Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (46+38-16=68) मिलता है। साझा भाग को दो बार गिनने से बचें। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (46+38-16=68). Avoid counting the common part twice.
पहले (n\(A\cup B\)=42+36-14=64), इसलिए बाहर (85-64=21) होगा। बाहर का भाग हमेशा (U) से संघ घटाकर मिलता है। / First (n\(A\cup B\)=42+36-14=64), so outside is (85-64=21). The outside region is always found by subtracting the union from (U).
(n\(A\cap B\)=52+47-79=20) होगा। संघ दिया हो तो प्रतिच्छेद के लिए दोनों समुच्चयों का योग घटाएं। / (n\(A\cap B\)=52+47-79=20). When the union is given, subtract it from the sum of both sets.
संघ के तीन अलग भाग होते हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=74-28-19=27)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को सीधे घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (n\(A\cap B\)=74-28-19=27). In a Venn diagram, subtracting separate regions is easy.
पहले (n\(A\cup B\)=61+54-25=90), इसलिए बाहर (120-90=30) है। बाहर का भाग संघ का पूरक होता है। / First (n\(A\cup B\)=61+54-25=90), so outside is (120-90=30). The outside region is the complement of the union.
केवल (A=38-16-13+5=14) है। केंद्रीय भाग दो बार घटता है, इसलिए उसे एक बार वापस जोड़ें। / Only (A=38-16-13+5=14). The central part is subtracted twice, so add it back once.
केवल (B) के लिए (57-23=34) होगा। वेन आरेख में मध्य भाग पहले लिखना आसान रहता है। / For only (B), (57-23=34). In a Venn diagram, writing the middle part first is helpful.
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (18+14+21+7=60)। कोई भी क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (18+14+21+7=60). Do not miss any region.
अंदर का संघ (24+13+26=63) है, इसलिए बाहर (88-63=25) है। बाहरी क्षेत्र हमेशा (U) से अंदर का भाग घटाकर मिलता है। / The inside union is (24+13+26=63), so outside is (88-63=25). The outside region is always found by subtracting the inside part from (U).
क्योंकि (A) पूरा (B) के अंदर है, इसलिए (n(B-A)=73-28=45)। उपसमुच्चय में छोटा वृत्त बड़े वृत्त के अंदर बनता है। / Since (A) lies completely inside (B), (n(B-A)=73-28=45). In subset cases, the smaller circle lies inside the larger circle.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (33+41=74)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य है। / Disjoint sets have common part (0), so (33+41=74). When \(A\cap B=\varnothing\), the subtracted part is zero.
ठीक एक समुच्चय (86-31=55) है। संघ में साझा भाग शामिल होता है, इसलिए उसे हटाएं। / Exactly one set is (86-31=55). The union includes the common part, so remove it.
सममित अंतर में केवल (A) और केवल (B) वाले भाग आते हैं, इसलिए (29+17=46)। साझा भाग इसमें शामिल नहीं होता। / The symmetric difference includes only (A) and only (B), so (29+17=46). The common part is not included.
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (105-37=68)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (105-37=68). Here the complement of only the common part is asked.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं। दोहराए गए तत्वों को केवल एक बार लिखें। / The union contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
दोनों समुच्चयों में समान तत्व (b,d,h) हैं। प्रतिच्छेद में केवल सामान्य तत्व आते हैं। / The common elements in both sets are (b,d,h). Intersection contains only common elements.
(A-B) में (A) के वे तत्व रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। (6,8,12) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). (6,8,12) are common, so they are removed.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए उत्तर ({q,s,u}) है। / \(A^c\) contains elements of (U) that are not in (A). Hence the answer is ({q,s,u}).
तीन समुच्चयों का संघ (35+32+29-12-10-9+4=69) है। अंतिम साझा भाग को वापस जोड़ना जरूरी है। / The union of three sets is (35+32+29-12-10-9+4=69). Adding back the final common part is necessary.
ठीक दो (=(18-6)+(16-6)+(14-6)=30) है। हर जोड़ी से तीनों का साझा भाग घटाएं। / Exactly two (=(18-6)+(16-6)+(14-6)=30). Subtract the common part of all three from each pair.
केवल (A=50-21-19+8=18) है। केंद्रीय भाग दो बार घटता है, इसलिए एक बार जोड़ा जाता है। / Only (A=50-21-19+8=18). The central part is subtracted twice, so it is added once.
केवल (A) और (B) के लिए (24-9=15) होगा। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद में तीनों का साझा भाग शामिल रहता है। / For only (A) and (B), (24-9=15). A pairwise intersection includes the common part of all three.
किसी में नहीं (110-92=18) है। बाहर का क्षेत्र (U) से संघ घटाकर मिलता है। / None is (110-92=18). The outside region is found by subtracting the union from (U).
C. (A-B) और (B-A) का संयुक्त भाग/Combined part of (A-B) and (B-A)
Explanation
Simple Explanation
\(A\triangle B\) में वे तत्व आते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। इसलिए साझा भाग शामिल नहीं होता। / \(A\triangle B\) contains elements that are in exactly one set. Therefore the common part is not included.
सममित अंतर (A-B) और (B-A) का योग है, इसलिए (64-27=37)। साझा भाग इसमें नहीं आता। / The symmetric difference is the sum of (A-B) and (B-A), so (64-27=37). The common part is not included.
कम से कम एक का अर्थ \(A\cup B\) है, इसलिए (58+49-22=85)। दोनों सीखने वालों को एक बार ही गिनें। / At least one means \(A\cup B\), so (58+49-22=85). Count those who learn both only once.
कम से कम एक (34+31-13=52) है, इसलिए कोई नहीं (72-52=20)। पहले संघ निकालना आसान तरीका है। / At least one is (34+31-13=52), so neither is (72-52=20). Finding the union first is the easy method.
क्योंकि (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B-A)=63+34=97), अतिरिक्त जानकारी से प्रतिच्छेद (0) नहीं निकलता बल्कि निर्धारित नहीं होता। दिए गए विकल्पों में यह प्रश्न जाल है और सही निष्कर्ष यह है कि (n\(A\cap B\)) निर्धारित नहीं किया जा सकता। / Since (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B-A)=63+34=97), the intersection is not found from this data. This is a trap question, and the correct conclusion should be that (n\(A\cap B\)) cannot be determined.
जब (A) पूरा (B) में होता है, तब संघ (B) ही होता है। उपसमुच्चय पहचानने से उत्तर जल्दी मिलता है। / When (A) is completely inside (B), the union is (B). Recognizing a subset helps answer quickly.
असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा तत्व नहीं होता। इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) होता है। / Disjoint sets have no common element. Therefore \(A\cap B=\varnothing\).
असंबद्ध होने पर हर तत्व ठीक एक समुच्चय में आता है, इसलिए (36+42=78)। साझा भाग शून्य है। / When sets are disjoint, every element belongs to exactly one set, so (36+42=78). The common part is zero.
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए (70-26-19=25)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को जोड़ना या घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (70-26-19=25). In Venn diagrams, adding or subtracting separate regions is easy.
C. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भाग/Common central part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) वे तत्व हैं जो तीनों समुच्चयों में हों। तीन वृत्तों में यह केंद्रीय साझा भाग होता है। / \(A\cap B\cap C\) means elements that are in all three sets. In three circles, it is the central common part.
यदि केवल (A=14), केवल (B=18), केवल (C=16), केवल \(A\cap B=7\), केवल \(B\cap C=6\), केवल \(C\cap A=5\) और \(A\cap B\cap C=4\) हैं, तो (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सातों अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (14+18+16+7+6+5+4=70)। हर क्षेत्र को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (14+18+16+7+6+5+4=70). Add each region only once.
(A) के अंदर आने वाले सभी क्षेत्र जोड़ें, (20+8+6+5=39)। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके सभी अंदरूनी भागों का योग है। / Add all regions inside (A), (20+8+6+5=39). The total of a set is the sum of all its inside regions.
(B) के सभी भाग जोड़ने पर (17+9+11+6=43) मिलता है। कुल (B) में (B) के अंदर के सभी क्षेत्र शामिल होते हैं। / Adding all parts of (B) gives (17+9+11+6=43). Total (B) includes all regions inside (B).
(n(U)=140), (n(A)=60), (n(B)=55), (n(C)=50), (n\(A\cap B\)=24), (n\(B\cap C\)=21), (n\(C\cap A\)=19) और (n\(A\cap B\cap C\)=8) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (60+55+50-24-21-19+8=109) है, इसलिए बाहर (140-109=31)। तीन समुच्चयों में समावेशन-बहिष्करण ध्यान से लगाएं। / The union is (60+55+50-24-21-19+8=109), so outside is (140-109=31). Apply inclusion-exclusion carefully for three sets.
सूत्र में (82=40+36+34-12-10-9+x) होगा, इसलिए (x=3)। अज्ञात केंद्रीय भाग को समीकरण से निकालें। / In the formula (82=40+36+34-12-10-9+x), so (x=3). Find the unknown central part by forming an equation.
(A) और \(A^c\) मिलकर (U) बनाते हैं, इसलिए (n(A)=95-48=47)। पूरक के प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय जरूर देखें। / (A) and \(A^c\) together form (U), so (n(A)=95-48=47). In complement questions, always check the universal set.
(A-B) और \(A\cap B\) मिलकर पूरा (A) बनाते हैं। यह क्षेत्रीय विभाजन का अच्छा उदाहरण है। / (A-B) and \(A\cap B\) together form the whole of (A). This is a good example of region partitioning.
संघ से (A) हटाने पर केवल (B) का वह भाग बचता है जो (A) में नहीं है। इसलिए उत्तर (B-A) है। / Removing (A) from the union leaves the part of (B) that is not in (A). Hence the answer is (B-A).
साझा भाग (58-22-20=16) है। संघ के अलग-अलग क्षेत्रों को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / The common part is (58-22-20=16). Identifying separate regions of the union saves time in exams.
प्रतिच्छेद शून्य है, इसलिए (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B))। अतः (n(B)=76-31=45)। / The intersection is zero, so (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)). Hence (n(B)=76-31=45).
