Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
योग सूत्र में \(S_n=2328\) रखने पर (n=24) मिलता है। परीक्षा में कुल सीटें दी हों तो (n) के लिए समीकरण बनाएं। / Putting \(S_n=2328\) in the sum formula gives (n=24). Exam tip: when total seats are given, form an equation for (n).
वेतन \(35000,36800,38600,\ldots\) समान्तर श्रेणी है और \(S_9=379800\)। परीक्षा में कुल वेतन के लिए सभी महीनों का योग लें। / The salaries form the AP \(35000,36800,38600,\ldots\), and \(S_9=379800\). Exam tip: add all monthly salaries using the sum formula.
उत्पादन \(420,402,384,\ldots\) घटती समान्तर श्रेणी है और \(S_{15}=4410\)। परीक्षा में कमी को ऋणात्मक सार्व अंतर मानें। / The production is the decreasing AP \(420,402,384,\ldots\) and \(S_{15}=4410\). Exam tip: treat a decrease as a negative common difference.
एक सभागार की पहली पंक्ति में 25 सीटें हैं और प्रत्येक अगली पंक्ति में 3 सीटें अधिक हैं। 20 पंक्तियों की कुल सीटें ज्ञात करते समय मीरा ने लिखा: \(S_{20}=\frac{20}{2}[2(25)+20(3)]\)। उसके समाधान में सही सुधार क्या है?
B. \(20(3)\) के स्थान पर \(19(3)\) लिखना चाहिए, क्योंकि 20 पंक्तियों में 19 अंतर होते हैं; कुल सीटें 1070 हैं।/\(20(3)\) should be replaced by \(19(3)\), because there are 19 gaps in 20 rows; the total is 1070 seats.
Explanation
Simple Explanation
एपी के पहले 20 पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) है। यहाँ \(n-1=19\), अतः \(S_{20}=10[50+57]=1070\)। 20 पंक्तियाँ हैं, पर उनके बीच केवल 19 अंतर हैं। परीक्षा में \((n-1)d\) अवश्य जाँचें। / For the first 20 AP terms, \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Here \(n-1=19\), so \(S_{20}=10[50+57]=1070\). Twenty rows create only 19 increases. Exam tip: check the \((n-1)d\) term carefully.
सीटें समान्तर श्रेणी बनाती हैं और \(S_{21}=2184\)। परीक्षा में कुल सीटों के लिए योग सूत्र लगाएं। / The seats form an AP and \(S_{21}=2184\). Exam tip: use the sum formula for total seats.
राशियां \(90,120,150,\ldots\) समान्तर श्रेणी हैं और \(S_{14}=3990\)। परीक्षा में दिनों की संख्या को पदों की संख्या मानें। / The amounts are the AP \(90,120,150,\ldots\) and \(S_{14}=3990\). Exam tip: treat the number of days as the number of terms.
पैकेटों की संख्या घटती समान्तर श्रेणी है और \(S_{14}=4725\)। परीक्षा में कमी को ऋणात्मक सार्व अंतर मानें। / The packet numbers form a decreasing AP and \(S_{14}=4725\). Exam tip: take a decrease as a negative common difference.
\(S_{16}=1320\) और (a=45) रखने पर (d=5) मिलता है। परीक्षा में कुल और प्रथम पद से सार्व अंतर निकालें। / Using \(S_{16}=1320\) and (a=45) gives (d=5). Exam tip: find the common difference from total and first term.
फूलों की संख्या एक समानांतर श्रेणी बनाती है, जहाँ पहला पद \(a=42\) और सार्वांतर \(d=11\) है। \(n\)वीं परत में फूलों की संख्या \(a_n=42+(n-1)\times 11\) होगी। \(42+(n-1)\times 11=207\) से \((n-1)\times 11=165\), अतः \(n-1=15\) और \(n=16\)। इसलिए 16वीं परत में 207 फूल होंगे। 15वीं परत में केवल \(196\) फूल होंगे। परीक्षा टिप: परत/स्थान पूछे जाने पर दिए गए लक्ष्य मान को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) ज्ञात करें। / The numbers of flowers form an AP with first term \(a=42\) and common difference \(d=11\). The number of flowers in the \(n\)th layer is \(a_n=42+(n-1)\times 11\). Putting \(a_n=207\), \(42+(n-1)\times 11=207\), so \((n-1)\times 11=165\), giving \(n-1=15\) and \(n=16\). Hence, the 16th layer has 207 flowers. The 15th layer would have only \(196\) flowers. Exam tip: when a position or layer is asked, equate the target value to \(a_n\) and solve for \(n\).
उत्पादन \(70,83,96,\ldots\) समान्तर श्रेणी है और \(S_{12}=1698\)। परीक्षा में हर घंटे का उत्पादन एक पद मानें। / The production is the AP \(70,83,96,\ldots\) and \(S_{12}=1698\). Exam tip: treat each hour's production as one term.
\(S_{18}=1485\) और (d=5) रखने पर (a=40) मिलता है। परीक्षा में प्रथम पद निकालते समय योग सूत्र को उल्टा हल करें। / Using \(S_{18}=1485\) and (d=5) gives (a=40). Exam tip: solve the sum formula backward to find the first term.
पानी की मात्रा एक घटता हुआ समांतर श्रेणीक्रम है, जहाँ \(a=210\) और \(d=-12\)। \(n\)वें दिन पानी \(a_n=210+(n-1)(-12)\) होगा। \(210-12(n-1)=66\) से \(n-1=12\), अतः \(n=13\)। इसलिए 13वें दिन 66 लीटर पानी बचेगा। 12वें दिन मात्रा 78 लीटर होगी, इसलिए विकल्प 12 सही नहीं है। परीक्षा सुझाव: घटती AP में सार्वांतर \(d\) को ऋणात्मक लें। / The amount of water forms a decreasing AP with \(a=210\) and \(d=-12\). On the \(n\)th day, \(a_n=210+(n-1)(-12)\). Solving \(210-12(n-1)=66\) gives \(n-1=12\), so \(n=13\). Therefore, 66 litres remain on the 13th day. On the 12th day, the amount is 78 litres, so option 12 is not correct. Exam tip: use a negative common difference \(d\) for a decreasing AP.
किराया \(85,115,145,\ldots\) समान्तर श्रेणी है और \(S_{11}=2585\)। परीक्षा में प्रत्येक किलोमीटर का किराया एक पद मानें। / The fares form the AP \(85,115,145,\ldots\) and \(S_{11}=2585\). Exam tip: treat each kilometre's fare as one term.
\(S_{20}=1230\) और (a=14) रखने पर (d=5) मिलता है। परीक्षा में कुल अभ्यास से दैनिक वृद्धि निकाली जा सकती है। / Using \(S_{20}=1230\) and (a=14) gives (d=5). Exam tip: daily increase can be found from total practice.
सिक्कों की संख्या \(75,110,145,\ldots\) है और \(S_{16}=5400\)। परीक्षा में स्तरों की कमाई को समान्तर श्रेणी मानें। / The coin numbers are \(75,110,145,\ldots\) and \(S_{16}=5400\). Exam tip: treat level rewards as an AP.
साप्ताहिक बिक्री एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=95\) और सार्वांतर \(d=18\) है। \(n\)वें सप्ताह की बिक्री \(a_n=95+(n-1)18\) होगी। \(95+(n-1)18=311\) से \(18(n-1)=216\), अतः \(n-1=12\) और \(n=13\)। इसलिए 13वें सप्ताह में 311 किलोग्राम अनाज बिकेगा। 12वें सप्ताह में बिक्री \(293\) किलोग्राम होगी, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: लक्ष्य राशि को \(a_n\) के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / The weekly sales form an AP with first term \(a=95\) and common difference \(d=18\). The sale in the \(n\)th week is \(a_n=95+(n-1)18\). Setting this equal to 311 gives \(95+(n-1)18=311\), so \(18(n-1)=216\), \(n-1=12\), and \(n=13\). Therefore, 311 kg will be sold in the 13th week. In the 12th week, the sale would be \(293\) kg, so it is a close but incorrect option. Exam tip: equate the target quantity to \(a_n\) and solve for \(n\).
लाइटें \(96,92,88,\ldots\) घटती समान्तर श्रेणी हैं और \(S_{18}=1116\)। परीक्षा में घटती पंक्ति में सार्व अंतर ऋणात्मक होता है। / The lights form the decreasing AP \(96,92,88,\ldots\) and \(S_{18}=1116\). Exam tip: in decreasing rows the common difference is negative.
दूरी \(28,35,42,\ldots\) समान्तर श्रेणी है और \(S_{15}=1155\)। परीक्षा में प्रति घंटे की दूरी को एक पद मानें। / The distances form the AP \(28,35,42,\ldots\) and \(S_{15}=1155\). Exam tip: treat each hour's distance as one term.
\(S_{14}=2590\) और (d=12) रखने पर (a=107) मिलता है। परीक्षा में कुल और वृद्धि से पहला दिन निकालें। / Using \(S_{14}=2590\) and (d=12) gives (a=107). Exam tip: find the first day from total and increase.
राशियां \(60,80,100,\ldots\) हैं और \(S_n=2040\) से (n=12) मिलता है। परीक्षा में कुल लक्ष्य को योग सूत्र में रखें। / The amounts are \(60,80,100,\ldots\) and \(S_n=2040\) gives (n=12). Exam tip: put the target total in the sum formula.
वेतन \(18000,20200,22400,\ldots\) है और \(S_7=172200\)। परीक्षा में वेतन वृद्धि को समान्तर श्रेणी की तरह जोड़ें। / The salaries are \(18000,20200,22400,\ldots\) and \(S_7=172200\). Exam tip: add salary increases like an AP.
डिब्बों की संख्या \(320,300,280,\ldots\) है और \(S_{11}=2420\)। परीक्षा में घटते स्टॉक में (d) ऋणात्मक लें। / The box numbers are \(320,300,280,\ldots\) and \(S_{11}=2420\). Exam tip: take (d) negative for decreasing stock.
अंकों की संख्या \(120,165,210,\ldots\) है और \(a_{18}=885\)। परीक्षा में स्तर संख्या को पद संख्या मानें। / The points are \(120,165,210,\ldots\) and \(a_{18}=885\). Exam tip: take the level number as the term number.
\(S_{22}=1243\) और (a=25) रखने पर (d=3) मिलता है। परीक्षा में कुल और प्रथम पद से (d) निकालें। / Using \(S_{22}=1243\) and (a=25) gives (d=3). Exam tip: find (d) from total and first term.
यूनिट \(150,175,200,\ldots\) समान्तर श्रेणी हैं और \(S_{10}=2625\)। परीक्षा में सभी महीनों की खपत जोड़ें। / The units form the AP \(150,175,200,\ldots\) and \(S_{10}=2625\). Exam tip: add consumption across all months.
खिड़कियों की संख्या एक घटती हुई समांतर श्रेणी है, जहाँ \(a=150\) और \(d=-7\) है। अतः \(a_n=150+(n-1)(-7)\)। \(150-7(n-1)=52\) रखने पर \(7(n-1)=98\), इसलिए \(n=15\) मिलता है। 14वें तल पर 59 और 16वें तल पर 45 खिड़कियां होंगी, इसलिए सही उत्तर 15वां तल है। परीक्षा टिप: घटती AP में सार्वांतर \(d\) को ऋणात्मक लिखें। / The number of windows forms a decreasing AP with \(a=150\) and \(d=-7\). Thus, \(a_n=150+(n-1)(-7)\). Substituting \(a_n=52\) gives \(150-7(n-1)=52\), so \(7(n-1)=98\) and \(n=15\). The 14th floor would have 59 windows and the 16th floor would have 45, so the correct answer is the 15th floor. Exam tip: write the common difference as negative for a decreasing AP.
किस्तें \(7500,8750,10000,\ldots\) हैं और \(S_6=63750\)। परीक्षा में किस्तों को समान्तर श्रेणी के पद मानें। / The instalments are \(7500,8750,10000,\ldots\) and \(S_6=63750\). Exam tip: treat instalments as AP terms.
\(S_{16}=960\) और (d=4) रखने पर (a=30) मिलता है। परीक्षा में अज्ञात प्रथम पद के लिए योग सूत्र हल करें। / Using \(S_{16}=960\) and (d=4) gives (a=30). Exam tip: solve the sum formula for the unknown first term.
किताबों की बिक्री \(27,36,45,\ldots\) है और \(S_{13}=1053\)। परीक्षा में हर स्टॉल को एक पद मानें। / The book sales are \(27,36,45,\ldots\) and \(S_{13}=1053\). Exam tip: treat each stall as one term.
आय \(250,285,320,\ldots\) है और \(a_{11}=600\)। परीक्षा में किसी विशेष दिन के लिए (n)वाँ पद लगाएं। / The income is \(250,285,320,\ldots\) and \(a_{11}=600\). Exam tip: use the (n)th term for a particular day.
जमा राशि \(200,250,300,\ldots\) है और \(S_n=4250\) से (n=10)। परीक्षा में लक्ष्य राशि के लिए \(S_n\) का समीकरण बनाएं। / The deposits are \(200,250,300,\ldots\) and \(S_n=4250\) gives (n=10). Exam tip: form an \(S_n\) equation for the target amount.
खर्च \(1000,955,910,\ldots\) घटती समान्तर श्रेणी है और \(S_{12}=9030\)। परीक्षा में घटते खर्च के लिए (d) ऋणात्मक लें। / The costs form the decreasing AP \(1000,955,910,\ldots\) and \(S_{12}=9030\). Exam tip: take (d) negative for decreasing costs.
\(33+17d=152\) से \(d=7\) मिलता है। परीक्षा में अंतिम दी हुई पंक्ति से सार्व अंतर निकालें। / From \(33+17d=152\), \(d=7\). Exam tip: find the common difference from the given later row.
विजिट \(500,575,650,\ldots\) समान्तर श्रेणी हैं और \(S_9=7200\)। परीक्षा में दैनिक विजिट को पदों की तरह जोड़ें। / The visits form the AP \(500,575,650,\ldots\) and \(S_9=7200\). Exam tip: add daily visits as terms.
प्रति मिनट भरे गए पानी की मात्राएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं, जहाँ प्रथम पद \(a=36\) और अंतर \(d=12\) है। \(n\)वें मिनट में भरा पानी \(a_n=36+(n-1)\times12\) होगा। \(36+(n-1)\times12=192\) रखने पर \((n-1)\times12=156\), अतः \(n-1=13\) और \(n=14\)। इसलिए 14वें मिनट में 192 लीटर पानी भरेगा। 13वें मिनट में मात्रा केवल 180 लीटर होगी। परीक्षा टिप: ‘किस मिनट में’ पूछे जाने पर AP के \(n\)वें पद का सूत्र लगाएँ, योग का नहीं। / The amount filled each minute forms an AP with first term \(a=36\) and common difference \(d=12\). The amount filled in the \(n\)th minute is \(a_n=36+(n-1)\times12\). Setting this equal to 192 gives \(36+(n-1)\times12=192\), so \((n-1)\times12=156\), \(n-1=13\), and \(n=14\). Hence, 192 litres are filled in the 14th minute. In the 13th minute, the amount would be only 180 litres. Exam tip: when the question asks for the amount in a particular minute, use the \(n\)th-term formula, not the sum formula.
बिंदुओं की संख्या \(11,17,23,\ldots\) है और \(S_{24}=1920\)। परीक्षा में पैटर्न के कुल के लिए योग सूत्र लगाएं। / The dot numbers are \(11,17,23,\ldots\) and \(S_{24}=1920\). Exam tip: use the sum formula for the total of a pattern.
\(S_{12}=990\) और (a=22) रखने पर (d=11) मिलता है। परीक्षा में कुल और पहले पद से सार्व अंतर निकालें। / Using \(S_{12}=990\) and (a=22) gives (d=11). Exam tip: find the common difference from total and first term.
वस्तुओं की संख्या \(500,470,440,\ldots\) है और \(a_{14}=110\)। परीक्षा में घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक रखें। / The item numbers are \(500,470,440,\ldots\) and \(a_{14}=110\). Exam tip: keep (d) negative in a decreasing AP.
दूरियां \(18,27,36,\ldots\) समान्तर श्रेणी हैं और \(S_{17}=1530\)। परीक्षा में अंतरालों को पद मानकर जोड़ें। / The distances form the AP \(18,27,36,\ldots\) and \(S_{17}=1530\). Exam tip: add gaps as terms.
\(S_n=1566\) रखने पर (n=18) मिलता है। परीक्षा में कुल योग दिया हो तो (n) के लिए समीकरण बनाएं। / Putting \(S_n=1566\) gives (n=18). Exam tip: when total sum is given, form an equation for (n).
मजदूरी \(600,680,760,\ldots\) है और \(S_{15}=17400\)। परीक्षा में दैनिक मजदूरी को समान्तर श्रेणी मानें। / The wages are \(600,680,760,\ldots\) and \(S_{15}=17400\). Exam tip: treat daily wages as an AP.
\(250+(n-1)75=1075\) से \(n=12\) मिलता है। परीक्षा में वांछित राशि को \(a_n\) के बराबर रखें। / From \(250+(n-1)75=1075\), \(n=12\). Exam tip: set the required amount equal to \(a_n\).
विजिट \(900,850,800,\ldots\) घटती समान्तर श्रेणी हैं और \(S_{10}=6750\)। परीक्षा में घटती संख्या के लिए (d) ऋणात्मक रखें। / The visits form the decreasing AP \(900,850,800,\ldots\) and \(S_{10}=6750\). Exam tip: keep (d) negative for decreasing numbers.
\(S_{25}=1600\) और (a=16) रखने पर (d=4) मिलता है। परीक्षा में कुल और प्रथम दिन से (d) निकालें। / Using \(S_{25}=1600\) and (a=16) gives (d=4). Exam tip: find (d) from total and first day.
चित्रों की संख्या \(55,66,77,\ldots\) है और \(a_{21}=275\)। परीक्षा में (n)वें दिन का काम (n)वें पद से मिलता है। / The drawing numbers are \(55,66,77,\ldots\) and \(a_{21}=275\). Exam tip: work on the (n)th day is found by the (n)th term.
पेजों की संख्या \(130,147,164,\ldots\) है और \(S_{14}=3367\)। परीक्षा में कुल छपाई के लिए योग सूत्र लगाएं। / The page numbers are \(130,147,164,\ldots\) and \(S_{14}=3367\). Exam tip: use the sum formula for total printing.
अभ्यास समय \(45,60,75,\ldots\) है और \(S_n=2520\) से (n=16)। परीक्षा में कुल लक्ष्य को \(S_n\) के बराबर रखें। / The practice times are \(45,60,75,\ldots\) and \(S_n=2520\) gives (n=16). Exam tip: set the target total equal to \(S_n\).
\(S_{20}=2150\) और (d=5) रखने पर (a=60) मिलता है। परीक्षा में कुल और वृद्धि से प्रथम दिन निकालें। / Using \(S_{20}=2150\) and (d=5) gives (a=60). Exam tip: find the first day from total and increase.
पैकेट \(300,290,280,\ldots\) घटती समान्तर श्रेणी हैं और \(S_{18}=3870\)। परीक्षा में घटती मात्रा में सार्व अंतर ऋणात्मक रखें। / The packets form the decreasing AP \(300,290,280,\ldots\) and \(S_{18}=3870\). Exam tip: keep the common difference negative for decreasing quantities.
सीटों की संख्या एक समान्तर श्रेणी बनाती है, जहाँ प्रथम पद \(a=40\) और सार्वांतर \(d=7\) है। \(n\)वीं पंक्ति में सीटें \(a_n=40+(n-1)\times 7\) होंगी। \(40+(n-1)\times 7=187\) से \(7(n-1)=147\), अतः \(n-1=21\) और \(n=22\)। इसलिए 22वीं पंक्ति में 187 सीटें होंगी। 24वीं पंक्ति में सीटें \(40+23\times7=201\) होंगी, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पंक्ति संख्या के प्रश्न में \(a_n=a+(n-1)d\) में दी गई संख्या को \(a_n\) के बराबर रखें। / The number of seats forms an arithmetic progression with first term \(a=40\) and common difference \(d=7\). The number of seats in the \(n\)th row is \(a_n=40+(n-1)\times 7\). Setting this equal to 187 gives \(40+(n-1)\times 7=187\), so \(7(n-1)=147\), \(n-1=21\), and \(n=22\). Thus, the 22nd row has 187 seats. The 24th row would have \(40+23\times7=201\) seats, so it is not correct. Exam tip: in row-number AP questions, equate the given value to \(a_n=a+(n-1)d\).
