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सीमा रेखा बनाने के लिए असमानता के चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले रेखा बनाइए। / To get the boundary line, replace the inequality sign by equality. Exam tip: draw the line first.
चिन्ह \(\geq\) में सीमा रेखा भी हल में शामिल होती है। इसलिए सतत रेखा खींची जाती है। / The sign \(\geq\) includes the boundary line in the solution. So a solid line is drawn.
एक चर को (0) रखकर दूसरा अवरोध मिलता है। ग्राफ में दो सही बिंदु काफी होते हैं। / Put one variable as (0) to get the other intercept. Two correct points are enough for drawing the line.
B. रेखा के नीचे या रेखा सहित/below the line including the line
Explanation
Simple Explanation
जब \(y\leq\) हो तो रेखा के नीचे वाला भाग लिया जाता है। बराबरी होने से रेखा भी शामिल रहती है। / When \(y\leq\), the region below the line is taken. Equality means the line is also included.
असमानता \(y>-x+2\) में \(y\) का मान रेखा \(y=-x+2\) से अधिक होना चाहिए, इसलिए छायांकन रेखा के ऊपर होगा। ‘>’ एक कठोर असमानता है, अतः सीमा रेखा शामिल नहीं होती और उसे सामान्यतः टूटी हुई रेखा से दिखाया जाता है। नीचे का क्षेत्र \(y<-x+2\) को दर्शाता है। परीक्षा-टिप: किसी बिंदु, जैसे \((0,0)\), को जाँचकर क्षेत्र की पुष्टि की जा सकती है। / In the inequality \(y>-x+2\), the value of \(y\) must be greater than the corresponding value on the line \(y=-x+2\), so the region above the line is shaded. Since ‘>’ is a strict inequality, the boundary line is not included and is usually drawn as a dashed line. The region below the line represents \(y<-x+2\). Exam tip: Test a point, such as \((0,0)\), to confirm the correct region.
B. रेखा (x=2) के दाएँ और रेखा सहित/right of (x=2) including the line
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 2\) में (x) का मान (2) या उससे अधिक है। इसलिए दाईं ओर का क्षेत्र चुना जाता है। / In \(x\geq 2\), (x) is (2) or more. So the region to the right is chosen.
(3(2)+2(3)=12), इसलिए यह सीमा रेखा पर है। रेखा के बिंदु बराबरी को संतुष्ट करते हैं। / (3(2)+2(3)=12), so it lies on the boundary line. Points on the line satisfy equality.
चिन्ह \(\leq\) में बराबरी शामिल होती है। इसलिए सीमा रेखा भी हल का भाग है। / The sign \(\leq\) includes equality. Hence the boundary line is part of the solution.
असमानता (x-y<1) एक कठोर असमानता है, इसलिए इसमें बराबरी का मामला शामिल नहीं होता। इसकी सीमा रेखा x-y=1 होगी, लेकिन इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए x-y=1 होता है, जो 1 से छोटा नहीं है। अतः सीमा रेखा हल में शामिल नहीं होगी और ग्राफ में इसे सामान्यतः टूटी हुई रेखा से दिखाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: < या > के लिए टूटी रेखा, जबकि ≤ या ≥ के लिए ठोस रेखा बनती है। / The inequality (x-y<1) is strict, so equality is not included. Its boundary line is x-y=1; every point on this line gives x-y=1, which is not less than 1. Therefore, the boundary line is excluded from the solution and is usually drawn as a dashed line. Exam tip: use a dashed line for < or >, and a solid line for ≤ or ≥.
(y=0) रखने पर (x=3), और (x=0) रखने पर (y=2) मिलता है। अवरोध ग्राफ खींचने में मदद करते हैं। / Putting (y=0) gives (x=3), and putting (x=0) gives (y=2). Intercepts help in drawing the graph.
(4(5)+0=20), जो (16) से अधिक है। इसलिए बिंदु हल क्षेत्र में नहीं है। / (4(5)+0=20), which is greater than (16). Therefore the point is not in the solution region.
(2+2(3)=8), इसलिए बिंदु सीमा रेखा पर है और हल में शामिल है। \(\geq\) में सीमा रेखा भी आती है। / (2+2(3)=8), so the point is on the boundary line and included. The sign \(\geq\) includes the boundary line.
B. रेखा के ऊपर और रेखा सहित/above the line including the line
Explanation
Simple Explanation
\(y\geq\) होने पर ऊपर का क्षेत्र लिया जाता है। बराबरी के कारण रेखा भी शामिल है। / For \(y\geq\), the region above the line is taken. Equality includes the line too.
B. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
(0+0=0), इसलिए मूल बिंदु सीमा रेखा पर है। \(\geq\) होने से यह हल में भी है। / (0+0=0), so the origin lies on the boundary line. Since it is \(\geq\), it is also in the solution.
समीकरण \(x-2y=4\) में \(y=0\) रखने पर \(x=4\), इसलिए बिंदु \((4,0)\) मिलता है। इसी प्रकार \(x=0\) रखने पर \(-2y=4\), अतः \(y=-2\) और बिंदु \((0,-2)\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। अन्य विकल्पों के बिंदु समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: रेखा बनाने के लिए समीकरण में क्रमशः \(x=0\) और \(y=0\) रखकर दोनों अक्ष-अवरोध ज्ञात करें। / For the equation \(x-2y=4\), putting \(y=0\) gives \(x=4\), so \((4,0)\) lies on the line. Putting \(x=0\) gives \(-2y=4\), hence \(y=-2\), so \((0,-2)\) also lies on it. Therefore, option A is correct. The points in the other options do not satisfy the equation. Exam tip: To obtain two convenient points for a line, set \(x=0\) and \(y=0\) successively to find the intercepts.
C. प्रथम चतुर्थांश और अक्षों सहित/first quadrant including axes
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) और \(y\geq 0\) दोनों प्रथम चतुर्थांश को दर्शाते हैं। बराबरी से अक्ष भी शामिल होते हैं। / Both \(x\geq 0\) and \(y\geq 0\) represent the first quadrant. Equality includes the axes too.
\(x\leq 5\) में (x=5) ऊर्ध्वाधर सीमा रेखा है। इसके बाईं ओर हल क्षेत्र होता है। / In \(x\leq 5\), (x=5) is the vertical boundary line. The solution region lies to its left.
\(y\geq -4\) की सीमा क्षैतिज रेखा (y=-4) है। \(\geq\) होने से ऊपर का भाग लिया जाता है। / The boundary of \(y\geq -4\) is the horizontal line (y=-4). Since it is \(\geq\), the region above is taken.
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(x+y\leq 5\) मिलता है। ग्राफ से पहले सरल रूप उपयोगी होता है। / Dividing both sides by (2) gives \(x+y\leq 5\). The simplified form is useful before graphing.
x-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए y=0 होता है। इसलिए 5x+0=20, जिससे x=4 प्राप्त होता है और रेखा x-अक्ष को (4, 0) पर काटती है। अतः सही उत्तर विकल्प C है। ध्यान रखें कि x-अवरोध ज्ञात करने के लिए y का मान शून्य रखा जाता है; 5 केवल x का गुणांक है, अवरोध नहीं। / At every point on the x-axis, y=0. Substituting this in 5x+y=20 gives 5x=20, so x=4; hence the line intersects the x-axis at (4, 0). Therefore, option C is correct. Exam tip: to find the x-intercept, set y equal to zero; 5 is only the coefficient of x, not the intercept.
B. वह हल क्षेत्र नहीं है/it is not solution region
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर \(0\geq 6\) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर छायांकन नहीं होगा। / Substituting the origin gives \(0\geq 6\), which is false. So the origin side is not shaded.
A. दोनों छायांकित क्षेत्रों के प्रतिच्छेद से/intersection of both shaded regions
Explanation
Simple Explanation
दोनों असमानताओं को साथ में संतुष्ट करने वाला क्षेत्र प्रतिच्छेद होता है। परीक्षा में सामान्य छायांकित भाग पहचानें। / The region satisfying both inequalities is their intersection. In exams, identify the common shaded part.
पहले चतुर्थांश में रेखा (x+y=4) अक्षों के साथ त्रिभुज बनाती है। यह बहुत सामान्य परीक्षा पैटर्न है। / In the first quadrant, the line (x+y=4) forms a triangle with the axes. This is a very common exam pattern.
A. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
(0+2(3)=6), इसलिए बिंदु सीमा रेखा पर है। \(\leq\) के कारण यह हल में शामिल है। / (0+2(3)=6), so the point is on the boundary line. Because of \(\leq\), it is included in the solution.
B. सीमा रेखा पर है लेकिन हल में नहीं/on boundary but not in solution
Explanation
Simple Explanation
(0+2(3)=6), लेकिन (<) में बराबरी शामिल नहीं होती। इसलिए यह हल में नहीं है। / (0+2(3)=6), but equality is not included in (<). Therefore it is not in the solution.
सीमा रेखा (y=5-x) है, जिसका ढाल ऋणात्मक है। ग्राफ में रेखा दाईं ओर नीचे जाती है। / The boundary line is (y=5-x), whose slope is negative. On the graph, the line goes down to the right.
\(x-y\leq 2\) से \(-y\leq 2-x\), इसलिए \(y\geq x-2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह बदलता है। / From \(x-y\leq 2\), \(-y\leq 2-x\), so \(y\geq x-2\). The sign changes when dividing by a negative number.
(3(1)+2=5), और \(5\leq 9\) सत्य है। इसलिए यह बिंदु हल क्षेत्र में है। / (3(1)+2=5), and \(5\leq 9\) is true. Hence this point is in the solution region.
B. बाएँ आधे समतल और ऊर्ध्वाधर अक्ष को/left half-plane including vertical axis
Explanation
Simple Explanation
\(x\leq 0\) में (x) शून्य या ऋणात्मक होता है। इसलिए ऊर्ध्वाधर अक्ष सहित बायाँ भाग लिया जाता है। / In \(x\leq 0\), (x) is zero or negative. So the left part including the vertical axis is taken.
A. ऊपरी आधे समतल और क्षैतिज अक्ष को/upper half-plane including horizontal axis
Explanation
Simple Explanation
\(y\geq 0\) में (y) शून्य या धनात्मक है। इसलिए क्षैतिज अक्ष सहित ऊपर का क्षेत्र मिलता है। / In \(y\geq 0\), (y) is zero or positive. So the region above including the horizontal axis is obtained.
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(3x+y\geq 6\) मिलता है। सरल रूप से ग्राफ जल्दी बनता है। / Dividing both sides by (2) gives \(3x+y\geq 6\). A simplified form makes graphing quicker.
A. प्रथम चतुर्थांश में सीमा रेखा के नीचे/in first quadrant below the boundary line
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) और \(y\geq 0\) प्रथम चतुर्थांश देते हैं। \(2x+y\leq 4\) रेखा के नीचे का भाग चुनता है। / \(x\geq 0\) and \(y\geq 0\) give the first quadrant. \(2x+y\leq 4\) selects the part below the line.
किसी बिंदु के हल क्षेत्र में होने के लिए उसके निर्देशांकों को असमानता x+2y>4 में रखने पर परिणाम 4 से बड़ा होना चाहिए। विकल्प D के लिए 1+2(3)=7, और 7>4 है, इसलिए (1,3) हल क्षेत्र में है। विकल्प B में 1+2(1)=3 आता है, जो 4 से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: सख्त असमानता > में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / A point lies in the solution region if substituting its coordinates into x+2y>4 gives a value greater than 4. For option D, 1+2(3)=7, and 7>4, so (1,3) lies in the solution region. For option B, 1+2(1)=3, which is not greater than 4. Exam tip: For the strict inequality >, points on the boundary line are not included.
सीमा रेखा (4x+3y=12) है। (y=0) रखने पर (x=3) और (x=0) रखने पर (y=4) मिलता है। / The boundary line is (4x+3y=12). Putting (y=0) gives (x=3) and putting (x=0) gives (y=4).
\(-3y\geq 6-x\) से \(y\leq \frac{x-6}{3}\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(-3y\geq 6-x\), we get \(y\leq \frac{x-6}{3}\). The inequality sign changes when dividing by a negative number.
A. मूल बिंदु वाली ओर छायांकन होगा/shade the side containing the origin
Explanation
Simple Explanation
\(0\leq \frac{0}{2}+2\) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर हल क्षेत्र होगा। / \(0\leq \frac{0}{2}+2\) is true. So the solution region is on the side containing the origin.
C. यह सीमा रेखा पर है लेकिन हल में नहीं है/it is on the boundary but not in solution
Explanation
Simple Explanation
(2(4)+2=10), इसलिए बिंदु सीमा रेखा पर है। (>) में बराबरी शामिल नहीं होती। / (2(4)+2=10), so the point is on the boundary line. Equality is not included in (>).
B. रेखा (x=1) के दाएँ और (y=2) के ऊपर/right of (x=1) and above (y=2)
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 1\) दाईं ओर और \(y\geq 2\) ऊपर का क्षेत्र देता है। दोनों का सामान्य भाग ही संयुक्त हल है। / \(x\geq 1\) gives the region to the right and \(y\geq 2\) gives the region above. Their common part is the combined solution.
