(A) में 5 तत्व हैं। (A) पर कुल संबंधों और परावर्ती संबंधों की संख्या का अनुपात क्या होगा?
A set (A) has 5 elements. What is the ratio of the number of all relations to the number of reflexive relations on (A)?
#ratio
#all relations
#reflexive relations
#class 12
A \(2^5:1\)
B \(1:2^5\)
C (5:1)
D \(2^{20}:1\)
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Correct Answer
A. \(2^5:1\)
Step 1
Concept
कुल संबंधों की संख्या \(2^{25}\) है। / The number of all relations is \(2^{25}\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{25-5}=2^{20}\) है। / The number of reflexive relations is \(2^{25-5}=2^{20}\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात \(2^{25}:2^{20}=2^5:1\) होगा। / The ratio is \(2^{25}:2^{20}=2^5:1\).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) है, तो परावर्ती संबंधों की संख्या कुल संबंधों की संख्या का कौन सा भाग है?
If \(A=\{1,2,3\}\), what fraction of all relations are reflexive relations?
#fraction
#reflexive relations
#total relations
#mcq
A \(\frac{1}{8}\)
B \(\frac{1}{3}\)
C \(\frac{1}{6}\)
D \(\frac{1}{64}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{1}{8}\)
Step 1
Concept
कुल संबंध \(2^9\) होंगे। / Total relations are \(2^9\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती संबंध \(2^{9-3}=2^6\) होंगे। / Reflexive relations are \(2^{9-3}=2^6\).
Step 3
Exam Tip
भाग \(\frac{2^6}{2^9}=\frac{1}{8}\) है। / The fraction is \(\frac{2^6}{2^9}=\frac{1}{8}\).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (R) में ठीक 4 युग्म हैं और (R) परावर्ती है, तो उन 4 युग्मों में कितने युग्म अपने-अपने होंगे?
If (R) is a reflexive relation on \(A=\{1,2,3\}\) with exactly 4 pairs, how many of those 4 pairs must be self-pairs?
#exact pairs
#reflexive relation
#self pairs
#medium
A 3
B 1
C 2
D 4
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Step 1
Concept
(A) में 3 तत्व हैं, इसलिए 3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / (A) has 3 elements, so 3 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 4 युग्मों में से 3 निश्चित रूप से ((1,1),(2,2),(3,3)) होंगे। / Out of the 4 pairs, 3 must be ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
बाकी एक युग्म कोई गैर-विकर्ण युग्म हो सकता है। / The remaining one may be any non-diagonal pair.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर ठीक 4 युग्मों वाले कितने परावर्ती संबंध हो सकते हैं?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many reflexive relations with exactly 4 pairs are possible?
#combination
#counting reflexive relations
#exact pairs
#class 12
A 6
B 3
C 9
D 64
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Step 1
Concept
3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / The 3 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 4 युग्म चाहिए, इसलिए 6 गैर-विकर्ण युग्मों में से 1 युग्म चुनना होगा। / To have exactly 4 pairs, choose 1 pair from the 6 non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
संख्या \(\binom{6}{1}=6\) होगी। / The number is \(\binom{6}{1}=6\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर ठीक 5 युग्मों वाले कितने परावर्ती संबंध हो सकते हैं?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many reflexive relations with exactly 5 pairs are possible?
#counting
#binomial selection
#reflexive relation
#mcq
A 15
B 10
C 6
D 20
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Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए 3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / The 3 self-pairs are fixed for reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 5 युग्म चाहिए, इसलिए 6 गैर-विकर्ण युग्मों में से 2 युग्म चुनेंगे। / To have 5 total pairs, choose 2 from the 6 non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
संख्या \(\binom{6}{2}=15\) होगी। / The number is \(\binom{6}{2}=15\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर ठीक 6 युग्मों वाले परावर्ती संबंधों की संख्या क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), what is the number of reflexive relations with exactly 6 pairs?
#exact pair count
#reflexive relation
#combinations
#class 12
A 66
B 12
C 24
D 6
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Step 1
Concept
4 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / The 4 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 6 युग्म चाहिए, इसलिए (16-4=12) गैर-विकर्ण युग्मों में से 2 चुनने होंगे। / For 6 total pairs, choose 2 from (16-4=12) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
संख्या \(\binom{12}{2}=66\) है। / The count is \(\binom{12}{2}=66\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) है। (R) परावर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\). Is (R) reflexive?
#square relation
#reflexive relation
#equality
#medium
A हाँ, क्योंकि \(a^2=a^2\) / Yes, because \(a^2=a^2\)
B नहीं, क्योंकि \(a^2\ne a^2\) / No, because \(a^2\ne a^2\)
C केवल (a=1) के लिए / Only for (a=1)
D केवल (a=0) के लिए / Only for (a=0)
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि \(a^2=a^2\) / Yes, because \(a^2=a^2\)
Step 1
Concept
परावर्ती जांच में (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a^2=b^2\) का रूप \(a^2=a^2\) बनता है, जो सत्य है। / Then \(a^2=b^2\) becomes \(a^2=a^2\), which is true.
Step 3
Exam Tip
बराबरी आधारित नियमों में अपने-आप की बराबरी तुरंत जांचें। / In equality-based rules, test equality of an element with itself.
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वास्तविक संख्याओं पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2=0\}\) है। (R) परावर्ती है या नहीं?
On real numbers, \(R=\{(a,b):a^2+b^2=0\}\). Is (R) reflexive?
#counterexample
#real numbers
#not reflexive
#mcq
A नहीं, क्योंकि ((1,1)) नियम पूरा नहीं करता / No, because ((1,1)) does not satisfy the rule
B हाँ, क्योंकि हर \(a^2+a^2=0\) / Yes, because every \(a^2+a^2=0\)
C हाँ, क्योंकि (0) शामिल है / Yes, because (0) is included
D केवल धनात्मक संख्याओं पर / Only on positive numbers
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Correct Answer
A. नहीं, क्योंकि ((1,1)) नियम पूरा नहीं करता / No, because ((1,1)) does not satisfy the rule
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए हर वास्तविक (a) पर ((a,a)) चाहिए। / Reflexivity requires ((a,a)) for every real (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a=1) रखने पर \(1^2+1^2=2\), जो 0 नहीं है। / Taking (a=1), \(1^2+1^2=2\), not 0.
Step 3
Exam Tip
एक प्रतिउदाहरण मिलने पर संबंध परावर्ती नहीं होता। / One counterexample is enough to show it is not reflexive.
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\(A=\{-1,0,1\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) है। (R) के लिए सही कथन क्या है?
On \(A=\{-1,0,1\}\), \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\). Which statement is correct for (R)?
#square equality
#reflexive relation
#finite set
#class 12
A (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
B (R) परावर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C ((0,0)) शामिल नहीं होगा / ((0,0)) will not be included
D ((1,1)) शामिल नहीं होगा / ((1,1)) will not be included
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Correct Answer
A. (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
हर तत्व के लिए अपने-आप की जांच करें। / Check each element with itself.
Step 2
Why this answer is correct
((-1)2 =(-1)2 ), \(0^2=0^2\), और \(1^2=1^2\) सभी सत्य हैं। / ((-1)2 =(-1)2 ), \(0^2=0^2\), and \(1^2=1^2\) are all true.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त युग्म जैसे ((-1,1)) हों, फिर भी परावर्ती गुण अपने-अपने युग्मों से तय होता है। / Extra pairs like ((-1,1)) may exist, but reflexivity depends on self-pairs.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=4\}\) है। (R) परावर्ती क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a+b=4\}\). Why is (R) not reflexive?
#sum condition
#not reflexive
#some self pairs
#medium
A क्योंकि ((1,1)) के लिए \(1+1\ne4\) / Because for ((1,1)), \(1+1\ne4\)
B क्योंकि ((2,2)) के लिए (2+2=4) / Because for ((2,2)), (2+2=4)
C क्योंकि ((1,3)) शामिल है / Because ((1,3)) is included
D क्योंकि सभी अपने-अपने युग्म शामिल हैं / Because all self-pairs are included
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Correct Answer
A. क्योंकि ((1,1)) के लिए \(1+1\ne4\) / Because for ((1,1)), \(1+1\ne4\)
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए सभी अपने-अपने युग्म चाहिए। / Reflexivity needs all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) नियम पूरा करता है, पर ((1,1)) और ((3,3)) नहीं करते। / ((2,2)) satisfies the rule, but ((1,1)) and ((3,3)) do not.
Step 3
Exam Tip
कुछ अपने-अपने युग्म मिलना पर्याप्त नहीं, सभी चाहिए। / Having some self-pairs is not enough; all are needed.
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