Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
परावर्ती संबंध में समुच्चय के हर तत्व का अपने-आप वाला युग्म होना चाहिए। / A reflexive relation must contain the self-pair for every element of the set.
Step 2
Why this answer is correct
\(3\in A\) है, इसलिए ((3,3)) भी जरूरी है। / Since \(3\in A\), ((3,3)) is also necessary.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में आंशिक जांच के बजाय सभी तत्वों की जांच करें। / In exams, check all elements instead of doing a partial check.
\(f(x)=2x+3\) में \(x\) के स्थान पर \(a\) रखने पर \(f(a)=2a+3\) प्राप्त होता है। इसलिए \(2a+3=11\), जिससे \(2a=8\) और \(a=4\)। विकल्प C (5) लेने पर \(2a+3=13\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा सुझाव: फलन के मान में दिए गए इनपुट को सूत्र में रखकर बने समीकरण को हल करें और उत्तर को मूल सूत्र में जाँचें। / Substituting \(a\) for \(x\) in \(f(x)=2x+3\) gives \(f(a)=2a+3\). Thus, \(2a+3=11\), so \(2a=8\) and \(a=4\). Option C, 5, is incorrect because it would give \(f(5)=13\), not 11. Exam tip: substitute the given input into the function rule, solve the resulting equation, and verify the answer in the original function.
\(f(x)=kx-3\) में \(x=4\) रखने पर \(f(4)=4k-3\) प्राप्त होता है। इसलिए दी गई शर्त के अनुसार \(4k-3=17\), जिससे \(4k=20\) और \(k=5\) मिलता है। विकल्प C में छात्र मध्यवर्ती मान \(4k=20\) को अंतिम उत्तर समझ लेते हैं, जबकि \(k\) ज्ञात करने के लिए 20 को 4 से भाग देना आवश्यक है। परीक्षा टिप: फलन में दिए गए \(x\) का मान रखने के बाद अज्ञात राशि को पूरी तरह अलग करके ही अंतिम उत्तर चुनें। / Substituting \(x=4\) into \(f(x)=kx-3\) gives \(f(4)=4k-3\). Since \(f(4)=17\), we get \(4k-3=17\), so \(4k=20\) and hence \(k=5\). Option C is the intermediate value of \(4k\), not the value of \(k\); dividing by 4 is still required. Exam tip: after substitution, isolate the unknown completely before selecting the final answer.
\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और परावर्ती संबंध में 4 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / \(A\times A\) has 16 pairs, and 4 self-pairs are compulsory in a reflexive relation.
Step 2
Why this answer is correct
(P) में ((4,4)) पहले से अपने-अपने युग्मों में गिना गया है, जबकि ((1,2)) और ((2,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। / In (P), ((4,4)) is already counted among self-pairs, while ((1,2)) and ((2,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल निश्चित युग्म (6) हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) होगी। / So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\).
परावर्ती संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चार युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 2
Why this answer is correct
(P) में ((2,2)) पहले से इन चार में गिना गया है, जबकि ((1,3)) और ((3,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। / In (P), ((2,2)) is already counted among these four, while ((1,3)) and ((3,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल निश्चित युग्म 6 हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) है। / So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\).
5 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 5 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / On 5 elements, 5 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 8 युग्म चाहिए, इसलिए (25-5=20) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। / To have 8 total pairs, choose 3 pairs from the (25-5=20) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऐसे संबंधों की संख्या \(\binom{20}{3}\) होगी। / Hence the number is \(\binom{20}{3}\).
6 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 6 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / On 6 elements, 6 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 9 युग्म चाहिए, इसलिए (36-6=30) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। / To have 9 total pairs, choose 3 pairs from the (36-6=30) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
अतः संख्या \(\binom{30}{3}\) होगी। / Hence the number is \(\binom{30}{3}\).
परावर्ती होने से 4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं और 12 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं। / Reflexivity fixes 4 self-pairs and leaves 12 non-self pairs free.
Step 2
Why this answer is correct
कम से कम 6 कुल युग्मों के लिए कम से कम 2 गैर-अपने युग्म चुने जाने चाहिए। / At least 6 total pairs means at least 2 non-self pairs must be chosen.
Step 3
Exam Tip
कुल \(2^{12}\) विकल्पों में से 0 या 1 गैर-अपने युग्म वाले (1+12=13) मामले हटेंगे, इसलिए उत्तर \(2^{12}-13\) है। / From \(2^{12}\), subtract cases with 0 or 1 non-self pair: (1+12=13), so the answer is \(2^{12}-13\).
