Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समुच्चय में चार अवयव हैं, तो कुल उपसमुच्चयों की संख्या
i.e. \\(2^4=16\\). "कम से कम एक अवयव" का अर्थ है सभी उपसमुच्चयों में से रिक्त समुच्चय को निकालना। इसलिए संख्या = \\(16-1=15\\)। विकल्प B (16) गलत है क्योंकि वह रिक्त समुच्चय को भी गिनता है; विकल्प C (8) और D (4) भी गलत हैं क्योंकि वे कुल उपसमुच्चयों की पूरी गिनती नहीं दे रहे। परीक्षा टिप: किसी n‑तत्व समुच्चय के गैर‑रिक्त उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \\(2^n-1\\) होती है। / A has 4 elements, so total subsets = \\(2^4=16\\). "At least one element" excludes the empty set, hence number = \\(16-1=15\\). Option B (16) is incorrect because it includes the empty set; options C (8) and D (4) undercount the subsets. Exam tip: for an n‑element set the number of nonempty subsets is always \\(2^n-1\\).
शर्त के अनुसार हम 5 को बाहर रख देते हैं और शेष तत्वों {1,2,3,4} में से ठीक 2 चुनने हैं। इसका योगात्मक सूत्र है \\(\binom{4}{2}=6\\)। इसलिए उत्तर 6 है। विकल्प A (4) गलत है क्योंकि कोई गलती से \\({4 \choose 1}\\) या किसी अन्य ग़लत गणना कर सकता है; विकल्प D (10) गलत है क्योंकि \\({5 \choose 2}=10\\) उन सभी जोड़ों की संख्या देता है जिसमें 5 शामिल हो सकता है — पर प्रश्न ने 5 को न रखने को कहा है। परीक्षा सुझाव: ऐसी समस्याओं में पहले प्रतिबंधित तत्वों को हटा दें और फिर सीधे \(nCk\) सूत्र लगाएँ। / Exclude 5 first; then choose exactly 2 elements from the remaining set {1,2,3,4}. The count is given by \\(\binom{4}{2}=6\\), so 6 is correct. Option A (4) is incorrect — some may mistakenly compute the wrong combination like \(4\) instead of \(\binom{4}{2}\). Option D (10) equals \(\binom{5}{2}\) which counts pairs including 5, so it violates the restriction. Exam tip: remove forbidden elements first, then apply the \(n\text{C}k\) formula to count k-element subsets.</explanation_english
समाधान: \(2x+1<10\) से \(2x<9\) और इसलिए \(x<4.5\). यदि हम सामान्य भारतीय पाठ्यक्रम के अनुसार \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\) मानते हैं तो \(x\) के व्यवहार्य मान 1,2,3,4 हैं। अतः \(A=\{1,2,3,4\}\). निकटतम गलत विकल्पों का विश्लेषण: विकल्प B में 0 शामिल है — यह केवल तभी सही होगा जब प्रश्न में \(\mathbb{N}\) में 0 शामिल करने का स्पष्ट उल्लेख हो; विकल्प C में 5 है, परन्तु \(5\not<4.5\); विकल्प D में 1 की कमी है। परिक्षा-टिप: \(\mathbb{N}\) की परिभाषा (0 शामिल है या नहीं) परीक्षा के संदर्भ में याद रखें। / Solution: From \(2x+1<10\) we get \(2x<9\) so \(x<4.5\). Taking the standard convention in most Indian exams that \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\), the natural-number solutions are 1,2,3,4. Thus \(A=\{1,2,3,4\}\). Why other options fail: B adds 0 (only valid if \(\mathbb{N}\) is defined to include 0, which is not assumed here); C wrongly includes 5 which does not satisfy \(x<4.5\); D omits 1. Exam tip: check the convention for \(\mathbb{N}\) in the exam — many problems assume \(\mathbb{N}\) starts at 1 unless stated otherwise.
गणितीय परिभाषा के अनुसार \(P(A)\) (A का पावर सेट) के अवयव A के सभी उपसमुच्चय होते हैं। \(\{1,2\}\) A का उपसमुच्चय है इसलिए यह \(P(A)\) का अवयव है। विकल्प A (1) केवल A का एक तत्व है, उपसमुच्चय नहीं; विकल्प C \(\{4\}\) में 4 A का तत्व नहीं है; विकल्प D \(\{1,4\}\) में 4 A में नहीं है इसलिए वह भी उपसमुच्चय नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी सेट के पावर सेट में तभी सदस्य होता है जब वह सेट A के सभी तत्व A में से ही लिए गए हों — प्रत्येक विकल्प को उपसमुच्चय होने की शर्त से जाँचें। / By definition, \(P(A)\), the power set of A, consists of all subsets of A. \(\{1,2\}\) is a subset of A, so it belongs to \(P(A)\). Option A (1) is an element of A but not a subset; option C \(\{4\}\) contains 4 which is not in A; option D \(\{1,4\}\) includes 4 and thus is not a subset. Exam tip: To check membership in \(P(A)\), verify every element of the candidate set is also an element of A (i.e., check subset relation).
(36) के गुणनखंड (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। / The factors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें पूर्ण वर्ग (1,4,9,36) हैं। / The perfect squares among them are (1,4,9,36).
Step 3
Exam Tip
दो शर्तें हों तो पहले बड़ी सूची बनाकर फिर सही सदस्यों को छाँटें। / When two conditions are given, first list the larger set and then filter the correct elements.
