Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (57+49-21=85) मिलता है। साझा भाग को दो बार न गिनें। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (57+49-21=85). Do not count the common part twice.
पहले (n\(A\cup B\)=150-32=118), फिर (n\(A\cap B\)=70+62-118=14)। बाहर का भाग दिया हो तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=150-32=118), then (n\(A\cap B\)=70+62-118=14). If the outside part is given, find the union first.
(n\(A\cap B\)=68+53-91=30) होगा। संघ दिया हो तो प्रतिच्छेद निकालने के लिए योग में से संघ घटाएं। / (n\(A\cap B\)=68+53-91=30). When the union is given, subtract it from the sum to get the intersection.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए (24+31+16=71)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of three separate parts, so (24+31+16=71). In a Venn diagram, add each separate region only once.
पहले (n\(A\cup B\)=72+64-28=108), इसलिए बाहर (140-108=32) है। बाहर का भाग संघ का पूरक होता है। / First (n\(A\cup B\)=72+64-28=108), so outside is (140-108=32). The outside region is the complement of the union.
पहले (n\(A\cap B\)=58-29=29), फिर (n(B-A)=96-29-29=38)। कुल (A) से केवल (A) घटाकर साझा भाग निकालें। / First (n\(A\cap B\)=58-29=29), then (n(B-A)=96-29-29=38). Subtract only (A) from total (A) to get the common part.
तीन समुच्चयों में केवल (A=19), केवल (B=23), केवल (C=17), केवल \(A\cap B=8\), केवल \(B\cap C=10\), केवल \(C\cap A=6\) और \(A\cap B\cap C=5\) हैं। (n\(B\cup C\)) कितना होगा?
\(B\cup C\) में (B) या (C) के अंदर आने वाले भाग जुड़ेंगे, (23+17+8+10+6+5=69)। ध्यान दें कि केवल (A) इसमें नहीं आएगा। / \(B\cup C\) includes parts inside (B) or (C), (23+17+8+10+6+5=69). Notice that only (A) is not included.
केवल (B) के लिए (66-31=35) होगा। वेन आरेख में मध्य भाग पहले लिखना आसान रहता है। / For only (B), (66-31=35). In a Venn diagram, writing the middle part first is helpful.
सूत्र में (91=46+40+37-14-12-11+x) होगा, इसलिए (x=5)। तीन समुच्चयों में केंद्रीय भाग अंत में जोड़ा जाता है। / In the formula (91=46+40+37-14-12-11+x), so (x=5). In three sets, the central part is added at the end.
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (26+18+33+12=89)। कोई भी क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (26+18+33+12=89). Do not miss any region.
A. \(A\cup B\) का वह भाग जो (C) में नहीं है/Part of \(A\cup B\) that is not in (C)
Explanation
Simple Explanation
\(C^c\) का अर्थ (C) के बाहर है, इसलिए (\(A\cup B\)\cap C^c) में (A) या (B) के वे भाग आते हैं जो (C) में नहीं हैं। पूरक चिन्ह क्षेत्र को सीमित करता है। / \(C^c\) means outside (C), so (\(A\cup B\)\cap C^c) contains parts of (A) or (B) that are not in (C). The complement sign limits the region.
अंदर का संघ (29+17+22=68) है, इसलिए बाहर (96-68=28) है। बाहरी क्षेत्र (U) से अंदर का भाग घटाकर मिलता है। / The inside union is (29+17+22=68), so outside is (96-68=28). The outside region is found by subtracting the inside part from (U).
(B) पूरा (C) के अंदर है, इसलिए (n(C-B)=95-61=34)। nested वेन आरेख में बड़े से अंदर वाले भाग को घटाएं। / (B) lies completely inside (C), so (n(C-B)=95-61=34). In a nested Venn diagram, subtract the inner part from the larger set.
क्योंकि (A) पूरा (B) में है, इसलिए (n(B-A)=82-34=48)। उपसमुच्चय में छोटा वृत्त बड़े के अंदर होता है। / Since (A) lies completely inside (B), (n(B-A)=82-34=48). In a subset case, the smaller circle lies inside the larger one.
केवल एक (=(80-29)+(64-29)=86) है। सीधे (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)) भी लगा सकते हैं। / Exactly one (=(80-29)+(64-29)=86). You can also use (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)) directly.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (45+37=82)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य मानें। / Disjoint sets have common part (0), so (45+37=82). When \(A\cap B=\varnothing\), take the subtracted part as zero.
क्योंकि (52+47=99), जो (100) से अधिक नहीं है, इसलिए प्रतिच्छेद (0) भी हो सकता है। न्यूनतम के लिए देखें कि दोनों कुल (U) से अधिक हो रहे हैं या नहीं। / Since (52+47=99), which is not greater than (100), the intersection can be (0). For the minimum, check whether the two totals exceed (U).
ठीक एक समुच्चय (98-42=56) है। संघ में साझा भाग शामिल होता है, इसलिए उसे हटाएं। / Exactly one set is (98-42=56). The union includes the common part, so remove it.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=58+45-90=13) है। जब कुल (U) से अधिक हो जाए तो अतिरिक्त भाग अनिवार्य साझा होता है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=58+45-90=13). When the total exceeds (U), the extra part must be common.
सममित अंतर में केवल (A) और केवल (B) वाले भाग आते हैं, इसलिए (38+27=65)। साझा भाग इसमें शामिल नहीं होता। / The symmetric difference includes only (A) and only (B), so (38+27=65). The common part is not included.
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (130-46=84)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (130-46=84). Here the complement of only the common part is asked.
दोनों समुच्चयों में समान तत्व (4,6,12) हैं। प्रतिच्छेद में केवल सामान्य तत्व आते हैं। / The common elements in both sets are (4,6,12). Intersection contains only common elements.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं। दोहराए गए तत्वों को केवल एक बार लिखें। / The union contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
(A-B) में (A) के वे तत्व रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। (10,20,30) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). (10,20,30) are common, so they are removed.
\(A^c\) में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए उत्तर ({n,p,r,t}) है। / \(A^c\) contains elements of (U) that are not in (A). Hence the answer is ({n,p,r,t}).
तीन समुच्चयों का संघ (42+39+35-15-13-11+5=87) है। अंतिम साझा भाग को वापस जोड़ना जरूरी है। / The union of three sets is (42+39+35-15-13-11+5=87). Adding back the final common part is necessary.
ठीक दो (=(21-7)+(19-7)+(16-7)=35) है। हर जोड़ी से तीनों का साझा भाग घटाएं। / Exactly two (=(21-7)+(19-7)+(16-7)=35). Subtract the common part of all three from each pair.
केवल (A=63-26-24+9=22) है। केंद्रीय भाग दो बार घटता है, इसलिए एक बार जोड़ा जाता है। / Only (A=63-26-24+9=22). The central part is subtracted twice, so it is added once.
केवल (A) और (B) के लिए (29-12=17) होगा। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद में तीनों का साझा भाग शामिल रहता है। / For only (A) and (B), (29-12=17). A pairwise intersection includes the common part of all three.
किसी में नहीं (160-127=33) है। बाहर का क्षेत्र (U) से संघ घटाकर मिलता है। / None is (160-127=33). The outside region is found by subtracting the union from (U).
सममित अंतर (A-B) और (B-A) का योग है, इसलिए (78-34=44)। साझा भाग इसमें नहीं आता। / The symmetric difference is the sum of (A-B) and (B-A), so (78-34=44). The common part is not included.
कम से कम एक का अर्थ \(A\cup B\) है, इसलिए (63+58-26=95)। दोनों सीखने वालों को एक बार ही गिनें। / At least one means \(A\cup B\), so (63+58-26=95). Count those who learn both only once.
कम से कम एक (43+39-18=64) है, इसलिए कोई नहीं (90-64=26)। पहले संघ निकालना आसान तरीका है। / At least one is (43+39-18=64), so neither is (90-64=26). Finding the union first is the easy method.
असंबद्ध होने पर हर तत्व ठीक एक समुच्चय में आता है, इसलिए (49+52=101)। साझा भाग शून्य है। / When sets are disjoint, every element belongs to exactly one set, so (49+52=101). The common part is zero.
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए (88-31-29=28)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को घटाना आसान रहता है। / The union has three separate parts, so (88-31-29=28). In Venn diagrams, subtracting separate regions is easy.
C. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भाग/Common central part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) वे तत्व हैं जो तीनों समुच्चयों में हों। तीन वृत्तों में यह केंद्रीय साझा भाग होता है। / \(A\cap B\cap C\) means elements that are in all three sets. In three circles, it is the central common part.
यदि केवल (A=18), केवल (B=22), केवल (C=19), केवल \(A\cap B=9\), केवल \(B\cap C=8\), केवल \(C\cap A=7\) और \(A\cap B\cap C=6\) हैं, तो (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सातों अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (18+22+19+9+8+7+6=89)। हर क्षेत्र को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (18+22+19+9+8+7+6=89). Add each region only once.
(A) के अंदर आने वाले सभी क्षेत्र जोड़ें, (27+10+12+8=57)। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके सभी अंदरूनी भागों का योग है। / Add all regions inside (A), (27+10+12+8=57). The total of a set is the sum of all its inside regions.
(B) के सभी भाग जोड़ने पर (24+11+13+9=57) मिलता है। कुल (B) में (B) के अंदर के सभी क्षेत्र शामिल होते हैं। / Adding all parts of (B) gives (24+11+13+9=57). Total (B) includes all regions inside (B).
(n(U)=180), (n(A)=76), (n(B)=69), (n(C)=62), (n\(A\cap B\)=30), (n\(B\cap C\)=27), (n\(C\cap A\)=24) और (n\(A\cap B\cap C\)=10) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (76+69+62-30-27-24+10=136) है, इसलिए बाहर (180-136=44)। तीन समुच्चयों में समावेशन-बहिष्करण ध्यान से लगाएं। / The union is (76+69+62-30-27-24+10=136), so outside is (180-136=44). Apply inclusion-exclusion carefully for three sets.
सूत्र में (99=48+43+41-17-14-13+x) होगा, इसलिए (x=11)। अज्ञात केंद्रीय भाग को समीकरण से निकालें। / In the formula (99=48+43+41-17-14-13+x), so (x=11). Find the unknown central part by forming an equation.
(A) और \(A^c\) मिलकर (U) बनाते हैं, इसलिए (n(A)=132-58=74)। पूरक के प्रश्न में सार्वत्रिक समुच्चय जरूर देखें। / (A) and \(A^c\) together form (U), so (n(A)=132-58=74). In complement questions, always check the universal set.
साझा भाग (73-28-32=13) है। संघ के अलग-अलग क्षेत्रों को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / The common part is (73-28-32=13). Identifying separate regions of the union saves time in exams.
प्रतिच्छेद शून्य है, इसलिए (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B))। अतः (n(B)=92-40=52)। / The intersection is zero, so (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)). Hence (n(B)=92-40=52).
