Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कार्तीय गुणनफल में पहले समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है। इसलिए \(|B\times A|=|B|\times|A|=4\times2=8\)। विकल्प 16 लेने पर प्रायः \(4\times4\) जैसी गलत गणना होती है, जबकि दूसरे समुच्चय में केवल 2 अवयव हैं। परीक्षा-युक्ति: \(|X\times Y|=|X||Y|\) सूत्र याद रखें; क्रम बदलने पर युग्म बदल सकते हैं, पर उनकी संख्या समान रहती है। / In a Cartesian product, each element of the first set is paired with every element of the second set. Hence, \(|B\times A|=|B|\times|A|=4\times2=8\). Choosing 16 usually results from incorrectly using \(4\times4\), even though the second set has only 2 elements. Exam tip: use \(|X\times Y|=|X||Y|\); reversing the order may change the pairs, but not their total number.
शर्त \(a+b=9\) से \(b=9-a\) प्राप्त होता है। \(a=1,2,3,4,5\) के लिए क्रमशः \(b=8,7,6,5,4\) मिलते हैं। इनमें केवल \((3,6)\) और \((5,4)\) में पहला अवयव \(A\) तथा दूसरा अवयव \(B\) का सदस्य है। इसलिए ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या 2 है। परीक्षा-युक्ति: हर \(a\) के लिए \(b=9-a\) निकालकर जाँचें कि \(b\in B\) है या नहीं। / From \(a+b=9\), we get \(b=9-a\). For \(a=1,2,3,4,5\), the corresponding values of \(b\) are \(8,7,6,5,4\), respectively. Only \((3,6)\) and \((5,4)\) have the first component in \(A\) and the second component in \(B\). Hence, the number of required ordered pairs is 2. Exam tip: For each \(a\in A\), calculate \(b=9-a\) and check whether \(b\in B\).
(a=2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (3,3,1) मान मिलते हैं, कुल (7)। विभाज्यता में प्रत्येक भाजक अलग जाँचें। / For (a=2,3,4), the counts of (b) are (3,3,1), totaling (7). Check each divisor separately.
\(|A\times B|=20\), इसलिए ठीक (2) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{20}{2}=190\) हैं। ठीक संख्या पूछी हो तो संयोजन लगाएँ। / Since \(|A\times B|=20\), the number of ways to choose exactly (2) pairs is \(\binom{20}{2}=190\). Use combinations for exact-size subsets.
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है और \(|A\times B|=15\), इसलिए संख्या \(2^{15}=32768\) है। संबंधों की संख्या के लिए (2) की घात लगती है। / A relation is a subset of \(A\times B\), and \(|A\times B|=15\), so the number is \(2^{15}=32768\). Number of relations uses a power of (2).
पहले संघ ज्ञात करें: \(B\cup C=\{2,4,6,8\}\), जिसमें 4 अवयव हैं। \(A\) में भी 4 अवयव हैं। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times D|=|A|\cdot|D|\) होता है, इसलिए \(|A\times(B\cup C)|=4\times4=16\)। परीक्षा में पहले संघ या प्रतिच्छेद में दोहराए गए अवयवों को केवल एक बार गिनना याद रखें। / First find the union: \(B\cup C=\{2,4,6,8\}\), which has 4 elements. Set \(A\) also has 4 elements. For a Cartesian product, \(|A\times D|=|A|\cdot|D|\), so \(|A\times(B\cup C)|=4\times4=16\). As an exam tip, count repeated elements in a union only once before multiplying cardinalities.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(B\cap C=\{2,4\}\), इसलिए \(|B\cap C|=2\)। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times(B\cap C)|=|A|\cdot|B\cap C|=3\cdot2=6\)। अतः सही उत्तर 6 है। विकल्प 9 लेने पर प्रतिच्छेद में तीन अवयव मान लिए जाते हैं, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(|X\times Y|=|X||Y|\) का प्रयोग करने से पहले प्रतिच्छेद या संघ के अवयवों की संख्या निकालें। / First find the intersection: \(B\cap C=\{2,4\}\), so \(|B\cap C|=2\). For a Cartesian product, \(|A\times(B\cap C)|=|A|\cdot|B\cap C|=3\cdot2=6\). Therefore, the correct answer is 6. Choosing 9 incorrectly treats the intersection as having three elements. Exam tip: determine the cardinality of the resulting set before applying \(|X\times Y|=|X||Y|\).
प्रत्येक a ∈ A के लिए b = 3a जाँचते हैं। a = 1, 2, 3, 4 के लिए क्रमशः b = 3, 6, 9, 12 प्राप्त होते हैं, और ये सभी B में हैं। a = 5 के लिए b = 15 मिलता है, जो B में नहीं है। इसलिए युग्म हैं (1, 3), (2, 6), (3, 9) और (4, 12), अर्थात कुल 4 युग्म। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में केवल वे a मान गिनें जिनके लिए 3a, B का सदस्य हो। / For each a ∈ A, evaluate b = 3a. For a = 1, 2, 3, and 4, the corresponding values of b are 3, 6, 9, and 12, all of which belong to B. For a = 5, b = 15, which is not in B. Thus the valid ordered pairs are (1, 3), (2, 6), (3, 9), and (4, 12), giving a total of 4 pairs. Exam tip: Count only those values of a for which 3a is an element of B.
समीकरण \(a-2b=1\) से \(a=2b+1\) प्राप्त होता है। \(b\) के मान \(0,1,2,3\) रखने पर क्रमशः \(a=1,3,5,7\) मिलते हैं, और ये सभी \(A\) में हैं। इसलिए युग्म \((1,0),(3,1),(5,2),(7,3)\) हैं तथा कुल 4 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले छोटे समुच्चय के प्रत्येक मान को समीकरण में रखकर जाँच करें कि प्राप्त मान दूसरे समुच्चय में है या नहीं। / From \(a-2b=1\), we get \(a=2b+1\). Substituting \(b=0,1,2,3\) gives \(a=1,3,5,7\), respectively, and all these values belong to \(A\). Thus the valid ordered pairs are \((1,0),(3,1),(5,2),(7,3)\), giving a total of 4 pairs. Exam tip: test every value of one set in the equation and retain only those for which the resulting value belongs to the other set.
(a=1,2,3,4,5) के लिए (b) के (6,3,2,1,1) मान हैं, कुल (13)। हर (a) के गुणज (B) में गिनें। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of (b) are (6,3,2,1,1), totaling (13). Count multiples of each (a) inside (B).
यहाँ \(|A|=4\) है। कार्तीय गुणनफल के लिए \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\), इसलिए \(28=4\cdot|B|\) और \(|B|=28/4=7\)। अतः सही उत्तर 7 है। परीक्षा में याद रखें कि दो सीमित समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या उनके कार्डिनलिटी के गुणनफल के बराबर होती है। / Here, \(|A|=4\). For the Cartesian product, \(|A\times B|=|A|\cdot|B|\). Thus, \(28=4\cdot|B|\), giving \(|B|=28/4=7\). Therefore, the correct answer is 7. Exam tip: the number of ordered pairs in a Cartesian product equals the product of the cardinalities of the two sets.
शर्त से ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) मिलते हैं, इसलिए (4) अवयव हैं। संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / The condition gives ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)), so there are (4) elements. A relation is a subset of \(A\times B\).
शर्त \(a+b=11\) से \(b=11-a\) प्राप्त होता है। \(a\in A\) के लिए जाँच करने पर मान्य युग्म \((1,10),(3,8),(5,6)\) मिलते हैं; इन सभी में दूसरा अवयव \(B\) में है। इसलिए कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: योग विषम होने पर, यहाँ \(B\) के सभी अवयव सम होने के कारण \(a\) विषम होना चाहिए—इससे केवल \(1,3,5\) जाँचने पड़ते हैं। / From \(a+b=11\), we get \(b=11-a\). Checking the elements of \(A\), the valid ordered pairs are \((1,10),(3,8),(5,6)\), and each second component belongs to \(B\). Thus, there are 3 pairs. Exam tip: Since 11 is odd and every element of \(B\) is even, \(a\) must be odd; therefore, only \(1,3,5\) need to be checked.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के (4,3,2,1) मान मिलते हैं, कुल (10)। \(\le\) में बराबरी शामिल होती है। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (4,3,2,1), totaling (10). The symbol \(\le\) includes equality.
दो संख्याओं का योग 2 से तभी विभाज्य होता है जब दोनों की समता समान हो—अर्थात दोनों सम या दोनों विषम हों। सम संख्याएँ: \(A\) में 3 और \(B\) में 2, इसलिए \(3\times2=6\) युग्म। विषम संख्याएँ भी दोनों समुच्चयों में क्रमशः 3 और 2 हैं, इसलिए \(3\times2=6\) युग्म। कुल \(6+6=12\), अतः सही विकल्प B है। विषम-सम या सम-विषम युग्मों का योग विषम होगा। परीक्षा-युक्ति: विभाज्यता के ऐसे प्रश्नों में पहले सम और विषम अवयवों की संख्या अलग-अलग गिनें। / The sum of two integers is divisible by 2 exactly when both integers have the same parity—both even or both odd. There are 3 even elements in \(A\) and 2 in \(B\), giving \(3\times2=6\) pairs. Similarly, there are 3 odd elements in \(A\) and 2 in \(B\), giving another \(3\times2=6\) pairs. Thus, the total is \(6+6=12\), so option B is correct. Mixed-parity pairs have an odd sum and must not be counted. Exam tip: For parity-based counting, first separate the elements of each set into even and odd groups.
(a=1,2,3,4) के लिए (b) के क्रमशः (3,2,1,0) मान मिलते हैं, कुल (6)। शर्त को हर पहले अवयव पर लगाएँ। / For (a=1,2,3,4), the counts of (b) are (3,2,1,0), totaling (6). Apply the condition to each first component.
