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योग का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है, इसलिए \(x\ge 2\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को (0) या अधिक रखें। / The domain of a sum is the intersection of both domains, so \(x\ge 2\). In exams, keep the radicand of a square root non-negative.
हर समान करने पर अंश ((x+1)+(x-3)=2x-2) मिलता है। सरल करते समय मूल प्रतिबंध \(x\ne3,-1\) भी याद रखें। / Using a common denominator gives numerator ((x+1)+(x-3)=2x-2). While simplifying, remember original restrictions \(x\ne3,-1\).
गुणन का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद है, इसलिए \(5-x\ge0\) और \(x+1\ge0\)। अतः \(-1\le x\le5\)। / The domain of a product is the intersection of both domains, so \(5-x\ge0\) and \(x+1\ge0\). Hence \(-1\le x\le5\).
(\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), पर (x=-2) निषिद्ध रहेगा। कटाव के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध न भूलें। / (\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), but (x=-2) remains excluded. Do not forget the original denominator restriction after cancellation.
((2f-3g)(x)=2(2x-1)-3(3-x)=7x-11), इसलिए (x=4) पर मान (17) नहीं बल्कि (17)? जाँचें: (28-11=17)। / ((2f-3g)(x)=2(2x-1)-3(3-x)=7x-11), so at (x=4) the value is (17). Always simplify before substituting.
((2f-3g)(x)=4x-2-9+3x=7x-11), इसलिए ((2f-3g)(4)=17)। रैखिक संयोजन में चिह्नों पर विशेष ध्यान दें। / ((2f-3g)(x)=4x-2-9+3x=7x-11), hence ((2f-3g)(4)=17). In linear combinations, pay close attention to signs.
\(x\ge2\) पर (|x-2|=x-2), इसलिए अंतर (0) है। मापांक प्रश्नों में अंतराल बनाकर हल करें। / For \(x\ge2\), (|x-2|=x-2), so the difference is (0). For modulus questions, solve by splitting intervals.
समान \(x^2\) पद कट जाते हैं और (2x-(-2x)=4x) मिलता है। घटाव में दूसरी पूरी फलन का चिह्न बदलता है। / The equal \(x^2\) terms cancel and (2x-(-2x)=4x). In subtraction, the sign of the whole second function changes.
यद्यपि गुणनफल (1) बनता है, मूल फलनों में (x=0) और (x=1) निषिद्ध हैं। सरलीकरण से पहले प्रांत तय करना सुरक्षित तरीका है। / Although the product becomes (1), the original functions exclude (x=0) and (x=1). It is safer to decide the domain before simplification.
A. \(x\le-3\) या \(x\ge3,\ x\ne4\)/\(x\le-3\) or \(x\ge3,\ x\ne4\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x^2-9}\) के लिए \(x^2-9\ge0\) और भिन्न के लिए \(x\ne4\)। इसलिए \(x\le-3\) या \(x\ge3\), पर (x=4) हटेगा। / For \(\sqrt{x^2-9}\), \(x^2-9\ge0\), and for the fraction \(x\ne4\). Thus \(x\le-3\) or \(x\ge3\), but (x=4) is removed.
((f+g)(x)=x-3+2x) और ((f+g)(-x)=-x-3-2x=-(f+g)(x))। विषम फलनों का योग सामान्यतः विषम होता है। / ((f+g)(x)=x-3+2x) and ((f+g)(-x)=-x-3-2x=-(f+g)(x)). The sum of odd functions is generally odd.
दोनों \(x^2\) और (|x|) सम फलन हैं, इसलिए उनका योग भी सम है। समता जाँचने के लिए (x) के स्थान पर (-x) रखें। / Both \(x^2\) and (|x|) are even functions, so their sum is even. To test evenness, replace (x) by (-x).
\((fg)(x)=f(x)g(x)=x^2\cdot x=x^3\)। अब \((fg)(-x)=(-x)^3=-x^3=-(fg)(x)\), इसलिए यह विषम फलन है। सम फलन होने के लिए \(h(-x)=h(x)\) होना चाहिए, जो यहाँ सत्य नहीं है। परीक्षा में याद रखें: सम और विषम फलन का गुणनफल विषम होता है। / \((fg)(x)=f(x)g(x)=x^2\cdot x=x^3\). Since \((fg)(-x)=(-x)^3=-x^3=-(fg)(x)\), the product is an odd function. It is not even because an even function must satisfy \(h(-x)=h(x)\). Exam tip: the product of an even and an odd function is odd, provided the domain is symmetric about zero.
गुणनफल फलन \\((fg)(x)=\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{4-x}}\\) के लिए \\(f(x)\\) से \\(x\\ge0\\) आवश्यक है। साथ ही, हर में स्थित वर्गमूल शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \\(4-x>0\\), अर्थात् \\(x<4\\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \\(0\\le x<4\\) है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \\(x<4\\) की आवश्यक शर्त छूट जाती है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल या भागफल फलन का प्रांत सभी संबंधित शर्तों के प्रतिच्छेद से प्राप्त करें। / The product is \\((fg)(x)=\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{4-x}}\\). The function \\(f(x)\\) requires \\(x\\ge0\\). Since \\(\\sqrt{4-x}\\) is in the denominator, it must be strictly positive, so \\(4-x>0\\), or \\(x<4\\). The intersection of these conditions is \\(0\\le x<4\\), making option A correct. Option C misses the necessary restriction \\(x<4\\). Exam tip: For a product or quotient of functions, find the domain by intersecting all individual domain restrictions and excluding zero denominators.
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), इसलिए भागफल (x-3) है और (x=2) निषिद्ध है। गुणनखंडन के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध रखें। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the quotient is (x-3) and (x=2) is excluded. Keep the original denominator restriction after factorization.
(f(0)=\frac{1}{-1}=-1) और (g(0)=\frac{-1}{1}=-1), इसलिए योग (-2) है। पहले जाँचें कि दिया गया (x) प्रांत में है। / (f(0)=\frac{1}{-1}=-1) and (g(0)=\frac{-1}{1}=-1), so the sum is (-2). First check whether the given (x) lies in the domain.
((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), जो (x=1) पर (0) है। अतः (>0) सभी \(x\ne1\) के लिए होना चाहिए, इसलिए दिए विकल्पों में कोई? / ((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), which is (0) at (x=1). Therefore (>0) holds for all \(x\ne1\); none of the broad options is exact.
((f-g)(x)=(x-1)2), जो (x=1) पर (0) और बाकी जगह धनात्मक है। वर्ग रूप कठिन असमानताओं में तेज संकेत देता है। / ((f-g)(x)=(x-1)2), which is (0) at (x=1) and positive elsewhere. A square form gives a quick clue in inequalities.
((f+g)(x)=4x-2+2), अतः ((f+g)(-2)=4\cdot4+2=18)। पहले फलनों को जोड़ना गणना को आसान बनाता है। / ((f+g)(x)=4x-2+2), so ((f+g)(-2)=4\cdot4+2=18). Adding functions first makes calculation easier.
\(\frac{1}{x^2-1}\) में \(x^2-1\ne0\), इसलिए \(x\ne\pm1\)। बहुपद (g(x)) प्रांत को सीमित नहीं करता। / In \(\frac{1}{x^2-1}\), \(x^2-1\ne0\), so \(x\ne\pm1\). The polynomial (g(x)) does not restrict the domain.
\((f-g)(x)=\sqrt{x-1}-\sqrt{3-x}\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों वर्गमूल वास्तविक हों। इसलिए \(x-1\ge0\) से \(x\ge1\) और \(3-x\ge0\) से \(x\le3\) प्राप्त होता है। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(1\le x\le3\) है, इसलिए विकल्प A सही है। केवल एक वर्गमूल की शर्त लेने से मिलने वाले विकल्प B और C अधूरे हैं। परीक्षा-युक्ति: योग या अंतर वाले फलन का प्रांत संबंधित सभी फलनों के प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। / \((f-g)(x)=\sqrt{x-1}-\sqrt{3-x}\) is defined only when both square roots are real. Thus, \(x-1\ge0\) gives \(x\ge1\), and \(3-x\ge0\) gives \(x\le3\). Their intersection is \(1\le x\le3\), so option A is correct. Options B and C use the condition from only one square root and are therefore incomplete. Exam tip: for the sum or difference of functions, the domain is the intersection of the domains of all component functions.
हर में \(\sqrt{x+2}\) है, इसलिए (x+2>0) चाहिए। अतः (x>-2), भले ही अंश कहीं भी परिभाषित हो। / The denominator is \(\sqrt{x+2}\), so (x+2>0) is required. Hence (x>-2), regardless of where the numerator is defined.
((fg)(x)=(2x+3)(x-5)=2x-2-7x-15), इसलिए \(x^2\) का गुणांक (2) है। गुणन में प्रमुख पदों का गुणन पहले देखें। / ((fg)(x)=(2x+3)(x-5)=2x-2-7x-15), so the coefficient of \(x^2\) is (2). In multiplication, check the leading terms first.
(x-2+x+1=x-2(x+1)) से \(x^3-x-1=0\) नहीं, सही समीकरण \(x^2+x+1=x^3+x^2\) है। इसे जाँचने पर दिए विकल्प सही नहीं हैं। / From (x-2+x+1=x-2(x+1)), the equation is \(x^3-x-1=0\). The listed integer pairs are not exact solutions.
\(2x+1=x^2+x\) से \(x^2-x-1=0\) मिलता है। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\), इसलिए विकल्पों में त्रुटि होगी। / \(2x+1=x^2+x\) gives \(x^2-x-1=0\). The quadratic formula gives \(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\), so the listed option pattern would be wrong.
A. \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
((f+g)(x)=2x+1) और ((fg)(x)=x(x+1)), इसलिए \(x^2-x-1=0\)। द्विघात सूत्र से सही हल \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) हैं। / ((f+g)(x)=2x+1) and ((fg)(x)=x(x+1)), so \(x^2-x-1=0\). The quadratic formula gives \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\).
(\frac{f}{g}=\frac{x-2}{x+2}\cdot\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-2)2}{(x+2)2})। दोनों मूल फलनों के प्रतिबंध \(x\ne\pm2\) रहेंगे। / (\frac{f}{g}=\frac{x-2}{x+2}\cdot\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-2)2}{(x+2)2}). The restrictions \(x\ne\pm2\) from the original functions remain.
A. स्थिर धनात्मक फलन (2)/Constant positive function (2)
Explanation
Simple Explanation
फलनों के अंतर के लिए (g − f)(x) = g(x) − f(x) = (x² + 1) − (x² − 1) = 2। यहाँ x² वाले पद आपस में कट जाते हैं, इसलिए परिणाम हर x के लिए 2 रहता है और यह एक स्थिर धनात्मक फलन है। विकल्प B में चिह्न गलत है, जबकि विकल्प C में घटाने के बजाय पदों को जोड़ दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: (g − f)(x) में पहले दूसरे फलन से पहले फलन को घटाएँ और कोष्ठक खोलते समय ऋण चिह्न का ध्यान रखें। / For the difference of two functions, (g − f)(x) = g(x) − f(x) = (x² + 1) − (x² − 1) = 2. The x² terms cancel, so the result remains 2 for every x; hence it is a constant positive function. Option B has the wrong sign, while option C results from adding rather than subtracting the functions. Exam tip: In (g − f)(x), subtract the entire first function from the second and change the signs inside its parentheses carefully.
(f(1)=1) और (g(1)=-1), इसलिए योग (0) है। मूल्य निकालने से पहले (x=1) प्रांत में है या नहीं, यह देखें। / (f(1)=1) and (g(1)=-1), so the sum is (0). Before evaluating, check whether (x=1) lies in the domain.
समान हर ((x-2)(x+2)) लेने पर अंश (2x-(x+2)=x-2) होगा, इसलिए \(\frac{1}{x+2}\) पर \(x\ne\pm2\)। सही सरलीकरण विकल्प (C) है। / With common denominator ((x-2)(x+2)), numerator is (2x-(x+2)=x-2), so the form is \(\frac{1}{x+2}\) with \(x\ne\pm2\). Thus option (C) is the simplification.
(\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)})। इसलिए सरल रूप \(\frac{1}{x+2}\) है, पर \(x=\pm2\) हटे रहेंगे। / (\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}). Hence the simplified form is \(\frac{1}{x+2}\), but \(x=\pm2\) remain excluded.
((fg)(x)=|x|x-2) और ((fg)(-x)=|x|x-2), इसलिए यह सम फलन है। सम फलनों का गुणनफल सम रहता है। / ((fg)(x)=|x|x-2) and ((fg)(-x)=|x|x-2), so it is even. The product of even functions remains even.
((f+g)(x)=2x-2), जो सम फलन है। अलग-अलग फलन सम या विषम न हों, फिर भी योग सम बन सकता है। / ((f+g)(x)=2x-2), which is an even function. Even if individual functions are not even or odd, their sum may become even.
((f-g)(x)=6x), जो विषम फलन है। घटाव में समान घात वाले पद कट सकते हैं और प्रकृति बदल सकती है। / ((f-g)(x)=6x), which is an odd function. In subtraction, like-degree terms may cancel and change the nature.
((fg)(x)=\frac{1}{x-3}), जिसका मान (-x) पर ऋणात्मक बदल जाता है। इसलिए यह विषम है और \(x\ne0\) प्रांत है। / ((fg)(x)=\frac{1}{x-3}), whose value changes sign at (-x). Thus it is odd with domain \(x\ne0\).
\(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\)। मूल फलनों के कारण \(x\ne0,-1\) रहेगा। / \(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\). Because of the original functions, \(x\ne0,-1\) remains.
फलनों के रैखिक संयोजन में (3f-2g)(x)=3f(x)-2g(x)। अतः 3\(2x^2-1\)-2\(x^2+2\)=6x-2-3-2x-2-4=4x-2-7। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प C में स्थिर पद का चिह्न गलत हो जाता है। परीक्षा में ऋण चिह्न वाले पूरे कोष्ठक को सावधानी से खोलें। / For a linear combination of functions, (3f-2g)(x)=3f(x)-2g(x). Therefore, 3\(2x^2-1\)-2\(x^2+2\)=6x-2-3-2x-2-4=4x-2-7. Hence, option A is correct. Option C results from mishandling the constant term while subtracting 2g(x). In the exam, expand the entire second bracket carefully when a minus sign precedes it.
(f) के लिए \(x\ge4\) और (g) के लिए \(x\ne6\)। \(\frac{f}{g}\) में (g(x)\ne0) भी चाहिए, पर \(\frac{1}{x-6}\) कभी (0) नहीं होता। / For (f), \(x\ge4\), and for (g), \(x\ne6\). In \(\frac{f}{g}\), (g(x)\ne0) is also needed, but \(\frac{1}{x-6}\) is never (0).
दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \(f(2)=2-1=1\) और \(g(2)=\frac{1}{2-1}=1\), अतः \((f+g)(2)=1+1=2\)। विकल्प B केवल किसी एक फलन का मान दर्शाता है, योग का नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक फलन का मान निकालकर अंत में जोड़ें; \(g(x)\) के लिए \(x=1\) परिभाषित नहीं है, लेकिन \(x=2\) मान्य है। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(2)=2-1=1\) and \(g(2)=\frac{1}{2-1}=1\), so \((f+g)(2)=1+1=2\). Option B gives the value of only one function, not their sum. Exam tip: evaluate each function separately and then add; although \(g(x)\) is undefined at \(x=1\), \(x=2\) is valid.
(f=x(x-2)) और (g=x(x+2)), इसलिए (fg=x-2(x-2)(x+2))। पहले गुणनखंड बनाना लंबे विस्तार से बेहतर है। / (f=x(x-2)) and (g=x(x+2)), so (fg=x-2(x-2)(x+2)). Factoring first is better than long expansion.
पहले \(x^2-1\ge0\) से \(|x|\ge1\), और \(4-x^2\ge0\) से \(|x|\le2\)। प्रतिच्छेद \([-2,-1]\cup[1,2]\) है। / First \(x^2-1\ge0\) gives \(|x|\ge1\), and \(4-x^2\ge0\) gives \(|x|\le2\). The intersection is \([-2,-1]\cup[1,2]\).
(\frac{f}{g}=\frac{(x+2)2}{x+2}) है, पर (x=-2) पर मूल हर (0) है। कटाव के बाद भी वह बिंदु प्रांत में वापस नहीं आता। / (\frac{f}{g}=\frac{(x+2)2}{x+2}), but at (x=-2) the original denominator is (0). Cancellation does not bring that point back into the domain.
A. दोनों सूत्र समान हैं पर प्रांत अलग हैं/Their formulas match after simplification but domains differ
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x+3) केवल \(x\ne3\) के लिए है, जबकि (g) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित है। समान बीजगणितीय रूप हमेशा समान फलन नहीं बनाता। / (f(x)=x+3) only for \(x\ne3\), while (g) is defined for all real (x). The same algebraic form does not always mean the same function.
((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8) और हर \(x^2-4\) है। वर्गों को फैलाते समय मध्यम पद कटते हैं। / ((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8) and the denominator is \(x^2-4\). The middle terms cancel when expanding the squares.
भागफल फलन के लिए \\(g(x)\\neq 0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\\), इसलिए \\(\\left(\\frac{f}{g}\\right)(x)=\\frac{(x-3)^2}{x-3}=x-3\\), जहाँ \\(x\\neq 3\\)। अतः \\(\\left(\\frac{f}{g}\\right)(5)=5-3=2\\)। विकल्प 4 केवल \\(f(5)\\) का मान है, भागफल का नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले \\(f(5)\\) और \\(g(5)\\) अलग-अलग निकालकर उनका भाग करें। / For a quotient function, the denominator must be non-zero. Since \\(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\\), we get \\(\\left(\\frac{f}{g}\\right)(x)=\\frac{(x-3)^2}{x-3}=x-3\\), for \\(x\\neq 3\\). Therefore, \\(\\left(\\frac{f}{g}\\right)(5)=5-3=2\\). The value 4 is only \\(f(5)\\), not the quotient. Exam tip: evaluate the numerator and denominator separately, then divide.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+3\ge0\) और \(x-1\ge0\), इसलिए \(x\ge1\)। गुणनफल (\sqrt{(x+3)(x-1)}=\sqrt{x-2+2x-3}) है। / For both square roots, \(x+3\ge0\) and \(x-1\ge0\), so \(x\ge1\). The product is (\sqrt{(x+3)(x-1)}=\sqrt{x-2+2x-3}).
(\frac{x-2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1), पर (x=-1) हटेगा। मूल हर से प्रतिबंध तय करें। / (\frac{x-2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1), but (x=-1) is excluded. Use the original denominator to set restrictions.
((fg)(x)=2x-3+4x), जो \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए कोई न्यूनतम वास्तविक मान नहीं है। / ((fg)(x)=2x-3+4x), which tends to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\). Therefore no real minimum value exists.
(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-(x-1)}{x-2-1}=\frac{2}{x-2-1})। हर के शून्य \(x=\pm1\) निषिद्ध हैं। / (\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-(x-1)}{x-2-1}=\frac{2}{x-2-1}). The zeros \(x=\pm1\) of the denominator are excluded.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+2\ge0\) और \(6-x\ge0\), इसलिए \(-2\le x\le6\)। हर (f(x)+g(x)) इस अंतराल में (0) नहीं होता, इसलिए कोई बिंदु हटता नहीं है। / For both square roots, \(x+2\ge0\) and \(6-x\ge0\), so \(-2\le x\le6\). The denominator (f(x)+g(x)) is never (0) on this interval, so no point is removed.
