Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
साइनम फलन में (x>0) के लिए मान (1) होता है। ग्राफ में दाईं ओर क्षैतिज रेखा (y=1) याद रखें। / In the signum function, the value is (1) for (x>0). Remember the right-side horizontal line (y=1) in the graph.
साइनम फलन में (x<0) के लिए मान (-1) होता है। ग्राफ में बाईं ओर क्षैतिज रेखा (y=-1) होती है। / In the signum function, the value is (-1) for (x<0). In the graph, the left side is the horizontal line (y=-1).
साइनम फलन में (x=0) पर मान (0) होता है। यह बिंदु ग्राफ में अलग से ध्यान देने योग्य है। / In the signum function, the value at (x=0) is (0). This point should be noticed separately in the graph.
साइनम फलन के लिए \(x<0\) पर \(\operatorname{sgn}(x)=-1\), \(x=0\) पर \(\operatorname{sgn}(x)=0\), और \(x>0\) पर \(\operatorname{sgn}(x)=1\) होता है। इसलिए इसका परिसर \(\{-1,0,1\}\) है। विकल्प D अधूरा है क्योंकि उसमें \(-1\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: साइनम फलन के परिसर में हमेशा तीन मान \(-1,0,1\) जाँचें। / For the signum function, \(\operatorname{sgn}(x)=-1\) when \(x<0\), \(\operatorname{sgn}(x)=0\) when \(x=0\), and \(\operatorname{sgn}(x)=1\) when \(x>0\). Therefore, its range is \(\{-1,0,1\}\). Option D is incomplete because it omits \(-1\). Exam tip: for a signum function, check the three cases \(x<0\), \(x=0\), and \(x>0\).
\(\lfloor 3.2\rfloor=3\), क्योंकि यह (3.2) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ग्रेटेस्ट इंटीजर ग्राफ सीढ़ीनुमा होता है। / \(\lfloor 3.2\rfloor=3\), because it is the greatest integer less than or equal to (3.2). The greatest integer graph is step-like.
\(\lfloor -1.4\rfloor=-2\), क्योंकि (-2) इससे छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ऋणात्मक दशमलव में सावधानी रखें। / \(\lfloor -1.4\rfloor=-2\), because (-2) is the greatest integer less than or equal to it. Be careful with negative decimals.
हर \(x\in[2,3\)) के लिए \(\lfloor x\rfloor=2\) होता है। इसलिए इस हिस्से में ग्राफ क्षैतिज रेखा (y=2) है। / For every \(x\in[2,3\)), \(\lfloor x\rfloor=2\). So this part of the graph is the horizontal line (y=2).
(|x|) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए (|x|-2) का न्यूनतम मान (-2) है। ग्राफ (2) इकाई नीचे खिसकता है। / The minimum value of (|x|) is (0), so the minimum value of (|x|-2) is (-2). The graph shifts (2) units down.
(|x-3|) शून्य (x=3) पर होता है और ऋण चिह्न दिशा बदलता है। शीर्ष फिर भी ((3,0)) रहता है। / (|x-3|) becomes zero at (x=3), and the negative sign changes direction. The vertex still remains ((3,0)).
((x-1)3) में अंदर (x-1) है, इसलिए ग्राफ (1) इकाई दाईं ओर खिसकता है। अंदर का बदलाव दिशा उलटी दिखाता है। / In ((x-1)3), the inside term is (x-1), so the graph shifts (1) unit right. An inside change shows the opposite direction.
हर (x+1) शून्य होने पर फलन परिभाषित नहीं रहता। इसलिए (x=-1) ऊर्ध्व आसिम्प्टोट है। / When the denominator (x+1) becomes zero, the function is not defined. So (x=-1) is the vertical asymptote.
\(\frac{1}{x}\) का मान बड़े (x) पर (0) के पास जाता है। इसलिए \(\frac{1}{x}+2\) का क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=2) है। / The value of \(\frac{1}{x}\) approaches (0) for large (x). So the horizontal asymptote of \(\frac{1}{x}+2\) is (y=2).
वृत्त \(x^2+y^2=1\) में कुछ (x)-मानों के लिए दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह ऊर्ध्व रेखा परीक्षण में असफल है। / The circle \(x^2+y^2=1\) gives two (y)-values for some (x)-values. So it fails the vertical line test.
A. हर ऊर्ध्व रेखा अधिकतम एक बिंदु पर काटे/Each vertical line cuts at at most one point
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रत्येक (x) के लिए केवल एक (y) होना चाहिए। इसलिए ऊर्ध्व रेखा अधिकतम एक बिंदु पर काटती है। / A function must have only one (y) for each (x). Therefore a vertical line cuts it at at most one point.
(|x|) ऋणात्मक (x) को धनात्मक दूरी में बदल देता है। इसलिए ग्राफ (V)-आकार का होता है। / (|x|) changes negative (x)-values into positive distance values. Therefore the graph is (V)-shaped.
(y=x) में (x) और (y) के चिह्न समान होते हैं। इसलिए रेखा प्रथम और तृतीय चतुर्थांश से गुजरती है। / In (y=x), (x) and (y) have the same sign. So the line passes through the first and third quadrants.
किसी बिंदु \((x,y)\) के आलेख पर स्थित होने के लिए \(y=3x\) होना चाहिए। बिंदु \((1,3)\) के लिए \(3=3\times1\), इसलिए यह सही है। विकल्प B में निर्देशांक उलटने पर \(y=1\) हो जाता है, जबकि \(3x=9\)। विकल्प C में \(x=2\) पर \(y=6\) होना चाहिए और विकल्प D में \(x=-1\) पर \(y=-3\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: किसी बिंदु को जाँचने के लिए उसके \(x\)-निर्देशांक को फलन में रखकर प्राप्त \(y\) से मिलाएँ। / A point \((x,y)\) lies on the graph only when it satisfies \(y=3x\). For \((1,3)\), \(3=3\times1\), so it is correct. In option B, the coordinates are reversed; for \(x=3\), \(y\) should be 9. In option C, \(x=2\) requires \(y=6\), and in option D, \(x=-1\) requires \(y=-3\). Exam tip: substitute the point’s x-coordinate into the function and compare the resulting y-value.
\(x^2+6\) हमेशा (6) या उससे बड़ा है, इसलिए (y=0) संभव नहीं। अतः ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / \(x^2+6\) is always (6) or greater, so (y=0) is impossible. Hence the graph does not cut the (x)-axis.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक \(0\) होता है। इसलिए \(f(x)=0\): \(|x|-5=0\), अर्थात् \(|x|=5\)। इससे \(x=5\) या \(x=-5\) मिलता है, इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((5,0)\) और \((-5,0)\) हैं। ध्यान रखें कि \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए फलन का मान शून्य करना होता है। / At an \(x\)-intercept, the \(y\)-coordinate is \(0\). Thus, set \(f(x)=0\): \(|x|-5=0\), which gives \(|x|=5\). Therefore, \(x=5\) or \(x=-5\), so the intercepts are \((5,0)\) and \((-5,0)\). Exam tip: to find \(x\)-intercepts, always set the function value equal to zero.
\(\sqrt{x}\) का ग्राफ ((0,0)) से शुरू होता है और (1) इकाई ऊपर खिसकता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((0,1)) है। / The graph of \(\sqrt{x}\) starts at ((0,0)) and shifts (1) unit up. Therefore the starting point is ((0,1)).
(x)-अक्ष में प्रतिबिंब से हर (y)-मान का चिह्न बदल जाता है। इसलिए (y=|x|) बदलकर (y=-|x|) बनता है। / Reflection in the (x)-axis changes the sign of every (y)-value. So (y=|x|) becomes (y=-|x|).
\(\sqrt{x-3}\) के लिए (x-3=0) से (x=3) मिलता है और बाहर (2) जुड़ता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((3,2)) है। / For \(\sqrt{x-3}\), (x-3=0) gives (x=3), and the outside (2) is added. So the starting point is ((3,2)).
बड़े (|x|) पर \(\frac{1}{x-4}\) का मान (0) के पास जाता है। इसलिए क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=0) है। / For large (|x|), the value of \(\frac{1}{x-4}\) approaches (0). Therefore the horizontal asymptote is (y=0).
