समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) दिया है। (R) स्ववाची है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) is given. Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#gcd
#hard
A हाँ, क्योंकि (1) सभी के साथ सहअभाज्य है / Yes, because (1) is coprime with all
B हाँ, क्योंकि (\gcd(a,a)=a) होता है / Yes, because (\gcd(a,a)=a)
C नहीं, क्योंकि (\gcd(2,2)=2) और (\gcd(3,3)=3) हैं / No, because (\gcd(2,2)=2) and (\gcd(3,3)=3)
D नहीं, क्योंकि ((1,1)) भी नहीं आएगा / No, because ((1,1)) also will not appear
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Correct Answer
C. नहीं, क्योंकि (\gcd(2,2)=2) और (\gcd(3,3)=3) हैं / No, because (\gcd(2,2)=2) and (\gcd(3,3)=3)
Step 1
Concept
स्ववाची के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) तीनों चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
(\gcd(1,1)=1) है, पर (\gcd(2,2)=2) और (\gcd(3,3)=3) हैं। / (\gcd(1,1)=1), but (\gcd(2,2)=2) and (\gcd(3,3)=3).
Step 3
Exam Tip
एक भी विकर्ण युग्म छूटे तो संबंध स्ववाची नहीं रहता। / If even one diagonal pair is missing, the relation is not reflexive.
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पूर्णांकों के किसी समुच्चय (A) पर \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) दिया है। (R) स्ववाची क्यों है?
On a set (A) of integers, \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) is given. Why is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#squares
#hard
A क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=a^2\) सत्य है / Because \(a^2=a^2\) for every (a)
B क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=0\) है / Because \(a^2=0\) for every (a)
C क्योंकि \(a^2=b^2\) तभी होगा जब (a=b+1) / Because \(a^2=b^2\) only when (a=b+1)
D क्योंकि ऋणात्मक संख्याएँ नहीं आतीं / Because negative numbers do not occur
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Correct Answer
A. क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=a^2\) सत्य है / Because \(a^2=a^2\) for every (a)
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखें। / On the diagonal, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a^2=a^2\) बनती है, जो हमेशा सत्य है। / The condition becomes \(a^2=a^2\), which is always true.
Step 3
Exam Tip
स्ववाचीता के लिए केवल अपने साथ संबंध की जाँच जरूरी है। / Reflexivity only needs each element to be related to itself.
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समुच्चय \(A=\{-1,0,1\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=0\}\) है। (R) स्ववाची है या नहीं?
On \(A=\{-1,0,1\}\), \(R=\{(a,b):a+b=0\}\). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#zero_sum
#hard
A हाँ, क्योंकि ((-1,1)) और ((1,-1)) हैं / Yes, because ((-1,1)) and ((1,-1)) are present
B हाँ, क्योंकि ((0,0)) है / Yes, because ((0,0)) is present
C नहीं, क्योंकि ((-1,-1)) और ((1,1)) नहीं हैं / No, because ((-1,-1)) and ((1,1)) are absent
D नहीं, क्योंकि कोई युग्म नहीं बनेगा / No, because no pair will be formed
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. नहीं, क्योंकि ((-1,-1)) और ((1,1)) नहीं हैं / No, because ((-1,-1)) and ((1,1)) are absent
Step 1
Concept
स्ववाचीता के लिए हर विकर्ण युग्म चाहिए। / Reflexivity requires every diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
((0,0)) शर्त पूरी करता है, लेकिन ((-1,-1)) और ((1,1)) शर्त पूरी नहीं करते। / ((0,0)) satisfies the condition, but ((-1,-1)) and ((1,1)) do not.
Step 3
Exam Tip
केवल कुछ विकर्ण युग्म होना पर्याप्त नहीं है। / Having only some diagonal pairs is not enough.
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समुच्चय \(A=\{1,3,5,7\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\le 2\}\) है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?
On \(A=\{1,3,5,7\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|\le 2\}\). Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#absolute_difference
#hard
A स्ववाची है, क्योंकि \(|a-a|=0\le 2\) / Reflexive because \(|a-a|=0\le 2\)
B स्ववाची नहीं है, क्योंकि (1) और (7) दूर हैं / Not reflexive because (1) and (7) are far apart
C स्ववाची तभी है जब सभी युग्म आएँ / Reflexive only when all pairs occur
D स्ववाची नहीं है, क्योंकि अंतर शून्य नहीं होना चाहिए / Not reflexive because the difference must not be zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. स्ववाची है, क्योंकि \(|a-a|=0\le 2\) / Reflexive because \(|a-a|=0\le 2\)
Step 1
Concept
हर (a) के लिए ((a,a)) की शर्त देखें। / Check the condition for each ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0) होता है और \(0\le 2\) सत्य है। / (|a-a|=0), and \(0\le 2\) is true.
Step 3
Exam Tip
दूर वाले अलग-अलग युग्म स्ववाचीता को प्रभावित नहीं करते। / Far non-diagonal pairs do not affect reflexivity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|>0\}\) दिया है। (R) कैसा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|>0\}\) is given. What is (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#absolute_difference
#hard
A स्ववाची है / Reflexive
B स्ववाची नहीं है क्योंकि (|a-a|=0) होता है / Not reflexive because (|a-a|=0)
C सार्वत्रिक संबंध है / Universal relation
D केवल ((1,1)) के कारण स्ववाची है / Reflexive only because of ((1,1))
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Correct Answer
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि (|a-a|=0) होता है / Not reflexive because (|a-a|=0)
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म में दोनों अवयव समान होते हैं। / In a diagonal pair, both entries are the same.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (|a-a|=0), जो (0) से बड़ा नहीं है। / Therefore (|a-a|=0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
(>0) जैसी शर्तें अक्सर अपने साथ संबंध को हटा देती हैं। / Conditions like (>0) often remove self-related pairs.
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रिक्त समुच्चय \(A=\varnothing\) पर रिक्त संबंध \(R=\varnothing\) दिया है। स्ववाचीता के संदर्भ में सही कथन कौन-सा है?
On the empty set \(A=\varnothing\), the empty relation \(R=\varnothing\) is given. Which statement about reflexivity is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#empty_set
#hard
A (R) स्ववाची है क्योंकि जाँचने के लिए कोई अवयव नहीं है / (R) is reflexive because there is no element to check
B (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई युग्म नहीं है / (R) is not reflexive because there is no pair
C (R) तभी स्ववाची होगा जब एक युग्म जोड़ा जाए / (R) will be reflexive only after adding one pair
D रिक्त समुच्चय पर स्ववाचीता परिभाषित नहीं होती / Reflexivity is not defined on the empty set
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Correct Answer
A. (R) स्ववाची है क्योंकि जाँचने के लिए कोई अवयव नहीं है / (R) is reflexive because there is no element to check
Step 1
Concept
स्ववाचीता कहती है कि हर अवयव अपने से संबंधित हो। / Reflexivity says every element must be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, इसलिए शर्त का उल्लंघन भी नहीं होता। / The empty set has no element, so the condition is not violated.
Step 3
Exam Tip
इसे रिक्त सत्यता के रूप में याद रखें। / Remember this as a vacuous truth.
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अरिक्त समुच्चय (A) पर रिक्त संबंध \(R=\varnothing\) दिया है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
On a non-empty set (A), the empty relation \(R=\varnothing\) is given. Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#empty_relation
#hard
A स्ववाची है क्योंकि रिक्त संबंध सरल होता है / Reflexive because an empty relation is simple
B स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है / Not reflexive because no ((a,a)) is present
C हमेशा सार्वत्रिक है / Always universal
D केवल दो अवयवों पर स्ववाची है / Reflexive only on two elements
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Correct Answer
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है / Not reflexive because no ((a,a)) is present
Step 1
Concept
अरिक्त (A) में कम से कम एक अवयव (a) होगा। / A non-empty (A) has at least one element (a).
Step 2
Why this answer is correct
स्ववाचीता के लिए ((a,a)) चाहिए, लेकिन रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है। / Reflexivity requires ((a,a)), but the empty relation has no pairs.
Step 3
Exam Tip
रिक्त समुच्चय और रिक्त संबंध में अंतर समझें। / Distinguish an empty set from an empty relation on a non-empty set.
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किसी भी समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध \(A \times A\) के बारे में सही कथन क्या है?
For any set (A), what is correct about the universal relation \(A \times A\)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#universal_relation
#hard
A यह हमेशा स्ववाची है / It is always reflexive
B यह कभी स्ववाची नहीं है / It is never reflexive
C यह केवल तब स्ववाची है जब (A) में दो अवयव हों / It is reflexive only when (A) has two elements
D यह केवल रिक्त समुच्चय पर स्ववाची है / It is reflexive only on the empty set
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Correct Answer
A. यह हमेशा स्ववाची है / It is always reflexive
Step 1
Concept
\(A \times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / \(A \times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर ((a,a)) भी उसमें अवश्य होगा। / Hence every ((a,a)) is definitely included.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध स्ववाचीता की शर्त अपने आप पूरी करता है। / The universal relation automatically satisfies reflexivity.
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यदि (A) अरिक्त है और (R) (A) पर स्ववाची संबंध है, तो \(A \times A-R\) के बारे में क्या सही है?
If (A) is non-empty and (R) is a reflexive relation on (A), what is correct about \(A \times A-R\)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#complement
#hard
A वह हमेशा स्ववाची होगा / It is always reflexive
B वह हमेशा (R) के बराबर होगा / It is always equal to (R)
C वह स्ववाची नहीं होगा क्योंकि कोई विकर्ण युग्म नहीं बचेगा / It is not reflexive because no diagonal pair remains
D वह सार्वत्रिक संबंध होगा / It will be the universal relation
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Correct Answer
C. वह स्ववाची नहीं होगा क्योंकि कोई विकर्ण युग्म नहीं बचेगा / It is not reflexive because no diagonal pair remains
Step 1
Concept
(R) स्ववाची है, इसलिए सभी ((a,a)) इसमें हैं। / Since (R) is reflexive, all ((a,a)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
पूरक \(A \times A-R\) में वे विकर्ण युग्म हट जाते हैं। / In the complement \(A \times A-R\), those diagonal pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर विकर्ण न होने से स्ववाचीता टूट जाती है। / On a non-empty set, missing diagonal pairs destroy reflexivity.
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यदि (R) समुच्चय (A) पर स्ववाची संबंध है और (S) (A) पर कोई भी संबंध है, तो \(R \cup S\) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (R) is a reflexive relation on (A) and (S) is any relation on (A), which statement about \(R \cup S\) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#union
#hard
A \(R \cup S\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R \cup S\) is always reflexive
B \(R \cup S\) कभी स्ववाची नहीं होगा / \(R \cup S\) is never reflexive
C \(R \cup S\) तभी स्ववाची होगा जब (S) खाली हो / It is reflexive only when (S) is empty
D \(R \cup S\) तभी स्ववाची होगा जब (S=R) हो / It is reflexive only when (S=R)
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Correct Answer
A. \(R \cup S\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R \cup S\) is always reflexive
Step 1
Concept
(R) में सभी विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं। / All diagonal pairs are already present in (R).
Step 2
Why this answer is correct
संघ करने पर (R) के युग्म हटते नहीं, बल्कि (S) के युग्म जुड़ते हैं। / Taking a union does not remove pairs from (R); it only adds pairs from (S).
Step 3
Exam Tip
स्ववाची संबंध के साथ संघ स्ववाचीता को बनाए रखता है। / A union with a reflexive relation remains reflexive.
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