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"केवल \(A\)" का अर्थ है तत्व \(A\) में हों और \(B\) में न हों। इसे सेट के रूप में \(A\cap B'\) लिखा जाता है (यह वही क्षेत्र है जो केवल A के अंतर्गत है और B के बाहर है)। विकल्प A (\(A\cap B\)) गलत है क्योंकि वह केवल उन तत्वों को दर्शाता है जो दोनों सेट \(A\) और \(B\) में हैं। विकल्प C (\(A'\cap B\)) और विकल्प D (\(A\cup B'\)) भी गलत हैं — C तो बिल्कुल बाहर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है और D में \(B'\) के कारण A के बाहर के भी कई तत्व शामिल हो जाते हैं। परीक्षा-टिप: याद रखें कि \(A\setminus B= A\cap B'\)। / "Only \(A\)" means elements that are in \(A\) but not in \(B\). In set notation this is \(A\cap B'\), which represents the part of A outside B. Option A (\(A\cap B\)) is wrong because it denotes elements common to both A and B. Option C (\(A'\cap B\)) refers to elements outside A and inside B, and option D (\(A\cup B'\)) includes many elements outside A (because of \(B'\)), so both are incorrect. Exam tip: use \(A\setminus B= A\cap B'\) to convert "A but not B" statements into set notation.
'केवल \(B\)' का अर्थ है वह भाग जो \(B\) में है पर \(A\) में नहीं है। इसे सेट-समिकरण में लिखने का मानक रूप \(A' \cap B\) है (यह वही है जो \(B - A\) भी दर्शाता है)। इसलिए विकल्प C सही है।
नज़दीकी चुनौतियाँ: विकल्प A (\(A - B\)) केवल \(A\) का वह भाग दर्शाता है जो \(B\) में नहीं है — यह 'केवल A' है, इसलिए गलत। विकल्प B (\(A \cap B\)) दोनों सेटों का साझा भाग है, न कि केवल \(B\)। विकल्प D (\(A \cup B\)) दोनों में से किसी में भी आने वाले तत्व हैं, जो भी बढ़ा-चढ़ाकर दिखाता है।
परीक्षा टिप: वेंन आरेख पर छायांकन करके देखें — 'केवल B' वह हिस्सा है जो B के अंदर है और A के ओवरलैप के बाहर। इससे तुरंत \(A' \cap B\) पहचान में आ जाता है। / 'Only B' means elements are in \(B\) and not in \(A\). The standard set expression for this is \(A' \cap B\), which is equivalent to \(B - A\). Hence option C is correct.
Why other options are wrong: Option A (\(A - B\)) represents elements only in \(A\), not in \(B\). Option B (\(A \cap B\)) is the common part of both sets, not 'only B'. Option D (\(A \cup B\)) includes elements of either set, so it is too large.
Exam tip: Shade the Venn diagram — the region inside \(B\) but outside \(A\) clearly shows \(A' \cap B\).
समुच्चयों के लिए समावेशन-अποहार नियम है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A\cup B)=31+22-9=44\)। विकल्प (B) — 53 — तब आना चाहिए यदि दोनो समुच्चय का कोई साझा भाग न हो (यानी \(n(A\cap B)=0\)) इसलिए गलत है। परीक्षा सुझाव: प्रश्न देखते ही छोटा वेन चित्र बनाकर साझा भाग अलग दिखाएँ और सूत्र लागू करें। / Use the inclusion–exclusion formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). So \(n(A\cup B)=31+22-9=44\). Option B (53) would be the sum 31+22 and would be correct only if the intersection were zero, so it is incorrect. Exam tip: sketch a two-circle Venn diagram to identify the overlap and apply the formula to avoid double counting.
सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). इसे \(n(A\cap B)\) के लिए व्यवस्थित करने पर \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\)। इसलिए \(n(A\cap B)=28+19-39=8\)। विकल्प C (11) गलत है — यह किसी गलत गणना या संघ की मान में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: संघ-इंटरसेक्शन का सूत्र रट्टा रखें और सीधे दिए गए मानों को सूत्र में लगाएँ। / Use the identity \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Rearranging gives \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Substituting: \(28+19-39=8\). Choice C (11) is a result of a miscalculation or using an incorrect union value. Exam tip: memorize the union formula and plug values carefully to avoid arithmetic mistakes.
केवल \(A\) के अवयव वे होते हैं जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं। इसका मान \(n(A)-n(A\cap B)\) है। यहाँ \(35-12=23\)। विकल्प (12) केवल साझा भाग है, न कि केवल \(A\)। विकल्प (35) पूरा \(A\) है जिसमें साझा भाग भी शामिल है। परीक्षा टिप: प्रश्न पर छोटा Venn-आकृति बनाकर प्रत्येक क्षेत्र के लिए दी गयी संख्याएँ लिख लें। / Elements only in A are those in A but not in B, so compute \(n(A)-n(A\cap B)\). Here \(35-12=23\). Option 12 is just the intersection, not the ‘only A’ part; 35 is the total of A including the intersection; 47 is impossible given the totals. Exam tip: draw a small Venn diagram and subtract the intersection from the total of A to avoid errors.
कोर विचार: किसी सेट \(B\) के केवल (only) क्षेत्र में आने वाले अवयवों की संख्या वह है जो \(B\) में हैं पर \(A\) और \(B\) के साझा (intersection) भाग में नहीं हैं। इसे निकालने का सूत्र: केवल \(B\)=\(n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(B)=41\) और \(n(A\cap B)=17\) होने पर केवल \(B\)=\(41-17=24\)। सबसे निकटवर्ती ग़लत विकल्पों का कारण: 17 (विकल्प A) केवल सम्मिलित भाग की संख्या है, न कि केवल \(B\) का; 41 (विकल्प C) पूरे \(B\) की कुल संख्या है जिसमें साझा भाग भी शामिल है; 58 (विकल्प D) अर्थहीन जोड़ है। परीक्षा सुझाव: हल करने से पहले छोटा वенн-चित्र बनाकर तीन क्षेत्र (केवल A, केवल B, A∩B) ले लें और उनकी संख्याएँ लिखें। / Core idea: Elements only in B are those in B but not in A, so only-B = \(n(B)-n(A\cap B)\). With \(n(B)=41\) and \(n(A\cap B)=17\), only-B = \(41-17=24\), so option 24 is correct. Why other options are wrong: 17 is the intersection count (not only B); 41 is the total in B including the overlap; 58 is an incorrect sum. Exam tip: sketch a two-circle Venn diagram and label total B and the overlap, then subtract overlap from B to get the only-B region.
समुह A के तत्व दो भागों में आते हैं: केवल A में आने वाले तत्व (A−B) और दोनों में साझा होने वाले तत्व \(A\cap B\)। अतः कुल तत्वों की संख्या \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=16+11=27\)। विकल्प B (16) केवल उन तत्वों की संख्या है जो सिर्फ A में हैं और इसलिए पूरा A नहीं दर्शाता — यही कारण है कि वह गलत है। परीक्षा‑टिप: पहले "केवल A" और "साझा" भाग अलग‑अलग गिनें और फिर जोड़ें। / Elements of set A split into two parts: those only in A, i.e. \(A-B\), and those in the common part \(A\cap B\). Therefore \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=16+11=27\). Option B (16) counts only the elements exclusive to A, not the shared ones, so it is incorrect. Exam tip: always separate exclusive and common regions in a Venn diagram, then add their counts.
समूह B को दो असंगत भागों में बाँटा जा सकता है: वह भाग जो केवल B में है (B−A) और वह साझा भाग \(A\cap B\)। इसलिए फार्मूला है: \(n(B)=n(B-A)+n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(B)=21+13=34\) इसलिए सही उत्तर 34 है। निकटभ्रम (option B = 21) गलत है क्योंकि यह केवल \(B-A\) की गिनती है और साझा भाग को नहीं जोड़ता। अन्य विकल्प (8, 273) भी अर्थपूर्ण रूप से मेल नहीं खाते। परीक्षा सुझाव: किसी भी सेट की कुल संख्या पूछे जाने पर उसे असंगत (disjoint) हिस्सों में बाँट कर जोड़ें — यही तेज और सुरक्षित तरीका है। / Set B splits into two disjoint parts: the elements only in B (B−A) and the common part \(A\cap B\). Hence the identity is \(n(B)=n(B-A)+n(A\cap B)\). Here \(n(B)=21+13=34\), so 34 is correct. The closest distractor 21 is incorrect because it counts only \(B-A\) and omits the common elements. Options 8 and 273 are not consistent with the given data. Exam tip: always partition a set into disjoint regions (only-in, common, only-in-other) before adding counts.
छोटा सिद्धांत: किसी दो समूहों का परस्पर छेदक (intersection) वे तत्व होते हैं जो दोनों समूहों में एक साथ मौजूद हों। यहाँ \(A\) और \(B\) में सामान्य तत्व केवल \(3\) और \(5\) हैं, इसलिए \(A\cap B=\{3,5\}\)। विकल्प B (\(\{2,7,11\}\)) में केवल उन तत्वों का उल्लेख है जो केवल \(A\) में हैं (यानी \(A\setminus B\)) — इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: इंटरसेक्शन खोजने के लिए दोनों सेटों को पारस्परिक रूप से देखें और केवल वही तत्व लिखें जो दोनों में मौजूद हों। / Core idea: the intersection of two sets consists of elements present in both sets. Here the common elements of \(A\) and \(B\) are 3 and 5, so \(A\cap B=\{3,5\}\). Option B (\(\{2,7,11\}\)) lists elements that are only in \(A\) (i.e. \(A\setminus B\)), so it is incorrect. Exam tip: scan each element of one set and check if it also appears in the other; list only those that appear in both.
“केवल A” का अर्थ है A B यानी A में मौजूद वे तत्व जो B में नहीं हैं। A = {4,6,8,10} और B = {6,10,12} में सामान्य तत्व 6 और 10 हैं, इन्हें हटा देने पर केवल A में {4,8} बचता है। विकल्प B ({6,10}) A ∩ B (संयुक्त तत्व) है और इसलिए गलत है; विकल्प C केवल B का खास तत्व है; विकल्प D पूरी समेकित संख्या集合 है और प्रश्न से मेल नहीं खाती। परीक्षा-टिप: ऐसे प्रश्नों में शीघ्रता से A - B निकालें या एक छोटा वेन्न आरेख बनाएं। / “Only A” means A \ B, the elements that are in A but not in B. With A = {4,6,8,10} and B = {6,10,12}, the common elements 6 and 10 are removed, leaving {4,8} as A \ B. Option B ({6,10}) is the intersection A ∩ B and therefore incorrect; option C ({12}) is an element only of B; option D is the union of the sets and not asked for. Exam tip: compute A - B directly or sketch a small Venn diagram to avoid sign errors.
"केवल B" का अर्थ है B में होने वाले पर A में न होने वाले तत्व — यानी हम निकालते हैं \(B - A\)। B में {q,r,s,t} हैं और A में {p,q,r} हैं। सामान्य तत्व {q,r} हैं, इसलिए केवल B में बचे हुए तत्व {s,t} होंगे। विकल्प B ({q,r}) गलत है क्योंकि वे दोनों A और B दोनों में आते हैं; विकल्प A और D भी सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: केवल B खोजने के लिए Venn आरेख बनाकर मध्य भाग (A∩B) हटाएँ या सीधे \(B - A\) निकालें। / "Only B" means elements in B that are not in A, i.e. compute \(B - A\). B = {q,r,s,t} and A = {p,q,r}, so the common elements are {q,r} and the remaining elements in B are {s,t}. Thus {s,t} is correct. Option B ({q,r}) is incorrect because those elements lie in A∩B, not only in B; A and D are also incorrect. Exam tip: draw a two-set Venn diagram or compute \(B - A\) directly to avoid mistakes.
संघ (union) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग‑अलग सदस्य सम्मिलित होते हैं। यहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{3,4,5,6\}\) हैं; दोनों को मिलाने पर अलग‑अलग सदस्य \(\{1,2,3,4,5,6\}\) बनते हैं, इसलिए उत्तर D सही है। विकल्प A केवल साझा सदस्य \(\{3,4\}\) दिखाता है — यह वास्तव में \(A\cap B\) (intersection) है, न कि संघ। परीक्षा सुझाव: किसी भी संघ या सम्मिलन में तत्वों को लिखते समय एक ही तत्व को केवल एक बार ही लिखें। / The union of two sets contains all distinct elements from both sets. Here \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{3,4,5,6\}\); combining them gives the distinct elements \(\{1,2,3,4,5,6\}\), so option D is correct. Option A lists only the common elements \(\{3,4\}\), which is the intersection \(A\cap B\), not the union. Exam tip: when forming a union, list each element once and check for duplicates between sets.
एक सर्वे में 90 व्यक्तियों को शामिल किया गया। उनमें से 46 लोग रेडियो सुनते हैं, 38 लोग पॉडकास्ट सुनते हैं, और 16 लोग दोनों सुनते हैं। कितने लोग किसी भी तरह नहीं सुनते?
यह समस्या समावेशन-अपवर्जन (inclusion–exclusion) सिद्धांत पर आधारित है। कम से कम एक सुनने वालों की संख्या
\( |R\cup P|=|R|+|P|-|R\cap P|=46+38-16=68\) है। कुल 90 में से जो कम से कम एक सुनते हैं 68 हैं, इसलिए कोई भी नहीं सुनने वाले = \(90-68=22\)। निकटतम ग़लत विकल्प 68 है — वह वास्तव में "कम से कम एक" सुनने वालों की संख्या है, पर प्रश्न ने "किसी भी तरह नहीं" पूछ रखा है। परीक्षा सुझाव: प्रश्न जल्दी हल करने के लिए एक साधारण Venn आरेख बनाकर समावेशन-अपवर्जन सूत्र लिखें। / This uses the inclusion–exclusion principle. Number who listen to at least one is
\(|R\cup P|=|R|+|P|-|R\cap P|=46+38-16=68\). Out of 90 people, those who listen to neither = \(90-68=22\). The closest distractor 68 is the count for "at least one", not "neither", so it is incorrect for this question. Exam tip: draw a quick Venn diagram and apply the formula \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) to avoid double counting.
किसी क्लब में 74 सदस्य हैं। उनमें से 29 सदस्य गायन में हैं, 33 सदस्य चित्रकला में हैं और 12 सदस्य दोनों गतिविधियों में हैं। केवल चित्रकला में कितने सदस्य हैं?
केवल चित्रकला में वह सदस्य आते हैं जो कुल चित्रकला वाले (33) में से दोनों गतिविधियों वाले (12) नहीं हैं। इसलिए केवल चित्रकला = \(33-12=21\)। विकल्प C (33) गलत है क्योंकि इसमें दोनों का हिस्सा भी शामिल है; विकल्प A (12) केवल दोनों का साझा भाग है, और विकल्प D (50) किसी गलत जोड़-घट के परिणाम जैसा है। परीक्षा संकेत: वेंन-डायग्राम या inclusion–exclusion का सरल नियम याद रखें — किसी एक सेट के सिर्फ सदस्य = कुल सेट − सामान्य भाग। / Members only in painting are the painting total minus those in both: only painting = \(33-12=21\). Option C (33) is wrong because it still counts those in both; option A (12) gives only the intersection, not the painting-only count; option D (50) arises from an incorrect addition. Exam tip: use a Venn diagram or the inclusion–exclusion idea — subtract the overlap from the set total to get the 'only' members.
कुल \(B\) के तत्व \(n(B)=50\) हैं। इनमें से केवल \(B\) वाले (यानी \(A\) में नहीं आने वाले) 28 दिए हैं। इसलिए जो बचते हैं वे संयुक्त (common) भाग यानी \(A\cap B\) के तत्व हैं: \(n(A\cap B)=50-28=22\). निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों में \(28\) गलत है क्योंकि वह केवल-\(B\) की संख्या है न कि परस्पर मिलन; \(11\) तब आएगा यदि गलती से \(n(A)\) से केवल-\(B\) घटाया जाए (39-28), जो यहाँ तर्कसंगत नहीं है। परीक्षा टिप: एक साधारण वेन्न आरेख बनाकर "केवल B" और "A∩B" क्षेत्र चिन्हित कर लें — यह अक्सर ग़लत घटाव रोकेगा। / Total elements in \(B\) are \(n(B)=50\). Out of these, 28 are only in \(B\) (not in \(A\)). The remainder must lie in the intersection, so \(n(A\cap B)=50-28=22\). The option 28 is the count of only-\(B\), not the intersection; 11 would result from incorrectly doing \(39-28\). Exam tip: draw a simple Venn diagram and label "only B" and "A∩B" to avoid subtraction mistakes.
