Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. वे \(x\ne 5\) पर समान हैं/They are equal for \(x\ne 5\)
Step 1
Concept
(f(x)) simplifies to (x+5), but (f) is not defined at (x=5). For equal functions, check both rule and domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. वे \(x\ne 5\) पर समान हैं / They are equal for \(x\ne 5\). (f(x)) simplifies to (x+5), but (f) is not defined at (x=5). For equal functions, check both rule and domain.
Step 3
Exam Tip
(f(x)) सरल होकर (x+5) बनता है, पर (x=5) पर (f) परिभाषित नहीं है। समान फलन के लिए नियम और प्रांत दोनों देखें।
((f-g)(x)=\frac{x+4-(x-2)}{(x-2)(x+4)}=\frac{6}{(x-2)(x+4)}). Keep numerator signs carefully while using a common denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (\frac{6}{(x-2)(x+4)}). ((f-g)(x)=\frac{x+4-(x-2)}{(x-2)(x+4)}=\frac{6}{(x-2)(x+4)}). Keep numerator signs carefully while using a common denominator.
Step 3
Exam Tip
((f-g)(x)=\frac{x+4-(x-2)}{(x-2)(x+4)}=\frac{6}{(x-2)(x+4)})। समान हर बनाते समय अंश के चिन्ह ध्यान से रखें।
((fg)(x)=\left\(x+\frac{3}{x}\right\)\left\(x-\frac{3}{x}\right\)=x-2-\frac{9}{x-2}). Use ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) here.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x^2-\frac{9}{x^2}\), \(x\ne 0\). ((fg)(x)=\left\(x+\frac{3}{x}\right\)\left\(x-\frac{3}{x}\right\)=x-2-\frac{9}{x-2}). Use ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) here.
Step 3
Exam Tip
((fg)(x)=\left\(x+\frac{3}{x}\right\)\left\(x-\frac{3}{x}\right\)=x-2-\frac{9}{x-2})। यहां ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) लगती है।
For (f), \(x^2-16\ne 0\), so \(x\ne -4,4\), and (f(x)\ne 0) always. Hence only (-4) and (4) are excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{-4,4}\). For (f), \(x^2-16\ne 0\), so \(x\ne -4,4\), and (f(x)\ne 0) always. Hence only (-4) and (4) are excluded.
Step 3
Exam Tip
(f) के लिए \(x^2-16\ne 0\), इसलिए \(x\ne -4,4\), और (f(x)\ne 0) हमेशा है। इसलिए केवल (-4) और (4) हटेंगे।
The square root needs \(x+5\ge 0\), and the denominator needs \(x\ne 1\). So the domain is \([-5,\infty\)\setminus{1}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \([-5,\infty\)\setminus{1}). The square root needs \(x+5\ge 0\), and the denominator needs \(x\ne 1\). So the domain is \([-5,\infty\)\setminus{1}).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(x+5\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([-5,\infty\)\setminus{1}) है।
The denominator of (g(x)) is (x-2), so at (x=2), (g) and (f+g) are undefined. In a sum, both functions must be defined.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. अपरिभाषित / Undefined. The denominator of (g(x)) is (x-2), so at (x=2), (g) and (f+g) are undefined. In a sum, both functions must be defined.
Step 3
Exam Tip
(g(x)) में हर (x-2) है, इसलिए (x=2) पर (g) और (f+g) अपरिभाषित हैं। योग में दोनों फलनों का परिभाषित होना जरूरी है।
C. कोई अधिकतम प्राप्त नहीं होता/no maximum is attained
Step 1
Concept
\(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\), so it approaches (1) but never equals (1). Hence no actual maximum is attained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. कोई अधिकतम प्राप्त नहीं होता / no maximum is attained. \(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\), so it approaches (1) but never equals (1). Hence no actual maximum is attained.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\), इसलिए यह (1) के निकट जाता है पर (1) नहीं बनता। अतः वास्तविक अधिकतम प्राप्त नहीं होता।
Using (f-2-g-2=(f-g)(f+g)), we get \(2\cos x\cdot 2\sin x=4\sin x\cos x\). Algebraic identities also apply to trigonometric functions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4\sin x\cos x\). Using (f-2-g-2=(f-g)(f+g)), we get \(2\cos x\cdot 2\sin x=4\sin x\cos x\). Algebraic identities also apply to trigonometric functions.
Step 3
Exam Tip
(f-2-g-2=(f-g)(f+g)) से \(2\cos x\cdot 2\sin x=4\sin x\cos x\)। बीजगणितीय पहचान त्रिकोणमितीय फलनों पर भी लागू होती है।
\(\lfloor\frac{7}{3}\rfloor=2\) and (g\left\(\frac{7}{3}\right\)=\frac{1}{3}), so the value is \(2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\). Find integer and fractional parts separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{8}{3}\). \(\lfloor\frac{7}{3}\rfloor=2\) and (g\left\(\frac{7}{3}\right\)=\frac{1}{3}), so the value is \(2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\). Find integer and fractional parts separately.
Step 3
Exam Tip
\(\lfloor\frac{7}{3}\rfloor=2\) और (g\left\(\frac{7}{3}\right\)=\frac{1}{3}), इसलिए मान \(2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\) है। पूर्णांक और भिन्न भाग अलग निकालें।
In (f), the denominator is zero at (x=-2), so (f) and (f-g) are undefined. Check the original domain before simplification.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. अपरिभाषित / Undefined. In (f), the denominator is zero at (x=-2), so (f) and (f-g) are undefined. Check the original domain before simplification.
Step 3
Exam Tip
(f) में (x=-2) पर हर शून्य है, इसलिए (f) और (f-g) अपरिभाषित हैं। सरलीकरण से पहले मूल प्रांत देखें।
((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-3\)=4), so it is a constant function. In subtraction, change the signs of the second bracket.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्थिर फलन (4) / constant function (4). ((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-3\)=4), so it is a constant function. In subtraction, change the signs of the second bracket.
Step 3
Exam Tip
((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-3\)=4), इसलिए यह स्थिर फलन है। घटाव में दूसरे कोष्ठक के चिन्ह बदलें।
The square root needs \(16-x^2\ge 0\), meaning \(-4\le x\le 4\), and the denominator needs \(x\ne 1\). The domain is the intersection of these conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([-4,4]\setminus{1}\). The square root needs \(16-x^2\ge 0\), meaning \(-4\le x\le 4\), and the denominator needs \(x\ne 1\). The domain is the intersection of these conditions.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(16-x^2\ge 0\), यानी \(-4\le x\le 4\), और हर के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। प्रांत इन शर्तों का प्रतिच्छेद है।
(f=(x+2)2), so \(\frac{f}{g}=x+2\), but (x=-2) is excluded. A cancelled denominator still gives a domain restriction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (x+2), \(x\ne -2\). (f=(x+2)2), so \(\frac{f}{g}=x+2\), but (x=-2) is excluded. A cancelled denominator still gives a domain restriction.
Step 3
Exam Tip
(f=(x+2)2), इसलिए \(\frac{f}{g}=x+2\), पर (x=-2) हटेगा। रद्द हुआ हर भी प्रांत में प्रतिबंध देता है।
With a common denominator, (f-g=\frac{x-2+4-\(x^2-4\)}{x}=\frac{8}{x}). While subtracting the second numerator, both signs change.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{8}{x}\), \(x\ne 0\). With a common denominator, (f-g=\frac{x-2+4-\(x^2-4\)}{x}=\frac{8}{x}). While subtracting the second numerator, both signs change.
Step 3
Exam Tip
समान हर से (f-g=\frac{x-2+4-\(x^2-4\)}{x}=\frac{8}{x})। दूसरे अंश को घटाते समय दोनों चिन्ह बदलते हैं।
This item should be checked by solving ((f-g)(x)=x-2-2x-1). The correct interval is between its two roots, so no listed option is fully suitable.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(x\ne 1\). This item should be checked by solving ((f-g)(x)=x-2-2x-1). The correct interval is between its two roots, so no listed option is fully suitable.
Step 3
Exam Tip
((f-g)(x)=x-2-2x-1), इसलिए यह हमेशा ऋणात्मक नहीं है। सही हल के लिए द्विघात असमता हल करनी होती है।
(\frac{f}{g}=\frac{(x+3)2+1}{(x+3)2+5}), which gives the minimum \(\frac{1}{5}\) at ((x+3)2=0). It is useful to set the common square term as \(t\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{5}\). (\frac{f}{g}=\frac{(x+3)2+1}{(x+3)2+5}), which gives the minimum \(\frac{1}{5}\) at ((x+3)2=0). It is useful to set the common square term as \(t\ge 0\).
Step 3
Exam Tip
(\frac{f}{g}=\frac{(x+3)2+1}{(x+3)2+5}), जो ((x+3)2=0) पर न्यूनतम \(\frac{1}{5}\) देता है। समान वर्ग पद को \(t\ge 0\) मानना उपयोगी है।
For (f), \(x\ne 3\), and (g(x)\ne 0) in the quotient also gives \(x\ne 3\). Hence only (3) is excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{3}\). For (f), \(x\ne 3\), and (g(x)\ne 0) in the quotient also gives \(x\ne 3\). Hence only (3) is excluded.
Step 3
Exam Tip
(f) के लिए \(x\ne 3\) और भागफल में (g(x)\ne 0) भी \(x\ne 3\) देता है। इसलिए केवल (3) हटेगा।
With a common denominator, (h(x)=\frac{x-1+x+1}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). The domain excludes \(x=\pm1\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{2x}{x^2-1}\), \(x\ne \pm1\). With a common denominator, (h(x)=\frac{x-1+x+1}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). The domain excludes \(x=\pm1\).
Step 3
Exam Tip
समान हर से (h(x)=\frac{x-1+x+1}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1})। प्रांत में \(x=\pm1\) हटेंगे।
The product may simplify to (1), but the original functions forbid (x=3) and (x=-3). The domain is decided by original restrictions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\mathbb{R}\setminus{-3,3}\). The product may simplify to (1), but the original functions forbid (x=3) and (x=-3). The domain is decided by original restrictions.
Step 3
Exam Tip
उत्पाद सरल होकर (1) हो सकता है, पर मूल फलनों में (x=3) और (x=-3) निषिद्ध हैं। प्रांत मूल शर्तों से तय होता है।
The square root needs \(x\ge 1\), and the denominator needs \(x\ne 5\). Apply both conditions together.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([1,\infty\)\setminus{5}). The square root needs \(x\ge 1\), and the denominator needs \(x\ne 5\). Apply both conditions together.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल के लिए \(x\ge 1\) और हर के लिए \(x\ne 5\) चाहिए। दोनों शर्तों को साथ लगाएं।
(\frac{f}{g}=\frac{(x-5)2+1}{(x-5)2+5}), which gives \(\frac{1}{5}\) at ((x-5)2=0). Set the common square term as \(t\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{5}\). (\frac{f}{g}=\frac{(x-5)2+1}{(x-5)2+5}), which gives \(\frac{1}{5}\) at ((x-5)2=0). Set the common square term as \(t\ge 0\).
Step 3
Exam Tip
(\frac{f}{g}=\frac{(x-5)2+1}{(x-5)2+5}), जो ((x-5)2=0) पर \(\frac{1}{5}\) देता है। समान वर्ग पद को \(t\ge 0\) रखकर देखें।
