Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. दोनों में (12) अवयव होंगे/both have (12) elements
Explanation
Simple Explanation
दोनों में अवयवों की संख्या \(3\times4=12\) होती है। संख्या समान हो सकती है पर युग्मों का क्रम सामान्यतः अलग होता है। / Both have \(3\times4=12\) elements. The number can be the same, but the order of pairs is generally different.
शर्त x+y=4 के लिए x के संभावित मान जाँचते हैं। x=1 पर y=3, x=2 पर y=2 और x=3 पर y=1 मिलता है; ये सभी A\times B में हैं। x=0 के लिए y=4 चाहिए, लेकिन 4, B में नहीं है। इसलिए क्रमित युग्म (1,3), (2,2) और (3,1) हैं तथा कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले एक चर का मान चुनकर दूसरे को शर्त से निर्धारित करें और फिर जाँचें कि दोनों मान संबंधित समुच्चयों में हैं। / For the condition x+y=4, check the possible values of x. When x=1, y=3; when x=2, y=2; and when x=3, y=1. All these pairs belong to A\times B. For x=0, y would have to be 4, but 4 is not in B. Thus the ordered pairs are (1,3), (2,2), and (3,1), giving a total of 3 pairs. Exam tip: determine the second coordinate from the condition and then verify that both coordinates belong to their respective sets.
\(A\) के प्रत्येक अवयव के लिए \(y=2x\) निकालते हैं। \(x=1\) पर \(y=2\), \(x=2\) पर \(y=4\), और \(x=4\) पर \(y=8\) मिलता है। इसलिए युग्म \((1,2),(2,4),(4,8)\) हैं और कुल 3 युग्म हैं। केवल वे ही युग्म मान्य होंगे जिनमें \(x\in A\) और \(y\in B\) दोनों हों। परीक्षा-युक्ति: ऐसी शर्त में पहले \(A\) के प्रत्येक \(x\) के लिए \(y\) ज्ञात करके जाँचें कि वह \(B\) में है या नहीं। / For each element of \(A\), calculate \(y=2x\). This gives \(y=2\) for \(x=1\), \(y=4\) for \(x=2\), and \(y=8\) for \(x=4\). Thus, the valid pairs are \((1,2),(2,4),(4,8)\), giving a total of 3 pairs. A pair is valid only when \(x\in A\) and the corresponding \(y\in B\); merely counting the elements of either set is incorrect. Exam tip: for a condition of the form \(y=f(x)\), test every \(x\) from the first set and check whether the resulting \(y\) belongs to the second set.
(n\(A\times B\)=3\times2=6), और हर संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। इसलिए कुल संबंध \(2^6\) हैं। / (n\(A\times B\)=3\times2=6), and every relation is a subset of \(A\times B\). Therefore the total number of relations is \(2^6\).
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। केवल ({(1,4),(3,5)}) के सभी युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation is a subset of \(A\times B\). Only all pairs of ({(1,4),(3,5)}) belong to \(A\times B\).
A. रेखा \(y=1\) पर \(0\le x\le2\) वाला रेखाखंड/A line segment on \(y=1\) with \(0\le x\le2\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में पहला निर्देशांक \(A\) से और दूसरा \(B\) से लिया जाता है। इसलिए \(A\times B=\{(x,1):0\le x\le2\}\), जिसमें \(y\) का मान हमेशा 1 रहता है। अतः यह \(y=1\) पर \(x=0\) से \(x=2\) तक का क्षैतिज रेखाखंड है। विकल्प B में निर्देशांकों की भूमिकाएँ बदल दी गई हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि दूसरा समुच्चय एकल समुच्चय \(\{c\}\) हो, तो गुणनफल \(y=c\) पर रेखाखंड देता है। / In the Cartesian product \(A\times B\), the first coordinate comes from \(A\) and the second from \(B\). Thus, \(A\times B=\{(x,1):0\le x\le2\}\), so the value of \(y\) is always 1. Therefore, it is the horizontal line segment from \(x=0\) to \(x=2\) on \(y=1\). Option B interchanges the roles of the two coordinates. Exam tip: when the second set is a singleton \(\{c\}\), the product lies on the line \(y=c\).
योग विषम होने के लिए एक संख्या विषम और दूसरी सम होनी चाहिए। समुच्चय A में 2 विषम और 1 सम संख्या है, जबकि B में 1 विषम और 2 सम संख्याएँ हैं। इसलिए अनुकूल युग्मों की संख्या = (2 × 2) + (1 × 1) = 5। अतः सही उत्तर 5 है। परीक्षा-युक्ति: विषम योग के लिए हमेशा विषम-सम और सम-विषम युग्मों की संख्या जोड़ें। / A sum is odd only when one number is odd and the other is even. Set A has 2 odd and 1 even element, while set B has 1 odd and 2 even elements. Therefore, the number of favourable ordered pairs is (2 × 2) + (1 × 1) = 5. Hence, the correct answer is 5. Exam tip: For an odd sum, count odd-even and even-odd pairs separately and add them.
\(x+y=2\) के लिए संभावित युग्म हैं \((0,2)\), \((1,1)\) और \((2,0)\)। इनमें \((0,2)\) तथा \((2,0)\) ही \(A\times B\) में हैं, क्योंकि पहले घटक को \(A\) और दूसरे घटक को \(B\) का सदस्य होना चाहिए। \((1,1)\) मान्य नहीं है क्योंकि \(1\notin B\)। इसलिए कुल 2 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्म के दोनों घटकों की संबंधित समुच्चयों में सदस्यता अवश्य जाँचें। / The possible pairs satisfying \(x+y=2\) are \((0,2)\), \((1,1)\), and \((2,0)\). Only \((0,2)\) and \((2,0)\) belong to \(A\times B\), because the first component must be from \(A\) and the second from \(B\). The pair \((1,1)\) is invalid since \(1\notin B\). Hence, there are 2 valid pairs. Exam tip: In a Cartesian product, check membership of each component in its corresponding set, while preserving the order.
शर्त x−y=2 से x=y+2 प्राप्त होता है। y=1 के लिए x=3, इसलिए (3,1) एक मान्य युग्म है; y=2 के लिए x=4, इसलिए (4,2) दूसरा मान्य युग्म है। दोनों x के मान A में और दोनों y के मान B में हैं, अतः कुल 2 युग्म हैं। विकल्प B केवल (3,1) को गिनता है और (4,2) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले B के प्रत्येक y के लिए x=y+2 निकालकर जाँच करें कि x∈A है या नहीं। / From x−y=2, we get x=y+2. For y=1, x=3, giving the valid pair (3,1); for y=2, x=4, giving (4,2). Both x-values belong to A and both y-values belong to B, so there are 2 ordered pairs. Option B counts only (3,1) and misses (4,2). Exam tip: For each y∈B, calculate x=y+2 and check whether x belongs to A.
\(A\times B\) में \(x\) का मान \(A\) से और \(y\) का मान \(B\) से लिया जाता है। शर्त \(x+y>5\) को संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्म \((2,4),(3,3),(3,4)\) हैं, इसलिए कुल 3 युग्म हैं। \(x+y=5\) वाले युग्म, जैसे \((1,4)\) और \((2,3)\), शामिल नहीं होंगे क्योंकि असमानता सख्त है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) और \(\geq\) के बीच का अंतर अवश्य जाँचें। / In \(A\times B\), \(x\) is chosen from \(A\) and \(y\) from \(B\). The ordered pairs satisfying \(x+y>5\) are \((2,4),(3,3),(3,4)\), so there are 3 pairs. Pairs such as \((1,4)\) and \((2,3)\), for which \(x+y=5\), are excluded because the inequality is strict. Exam tip: carefully distinguish between \(>\) and \(\geq\).
\(3\in A\) विषम है और \(b\in B\), इसलिए \((3,b)\in R\)। संबंध में दी गई शर्त को कार्तीय गुणन पर लागू करें। / \(3\in A\) is odd and \(b\in B\), so \((3,b)\in R\). Apply the given condition to the Cartesian product.
(R) के हर युग्म में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से है। इसलिए \(R\subseteq A\times B\)। / In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
((1,4)) में \(4\ne2\times1\), इसलिए यह (R) में नहीं है। संबंध में दी गई शर्त को हर विकल्प पर लगाएं। / In ((1,4)), \(4\ne2\times1\), so it is not in (R). Apply the given relation condition to each option.
