तुल्यता संबंध और स्ववाची संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Which statement about equivalence relations and reflexive relations is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#equivalence_relation
#hard
A हर स्ववाची संबंध तुल्यता संबंध होता है / Every reflexive relation is an equivalence relation
B हर तुल्यता संबंध स्ववाची होता है / Every equivalence relation is reflexive
C तुल्यता संबंध कभी स्ववाची नहीं होता / An equivalence relation is never reflexive
D स्ववाचीता और तुल्यता का कोई संबंध नहीं है / Reflexivity and equivalence have no connection
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Correct Answer
B. हर तुल्यता संबंध स्ववाची होता है / Every equivalence relation is reflexive
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के लिए स्ववाची, सममित और संक्रामी तीनों गुण चाहिए। / An equivalence relation must be reflexive, symmetric, and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर तुल्यता संबंध स्ववाची अवश्य होगा। / Therefore every equivalence relation is necessarily reflexive.
Step 3
Exam Tip
लेकिन केवल स्ववाची होने से संबंध तुल्यता नहीं बन जाता। / But a merely reflexive relation need not be an equivalence relation.
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यदि \(f:A \to B\) कोई फलन है और (A) पर \(R=\{(x,y):f(x)=f(y)\}\) है, तो (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:A \to B\) is a function and \(R=\{(x,y):f(x)=f(y)\}\) on (A), which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#function_relation
#hard
A (R) स्ववाची है / (R) is reflexive
B (R) स्ववाची नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) तभी स्ववाची है जब (f) एकैकी हो / (R) is reflexive only when (f) is one-one
D (R) तभी स्ववाची है जब (B=A) हो / (R) is reflexive only when (B=A)
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Correct Answer
A. (R) स्ववाची है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
स्ववाची जाँच में (x=y) रखें। / For reflexivity, put (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
हर (x) के लिए (f(x)=f(x)) सत्य है, इसलिए \((x,x) \in R\) होगा। / For every (x), (f(x)=f(x)) is true, so \((x,x) \in R\).
Step 3
Exam Tip
फलन का एकैकी होना यहाँ जरूरी नहीं है। / The function need not be one-one for this property.
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यदि \(f:A \to \mathbb{R}\) और \(R=\{(x,y):f(x)<f(y)\}\) हो, तो (R) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:A \to \mathbb{R}\) and \(R=\{(x,y):f(x)<f(y)\}\), what is correct about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#function_inequality
#hard
A हमेशा स्ववाची है / Always reflexive
B तभी स्ववाची है जब (f) स्थिर हो / Reflexive only when (f) is constant
C स्ववाची नहीं है क्योंकि (f(x)<f(x)) असत्य है / Not reflexive because (f(x)<f(x)) is false
D केवल सीमित (A) पर स्ववाची है / Reflexive only on finite (A)
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Correct Answer
C. स्ववाची नहीं है क्योंकि (f(x)<f(x)) असत्य है / Not reflexive because (f(x)<f(x)) is false
Step 1
Concept
अपने साथ संबंध के लिए (y=x) रखें। / For self-relation, put (y=x).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (f(x)<f(x)) बनेगी, जो कभी सत्य नहीं होती। / The condition becomes (f(x)<f(x)), which is never true.
Step 3
Exam Tip
कड़ी असमिका से बने संबंधों में स्ववाचीता नहीं मिलती। / Relations defined by strict inequality are not reflexive.
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यदि \(f:A \to \mathbb{R}\) और \(R=\{(x,y):f(x)\le f(y)\}\) हो, तो (R) कैसा होगा?
If \(f:A \to \mathbb{R}\) and \(R=\{(x,y):f(x)\le f(y)\}\), what is (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#function_order
#hard
A स्ववाची / Reflexive
B स्ववाची नहीं / Not reflexive
C केवल तब स्ववाची जब (f) बढ़ता हुआ हो / Reflexive only when (f) is increasing
D केवल तब स्ववाची जब (f) घटता हुआ हो / Reflexive only when (f) is decreasing
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Correct Answer
A. स्ववाची / Reflexive
Step 1
Concept
स्ववाचीता के लिए (x=y) रखें। / For reflexivity, put (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)\le f(x)) हर (x) के लिए सत्य है। / (f(x)\le f(x)) is true for every (x).
Step 3
Exam Tip
यहाँ फलन का बढ़ना या घटना जरूरी नहीं है। / The function need not be increasing or decreasing for this.
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वास्तविक संख्याओं पर \(R=\{(x,y):x-y\in \mathbb{Z}\}\) दिया है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?
On real numbers, \(R=\{(x,y):x-y\in \mathbb{Z}\}\) is given. Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#integers
#real_numbers
#hard
A स्ववाची नहीं है क्योंकि (x-y) वास्तविक है / Not reflexive because (x-y) is real
B स्ववाची है क्योंकि \(x-x=0\in \mathbb{Z}\) / Reflexive because \(x-x=0\in \mathbb{Z}\)
C स्ववाची केवल पूर्णांकों पर है / Reflexive only on integers
D स्ववाची तभी है जब (x>y) हो / Reflexive only when (x>y)
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Correct Answer
B. स्ववाची है क्योंकि \(x-x=0\in \mathbb{Z}\) / Reflexive because \(x-x=0\in \mathbb{Z}\)
Step 1
Concept
विकर्ण पर (y=x) रखें। / On the diagonal, put (y=x).
Step 2
Why this answer is correct
(x-x=0) और (0) पूर्णांक है। / (x-x=0), and (0) is an integer.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं पर भी अपने साथ अंतर (0) ही रहता है। / Even on real numbers, the self-difference is always (0).
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वास्तविक संख्याओं पर \(R=\{(x,y):x<y+1\}\) है। (R) स्ववाची है या नहीं?
On real numbers, \(R=\{(x,y):x<y+1\}\). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#real_numbers
#inequality
#hard
A हाँ, क्योंकि (x<x+1) हर (x) के लिए सत्य है / Yes, because (x<x+1) is true for every (x)
B नहीं, क्योंकि (x<x) असत्य है / No, because (x<x) is false
C नहीं, क्योंकि (1) शामिल है / No, because (1) is involved
D केवल धनात्मक संख्याओं पर हाँ / Yes only on positive numbers
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि (x<x+1) हर (x) के लिए सत्य है / Yes, because (x<x+1) is true for every (x)
Step 1
Concept
स्ववाचीता में (y=x) रखना होता है। / For reflexivity, put (y=x).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (x<x+1) बनती है, जो हर वास्तविक (x) के लिए सत्य है। / The condition becomes (x<x+1), which is true for every real (x).
Step 3
Exam Tip
शर्त को सही ढंग से बदलकर देखें, केवल (x<x) न मान लें। / Substitute carefully instead of assuming it becomes (x<x).
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वास्तविक संख्याओं पर \(R=\{(x,y):x-y>0\}\) है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
On real numbers, \(R=\{(x,y):x-y>0\}\). Which statement is correct about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#positive_difference
#hard
A स्ववाची है / Reflexive
B स्ववाची नहीं है क्योंकि (x-x=0) है / Not reflexive because (x-x=0)
C स्ववाची केवल ऋणात्मक संख्याओं पर है / Reflexive only on negative numbers
D सार्वत्रिक संबंध है / Universal relation
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Correct Answer
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि (x-x=0) है / Not reflexive because (x-x=0)
Step 1
Concept
अपने साथ संबंध के लिए (y=x) रखें। / For self-relation, put (y=x).
Step 2
Why this answer is correct
तब (x-y=x-x=0) होगा, जो (0) से बड़ा नहीं है। / Then (x-y=x-x=0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
धनात्मक अंतर वाली शर्त स्ववाचीता को रोकती है। / A positive-difference condition prevents reflexivity.
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पूर्णांकों पर (R={(a,b):\(a \equiv b \pmod{3}\)}) है। (R) के लिए सही कथन क्या है?
On integers, (R={(a,b):\(a \equiv b \pmod{3}\)}). What is correct about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#congruence
#modulo
#hard
A स्ववाची है क्योंकि \(a \equiv a \pmod{3}\) / Reflexive because \(a \equiv a \pmod{3}\)
B स्ववाची नहीं क्योंकि (3) से भाग देना पड़ता है / Not reflexive because division by (3) is needed
C स्ववाची केवल (a=3) पर है / Reflexive only for (a=3)
D स्ववाची तभी है जब (a) विषम हो / Reflexive only when (a) is odd
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Correct Answer
A. स्ववाची है क्योंकि \(a \equiv a \pmod{3}\) / Reflexive because \(a \equiv a \pmod{3}\)
Step 1
Concept
सर्वांगसमता में अपने साथ तुलना करें। / Compare each element with itself in congruence.
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0) और (0) (3) से विभाज्य है, इसलिए \(a \equiv a \pmod{3}\) है। / (a-a=0), and (0) is divisible by (3), so \(a \equiv a \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले संबंध सामान्यतः स्ववाची होते हैं। / Congruence relations are generally reflexive.
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\(समुच्चय (A={0,1,2}) पर (R={(a,b):a+b\) 3 से विभाज्य है}) दिया है। (R) को स्ववाची बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
\(On (A={0,1,2}), (R={(a,b):a+b\) is divisible by 3}) is given. How many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#modulo
#closure
#hard
A (0)
B (1)
C (2)
D (3)
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Step 1
Concept
विकर्ण युग्म ((0,0),(1,1),(2,2)) जाँचें। / Check the diagonal pairs ((0,0),(1,1),(2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
(0+0=0) विभाज्य है, पर (1+1=2) और (2+2=4) (3) से विभाज्य नहीं हैं। / (0+0=0) is divisible by (3), but (1+1=2) and (2+2=4) are not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((1,1)) और ((2,2)) जोड़ने होंगे। / Therefore ((1,1)) and ((2,2)) must be added.
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क्या दो अस्ववाची संबंधों का संघ कभी स्ववाची हो सकता है?
Can the union of two non-reflexive relations ever be reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#union
#counterexample
#hard
A हाँ, यदि दोनों मिलकर सभी विकर्ण युग्म दे दें / Yes, if together they contain all diagonal pairs
B नहीं, कभी नहीं / No, never
C हाँ, केवल रिक्त समुच्चय पर / Yes, only on the empty set
D नहीं, क्योंकि संघ में युग्म घटते हैं / No, because union removes pairs
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Correct Answer
A. हाँ, यदि दोनों मिलकर सभी विकर्ण युग्म दे दें / Yes, if together they contain all diagonal pairs
Step 1
Concept
प्रत्येक अलग संबंध में कुछ विकर्ण युग्म छूट सकते हैं। / Each separate relation may miss some diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में दोनों संबंधों के युग्म मिलते हैं, इसलिए छूटे हुए विकर्ण युग्म दूसरे संबंध से आ सकते हैं। / In the union, pairs from both relations are combined, so missing diagonal pairs may be supplied by the other relation.
Step 3
Exam Tip
संघ के प्रश्नों में संयुक्त विकर्ण सूची देखें। / For union questions, check the combined diagonal list.
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