Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
इकाई स्थान पर (2) या (4) के लिए (2) विकल्प हैं और बाकी स्थानों के लिए \(4 \times 3 \times 2\) तरीके हैं। परीक्षा में अंतिम स्थान की शर्त पहले लगाएँ। / There are (2) choices for the units digit and \(4 \times 3 \times 2\) ways for the remaining places. In exams apply the last digit condition first.
इकाई स्थान (0) होने पर \(5 \times 4 \times 3 \times 2\) और इकाई (5) होने पर पहले स्थान के लिए (4) विकल्प मिलते हैं। दोनों मामलों को जोड़ना मुख्य कदम है। / If the units digit is (0), there are \(5 \times 4 \times 3 \times 2\) ways; if it is (5), the first digit has (4) choices. Add the two cases carefully.
किसी विद्यालय के प्रवेश कूट में पहले (2) अलग अक्षर और फिर (3) अलग अंक लिखे जाते हैं। यदि अक्षर (A,B,C,D,E) से और अंक (1,2,3,4,5,6) से चुने जाएँ तो कुल कितने कूट बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(5 \times 4\) और अंकों के लिए \(6 \times 5 \times 4\) तरीके हैं। स्वतंत्र चरणों को गुणा करना मौलिक सिद्धांत है। / Letters can be chosen in \(5 \times 4\) ways and digits in \(6 \times 5 \times 4\) ways. Multiply independent stages by the fundamental principle.
कुल (6!) क्रमों से उन क्रमों को घटाएँ जिनमें (A,I) साथ हों। साथ-साथ वाली शर्त में ब्लॉक बनाना उपयोगी है। / Subtract arrangements where (A,I) are together from total (6!). Treat together letters as one block for such conditions.
पहले (2) और (4) सहित (4) अंक चुनें और उनके आधे क्रमों में (4), (2) के बाएँ होगा। सममिति का उपयोग ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है। / Choose (4) digits including (2) and (4), and in half of their arrangements (4) is left of (2). Symmetry saves time here.
पद अलग-अलग हैं इसलिए \(7 \times 6 \times 5\) तरीके होंगे। पदों में क्रम महत्वपूर्ण हो तो संयोजन नहीं लगाएँ। / The posts are distinct, so the number of ways is \(7 \times 6 \times 5\). Use arrangements, not combinations, when positions are different.
अंतिम दो अंकों से (4) से विभाज्यता जाँचें और हर सही जोड़े के लिए बाकी (3) स्थान भरें। अंत के दो स्थान पहले तय करें। / Check divisibility by (4) using the last two digits and fill the remaining (3) places for each valid ending pair. Fix the last two places first.
ऊपरी बाएँ से निचले दाएँ कोने तक पहुँचने के लिए 3 दाएँ और 3 नीचे की चालें आवश्यक हैं, अर्थात कुल 6 चालें। इन 6 स्थानों में से 3 स्थानों पर दाएँ चाल चुनने के तरीके \(\binom{6}{3}=20\) हैं; शेष 3 चालें नीचे की होंगी। इसलिए सही उत्तर 20 है। \(24\) प्राप्त करना प्रायः चालों के क्रमों की गलत गणना के कारण होता है। परीक्षा टिप: केवल दाएँ और नीचे वाली जाल-समस्याओं में आवश्यक दाएँ तथा नीचे की चालों को मिलाकर संयोजन लगाएँ। / To reach the bottom-right corner, 3 right moves and 3 down moves are required, making 6 moves in all. The number of ways to choose the 3 positions for the right moves is \(\binom{6}{3}=20\); the remaining 3 positions are down moves. Therefore, the correct answer is 20. The option 24 can result from incorrectly counting move orders. Exam tip: for right-and-down grid paths, use combinations of the required right and down moves.
कुल \(^{9}P_{4}\) से उन व्यवस्थाओं को घटाएँ जिनमें दोनों निश्चित व्यक्ति साथ हों। साथ आने पर उन्हें ब्लॉक मानें। / Subtract arrangements where the two particular persons are together from \(^{9}P_{4}\). Treat the pair as a block when they are together.
एक पुस्तक शेल्फ में (4) अलग गणित, (3) अलग रसायन और (2) अलग जीवविज्ञान की पुस्तकें हैं। यदि हर विषय की पुस्तकें साथ-साथ रखनी हों तो कुल व्यवस्थाएँ कितनी होंगी?
तीन विषयों के ब्लॉक (3!) तरीकों से और ब्लॉकों के भीतर पुस्तकें (4!3!2!) तरीकों से सजेंगी। साथ रखने में ब्लॉक विधि लगाएँ। / The three subject blocks can be arranged in (3!) ways and books inside blocks in (4!3!2!) ways. Use the block method for together conditions.
कुल (6) अक्षर हैं और (O) दो बार आया है, इसलिए संख्या \(\frac{6!}{2!}\) होगी। समान अक्षरों पर विभाजन करना न भूलें। / There are (6) letters with (O) repeated twice, so the count is \(\frac{6!}{2!}\). Do not forget to divide by repeated letters.
पहले गणित की पुस्तकें (4!) तरीकों से रखें और बने (5) खाली स्थानों में (3) अंग्रेजी पुस्तकें क्रम सहित रखें। अलग-अलग रखने में खाली स्थान विधि उपयोगी है। / First arrange the mathematics books in (4!) ways, then place the (3) English books in (5) gaps with order. The gap method is useful for separation restrictions.
(A) के साथ (C,D,E,F) में से (3) अक्षर चुनें और (4!) क्रम लगाएँ। शामिल और बाहर वाली शर्तों को पहले लागू करें। / Choose (3) letters from (C,D,E,F) along with (A), then arrange the (4) letters in (4!) ways. Apply inclusion and exclusion restrictions first.
अलग पुरस्कारों के लिए क्रमशः (7,6,5) विकल्प हैं। अलग पुरस्कारों में क्रम का महत्व होता है। / The distinct prizes have (7,6,5) choices respectively. Order matters when prizes are different.
दो निश्चित अक्षरों के स्थान ((1,4)) या ((2,5)) हो सकते हैं और उनका आपसी क्रम (2!) तरीकों से होगा। शेष (3) अक्षर (3!) तरीकों से सजेंगे। / The two particular letters can occupy positions ((1,4)) or ((2,5)), and their internal order has (2!) ways. The remaining (3) letters are arranged in (3!) ways.
