Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कार्तीय गुणनफल \(A\times A\) में पहले घटक के लिए 3 और दूसरे घटक के लिए भी 3 विकल्प होते हैं। इसलिए \(|A\times A|=|A|\times|A|=3\times3=9\)। 6 लेने पर कुछ क्रमित युग्म छूट जाते हैं; क्रमित युग्मों में \((1,2)\) और \((2,1)\) अलग होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(|A\times B|=|A|\,|B|\) का सूत्र याद रखें। / In the Cartesian product \(A\times A\), there are 3 choices for the first component and 3 choices for the second component. Hence, \(|A\times A|=|A|\times|A|=3\times3=9\). The value 6 misses some ordered pairs; for example, \((1,2)\) and \((2,1)\) are distinct. Exam tip: Remember the formula \(|A\times B|=|A|\,|B|\).
समुच्चय \\(A\\) में 2 अवयव हैं। इसलिए \\(A\\times A\\) में क्रमित युग्मों की संख्या \\(n(A)\\times n(A)=2\\times2=4\\) होगी। ये युग्म \\( (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\\) हैं। अतः सही उत्तर 4 है। परीक्षा-युक्ति: यदि \\(n(A)=n\\), तो \\(n(A\\times A)=n^2\\) होता है। / The set \\(A\\) has 2 elements. Therefore, the number of ordered pairs in \\(A\\times A\\) is \\(n(A)\\times n(A)=2\\times2=4\\). The pairs are \\( (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\\). Hence, 4 is correct. Exam tip: If \\(n(A)=n\\), then \\(n(A\\times A)=n^2\\).
कार्तीय गुणनफल 8A\times A9 में ऐसे सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं जिनके दोनों घटक 8A9 में हों। यहाँ 8A\times A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}9 है, इसलिए 8(2,1)9 सही है। अन्य विकल्पों में 3 है, जो 8A9 का सदस्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: 8A\times A9 में प्रत्येक स्थान पर केवल 8A9 के तत्व रखे जा सकते हैं। / The Cartesian product 8A\times A9 contains all ordered pairs whose two components belong to 8A9. Here, 8A\times A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}9, so 8(2,1)9 is correct. Every other option contains 3, which is not an element of 8A9. Exam tip: In 8A\times A9, both positions must be filled only with elements of 8A9.
A से B में कोई भी संबंध A×B का उपसमुच्चय होता है, क्योंकि उसके प्रत्येक क्रमित युग्म का पहला अवयव A में और दूसरा अवयव B में होता है। फलन ऐसा विशेष संबंध है जिसमें A के प्रत्येक अवयव का B में ठीक एक प्रतिबिंब होता है। इसलिए f⊆A×B। परीक्षा-युक्ति: A से B के फलन में क्रम हमेशा domain से codomain की ओर होता है, इसलिए A×B चुनें, B×A नहीं। / Any relation from A to B is a subset of A×B because the first element of each ordered pair belongs to A and the second belongs to B. A function is a special relation in which every element of A has exactly one image in B. Hence, f⊆A×B. Exam tip: For a function from A to B, the order is domain first and codomain second, so choose A×B rather than B×A.
कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में \(A\) के प्रत्येक अवयव को \(B\) के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है। इसलिए \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=2\times3=6\)। विकल्प 3 केवल \(B\) के अवयवों की संख्या है और विकल्प 2 केवल \(A\) के अवयवों की संख्या, इसलिए वे क्रमित युग्मों की कुल संख्या नहीं बताते। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की संख्या के लिए दोनों समुच्चयों की संख्याएँ गुणा करें। / In the Cartesian product \(A\times B\), each element of \(A\) is paired with every element of \(B\). Hence, \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=2\times3=6\). Option 3 is only the number of elements in \(B\), and option 2 is only the number of elements in \(A\); neither gives the total number of ordered pairs. Exam tip: multiply the cardinalities of the two sets to find the size of their Cartesian product.
\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। क्रमित युग्म में क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। / In \(A\times B\), the first element comes from (A) and the second from (B). Order is very important in ordered pairs.
योग सम तब होगा जब दोनों घटक सम हों या दोनों विषम हों। यहां सही युग्म ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)) हैं। / The sum is even when both components are even or both are odd. Here the valid pairs are ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)).
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से होना चाहिए। इसलिए ((1,4)) सही है। / In \(B\times A\), the first element must be from (B) and the second from (A). Hence ((1,4)) is correct.
सही युग्म ((1,2)) और ((2,1)) हैं। ध्यान रखें कि दोनों क्रमित युग्म अलग माने जाते हैं। / The valid pairs are ((1,2)) and ((2,1)). Remember that these two ordered pairs are considered different.
A. क्योंकि \(1\in A\) और \(y\in B\)/because \(1\in A\) and \(y\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\((1,y)\in A\times B\) तभी होगा जब \(1\in A\) और \(y\in B\) हो। सदस्यता जांच में क्रम न बदलें। / \((1,y)\in A\times B\) only when \(1\in A\) and \(y\in B\). Do not reverse order while checking membership.
