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A. स्थिर धनात्मक फलन (2)/Constant positive function (2)
Explanation
Simple Explanation
फलनों के अंतर के लिए (g − f)(x) = g(x) − f(x) = (x² + 1) − (x² − 1) = 2। यहाँ x² वाले पद आपस में कट जाते हैं, इसलिए परिणाम हर x के लिए 2 रहता है और यह एक स्थिर धनात्मक फलन है। विकल्प B में चिह्न गलत है, जबकि विकल्प C में घटाने के बजाय पदों को जोड़ दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: (g − f)(x) में पहले दूसरे फलन से पहले फलन को घटाएँ और कोष्ठक खोलते समय ऋण चिह्न का ध्यान रखें। / For the difference of two functions, (g − f)(x) = g(x) − f(x) = (x² + 1) − (x² − 1) = 2. The x² terms cancel, so the result remains 2 for every x; hence it is a constant positive function. Option B has the wrong sign, while option C results from adding rather than subtracting the functions. Exam tip: In (g − f)(x), subtract the entire first function from the second and change the signs inside its parentheses carefully.
(f(1)=1) और (g(1)=-1), इसलिए योग (0) है। मूल्य निकालने से पहले (x=1) प्रांत में है या नहीं, यह देखें। / (f(1)=1) and (g(1)=-1), so the sum is (0). Before evaluating, check whether (x=1) lies in the domain.
समान हर ((x-2)(x+2)) लेने पर अंश (2x-(x+2)=x-2) होगा, इसलिए \(\frac{1}{x+2}\) पर \(x\ne\pm2\)। सही सरलीकरण विकल्प (C) है। / With common denominator ((x-2)(x+2)), numerator is (2x-(x+2)=x-2), so the form is \(\frac{1}{x+2}\) with \(x\ne\pm2\). Thus option (C) is the simplification.
(\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)})। इसलिए सरल रूप \(\frac{1}{x+2}\) है, पर \(x=\pm2\) हटे रहेंगे। / (\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}). Hence the simplified form is \(\frac{1}{x+2}\), but \(x=\pm2\) remain excluded.
((fg)(x)=|x|x-2) और ((fg)(-x)=|x|x-2), इसलिए यह सम फलन है। सम फलनों का गुणनफल सम रहता है। / ((fg)(x)=|x|x-2) and ((fg)(-x)=|x|x-2), so it is even. The product of even functions remains even.
((f+g)(x)=2x-2), जो सम फलन है। अलग-अलग फलन सम या विषम न हों, फिर भी योग सम बन सकता है। / ((f+g)(x)=2x-2), which is an even function. Even if individual functions are not even or odd, their sum may become even.
((f-g)(x)=6x), जो विषम फलन है। घटाव में समान घात वाले पद कट सकते हैं और प्रकृति बदल सकती है। / ((f-g)(x)=6x), which is an odd function. In subtraction, like-degree terms may cancel and change the nature.
((fg)(x)=\frac{1}{x-3}), जिसका मान (-x) पर ऋणात्मक बदल जाता है। इसलिए यह विषम है और \(x\ne0\) प्रांत है। / ((fg)(x)=\frac{1}{x-3}), whose value changes sign at (-x). Thus it is odd with domain \(x\ne0\).
\(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\)। मूल फलनों के कारण \(x\ne0,-1\) रहेगा। / \(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\). Because of the original functions, \(x\ne0,-1\) remains.
फलनों के रैखिक संयोजन में (3f-2g)(x)=3f(x)-2g(x)। अतः 3\(2x^2-1\)-2\(x^2+2\)=6x-2-3-2x-2-4=4x-2-7। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प C में स्थिर पद का चिह्न गलत हो जाता है। परीक्षा में ऋण चिह्न वाले पूरे कोष्ठक को सावधानी से खोलें। / For a linear combination of functions, (3f-2g)(x)=3f(x)-2g(x). Therefore, 3\(2x^2-1\)-2\(x^2+2\)=6x-2-3-2x-2-4=4x-2-7. Hence, option A is correct. Option C results from mishandling the constant term while subtracting 2g(x). In the exam, expand the entire second bracket carefully when a minus sign precedes it.
