step 1
Concept
स्ववाची जाँच में ((a,a)) देखें। / To test reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) के लिए (a+a=2a) सम होता है, इसलिए \((a,a) \in R\) है। / For every (a), (a+a=2a) is even, so \((a,a) \in R\).
Step 3
Exam Tip
इस प्रकार के प्रश्नों में (b=a) रखकर देखें। / In such questions, put (b=a) first.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a-b\) 4 से विभाज्य है}) है। क्या (R) स्ववाची है?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 4}). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#divisibility
#hard
A नहीं, क्योंकि (a-b) हमेशा (4) नहीं होता / No, because (a-b) is not always (4)
B हाँ, क्योंकि (a-a=0) और (0) (4) से विभाज्य है / Yes, because (a-a=0) and (0) is divisible by (4)
C नहीं, क्योंकि (0) विभाज्य नहीं माना जाता / No, because (0) is not considered divisible
D केवल (a=4) के लिए हाँ / Yes only for (a=4)
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Correct Answer
B. हाँ, क्योंकि (a-a=0) और (0) (4) से विभाज्य है / Yes, because (a-a=0) and (0) is divisible by (4)
Step 1
Concept
स्ववाची होने के लिए हर ((a,a)) संबंध में होना चाहिए। / For reflexivity, every ((a,a)) must belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0) होता है और (0) किसी भी अशून्य संख्या से विभाज्य माना जाता है। / (a-a=0), and (0) is divisible by any non-zero integer.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले संबंधों में विकर्ण पर अंतर हमेशा (0) होता है। / In divisibility-type relations, the diagonal difference is always (0).
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) विषम है}) दिया है। (R) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is odd}). What is the correct conclusion about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#odd_sum
#hard
A (R) स्ववाची है / (R) is reflexive
B (R) सार्वत्रिक संबंध है / (R) is the universal relation
C (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है / (R) is not reflexive because no ((a,a)) belongs to it
D (R) केवल (A) के सबसे बड़े अवयव के लिए स्ववाची है / (R) is reflexive only for the largest element of (A)
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Correct Answer
C. (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है / (R) is not reflexive because no ((a,a)) belongs to it
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म के लिए (a=b) रखें। / Put (a=b) for diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
तब (a+b=2a) होगा, जो हमेशा सम है, विषम नहीं। / Then (a+b=2a), which is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
यदि एक भी आवश्यक विकर्ण युग्म न मिले, संबंध स्ववाची नहीं होता। / If required diagonal pairs are missing, the relation is not reflexive.
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समुच्चय \(A=\{2,4,6\}\) पर \(R=\{(a,b):a \le b\}\) है। (R) स्ववाची क्यों है?
On \(A=\{2,4,6\}\), \(R=\{(a,b):a \le b\}\). Why is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#order_relation
#hard
A क्योंकि हर \(a \le a\) सत्य है / Because every \(a \le a\) is true
B क्योंकि हर (a<a) सत्य है / Because every (a<a) is true
C क्योंकि (A) में केवल सम संख्याएँ हैं / Because (A) has only even numbers
D क्योंकि (R) में केवल तीन युग्म हैं / Because (R) has only three pairs
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Correct Answer
A. क्योंकि हर \(a \le a\) सत्य है / Because every \(a \le a\) is true
Step 1
Concept
स्ववाची जाँच में अपने साथ संबंध देखना होता है। / Reflexivity checks whether each element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी संख्या के लिए \(a \le a\) सत्य है, इसलिए ((a,a)) हमेशा शामिल होगा। / For every number, \(a \le a\) is true, so ((a,a)) is included.
Step 3
Exam Tip
(<) और \(\le\) में अंतर ध्यान से देखें। / Be careful about the difference between (<) and \(\le\).
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समुच्चय \(A=\{2,4,6\}\) पर \(R=\{(a,b):a<b\}\) है। (R) स्ववाची क्यों नहीं है?
On \(A=\{2,4,6\}\), \(R=\{(a,b):a<b\}\). Why is (R) not reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#strict_inequality
#hard
A क्योंकि (a<a) कभी सत्य नहीं होता / Because (a<a) is never true
B क्योंकि (A) में तीन अवयव हैं / Because (A) has three elements
C क्योंकि (R) में कुछ युग्म हैं / Because (R) has some pairs
D क्योंकि (a<b) हमेशा सत्य है / Because (a<b) is always true
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Correct Answer
A. क्योंकि (a<a) कभी सत्य नहीं होता / Because (a<a) is never true
Step 1
Concept
स्ववाची होने के लिए ((a,a)) चाहिए। / Reflexivity requires ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (a<a) किसी भी (a) के लिए सत्य नहीं होती, इसलिए कोई विकर्ण युग्म नहीं आएगा। / The condition (a<a) is false for every (a), so no diagonal pair appears.
Step 3
Exam Tip
कड़े असमिका वाले संबंध अक्सर स्ववाची नहीं होते। / Strict inequality relations are usually not reflexive.
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किसी समुच्चय (A) के घात समुच्चय (P(A)) पर संबंध \(R=\{(X,Y):X \subseteq Y\}\) दिया है। (R) कैसा है?
On the power set (P(A)) of a set (A), the relation \(R=\{(X,Y):X \subseteq Y\}\) is given. What is (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#power_set
#subset
#hard
A स्ववाची, क्योंकि \(X \subseteq X\) होता है / Reflexive because \(X \subseteq X\)
B स्ववाची नहीं, क्योंकि कोई समुच्चय अपने बराबर नहीं होता / Not reflexive because no set equals itself
C स्ववाची केवल रिक्त समुच्चय के लिए / Reflexive only for the empty set
D स्ववाची केवल एक अवयव वाले समुच्चय के लिए / Reflexive only for singleton sets
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Correct Answer
A. स्ववाची, क्योंकि \(X \subseteq X\) होता है / Reflexive because \(X \subseteq X\)
Step 1
Concept
(P(A)) का हर अवयव स्वयं एक समुच्चय है। / Each element of (P(A)) is itself a set.
Step 2
Why this answer is correct
हर समुच्चय (X) के लिए \(X \subseteq X\) सत्य है। / For every set (X), \(X \subseteq X\) is true.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय और उचित उपसमुच्चय में अंतर याद रखें। / Remember the difference between subset and proper subset.
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किसी समुच्चय (A) के घात समुच्चय (P(A)) पर \(R=\{(X,Y):X \subset Y\}\) है, जहाँ \(\subset\) उचित उपसमुच्चय दर्शाता है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?
On (P(A)), \(R=\{(X,Y):X \subset Y\}\), where \(\subset\) denotes proper subset. Which statement is correct about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#proper_subset
#hard
A स्ववाची है / It is reflexive
B स्ववाची नहीं है क्योंकि \(X \subset X\) असत्य है / It is not reflexive because \(X \subset X\) is false
C हर (A) के लिए सार्वत्रिक है / It is universal for every (A)
D केवल सीमित (A) पर स्ववाची है / It is reflexive only when (A) is finite
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Correct Answer
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि \(X \subset X\) असत्य है / It is not reflexive because \(X \subset X\) is false
Step 1
Concept
उचित उपसमुच्चय में बराबरी की अनुमति नहीं होती। / A proper subset does not allow equality.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी समुच्चय अपने ही उचित उपसमुच्चय के रूप में नहीं माना जाता। / No set is a proper subset of itself.
Step 3
Exam Tip
\(\subseteq\) और \(\subset\) का अर्थ अलग-अलग समझें। / Distinguish \(\subseteq\) from \(\subset\) carefully.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a\) b को विभाजित करता है}) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a\) divides b}). Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#divides
#hard
A स्ववाची है, क्योंकि (a) स्वयं को विभाजित करता है / Reflexive because (a) divides itself
B स्ववाची नहीं है, क्योंकि (1) सभी को विभाजित करता है / Not reflexive because (1) divides all elements
C स्ववाची नहीं है, क्योंकि (4) (1) को विभाजित नहीं करता / Not reflexive because (4) does not divide (1)
D स्ववाची तभी है जब (A) में केवल अभाज्य संख्याएँ हों / Reflexive only when (A) has only prime numbers
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Correct Answer
A. स्ववाची है, क्योंकि (a) स्वयं को विभाजित करता है / Reflexive because (a) divides itself
Step 1
Concept
स्ववाची के लिए हर ((a,a)) देखना है। / For reflexivity, check each ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए ((a,a)) शामिल होगा। / Every non-zero number divides itself, so ((a,a)) is included.
Step 3
Exam Tip
अन्य युग्मों की कमी स्ववाचीता को नहीं रोकती। / Missing non-diagonal pairs do not affect reflexivity.
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