Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=153\), यानी \(n(n-1)=306\)। क्योंकि \(18\times17=306\), इसलिए \(n=18\) है। विकल्प 17 सही नहीं है, क्योंकि \(\binom{17}{2}=136\) होता है। परीक्षा टिप: संयोजन के ऐसे प्रश्नों में पहले \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) लिखकर क्रमागत संख्याओं का गुणनफल जाँचें। / \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Hence, \(\frac{n(n-1)}{2}=153\), so \(n(n-1)=306\). Since \(18\times17=306\), \(n=18\). Option 17 is not correct because \(\binom{17}{2}=136\). Exam tip: For such questions, first use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) and look for consecutive integers whose product matches the result.
संयोजन का गुणधर्म है कि \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। यहाँ \(\binom{n}{6}=\binom{n}{10}\) होने के लिए 6 और 10, \(n\) के सापेक्ष पूरक होने चाहिए। अतः \(n-6=10\), इसलिए \(n=16\)। विकल्प 14 में \(14-6=8\) होता है, इसलिए वह समानता नहीं देता। परीक्षा टिप: जब \(\binom{n}{r}=\binom{n}{s}\) और \(r\ne s\) हो, तो सामान्यतः \(r+s=n\) का उपयोग करें। / Use the identity \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). For \(\binom{n}{6}=\binom{n}{10}\), 6 and 10 must be complementary with respect to \(n\). Thus, \(n-6=10\), giving \(n=16\). For option 14, \(14-6=8\), so it does not give the stated equality. Exam tip: when \(\binom{n}{r}=\binom{n}{s}\) and \(r\ne s\), usually use \(r+s=n\).
एक समूह में n भिन्न वस्तुएँ हैं। उनमें से r वस्तुओं का चयन करते समय यदि एक निश्चित वस्तु का चयन अनिवार्य हो, तो चयन की संख्या किस व्यंजक से दर्शाई जाएगी?
निश्चित वस्तु पहले ही चुनी जा चुकी है। इसलिए शेष n−1 वस्तुओं में से केवल r−1 वस्तुएँ चुननी होती हैं, अतः संख्या \(\binom{n-1}{r-1}\) है। \(\binom{n-1}{r}\) में निश्चित वस्तु शामिल नहीं मानी जाती। परीक्षा टिप: ‘अनिवार्य’ वस्तु को पहले चुनें। / The specified object is already fixed in the selection. Thus, choose the remaining r−1 objects from the other n−1 objects, giving \(\binom{n-1}{r-1}\). \(\binom{n-1}{r}\) instead excludes the specified object. Exam tip: fix every compulsory object first.
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{13}{6}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{13}{6}\).
पास्कल के सर्वसमिका के अनुसार \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\)। अतः \(\binom{14}{7}-\binom{13}{7}=\binom{13}{6}=1716\)। इसलिए सही विकल्प B है। \(3432\), \(\binom{14}{7}\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर वाले प्रश्नों में सीधे पास्कल की सर्वसमिका लगाकर गणना कम करें। / Using Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\). Therefore, \(\binom{14}{7}-\binom{13}{7}=\binom{13}{6}=1716\). Hence, option B is correct. The value \(3432\) is \(\binom{14}{7}\), not the difference. Exam tip: For differences of adjacent binomial coefficients, apply Pascal’s identity to avoid lengthy calculation.
(1) और (2) तय हैं तथा (3), (4) हट गए हैं। बाकी (4) तत्व (9) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) है। / The elements (1), (2) are fixed and (3), (4) are excluded. The remaining (4) elements are chosen from (9), so \(\binom{9}{4}=126\).
(1) तय है इसलिए (5) तत्व (11) में से चुनेंगे। (5), (6) दोनों होने पर \(\binom{9}{3}=84\) घटाने से (462-84=378) मिलता है। / The element (1) is fixed so choose (5) elements from (11). Subtracting \(\binom{9}{3}=84\) cases containing both (5), (6) gives (462-84=378).
(4) की (9) गुणज और (27) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{9}{3}\binom{27}{2}=29484\) हैं। / There are (9) multiples of (4) and (27) non-multiples. The ways are \(\binom{9}{3}\binom{27}{2}=29484\).
विषम संख्याएं (15) और सम संख्याएं (15) हैं। तरीके \(\binom{15}{3}\binom{15}{3}=207025\) हैं। / There are (15) odd numbers and (15) even numbers. The ways are \(\binom{15}{3}\binom{15}{3}=207025\).
(6) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (14) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{14}{7}=3432\) तरीके हैं। / After removing (6) special students (14) students remain. Hence there are \(\binom{14}{7}=3432\) ways.
