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वास्तविक वर्गमूल के लिए प्रत्येक radicand गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x-2\ge 0\) से \(x\ge 2\), और \(10-2x\ge 0\) से \(x\le 5\) मिलता है। \((f+g)(x)\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों शर्तें एक साथ पूरी हों, अतः डोमेन \([2,5]\) है। सिरों \(x=2\) और \(x=5\) पर एक वर्गमूल शून्य होता है, इसलिए वे शामिल हैं; इसी कारण \((2,5)\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: योगफल का डोमेन संबंधित दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है। / Each square-root radicand must be non-negative for the function to be real. Thus, \(x-2\ge 0\) gives \(x\ge 2\), while \(10-2x\ge 0\) gives \(x\le 5\). The sum \((f+g)(x)\) is defined only when both conditions hold, so its domain is \([2,5]\). The endpoints are included because at \(x=2\) or \(x=5\), one square root is simply zero; therefore \((2,5)\) is incorrect. Exam tip: the domain of a sum is the intersection of the domains of the two functions.
लघुगणक के लिए (x-2>0) और वर्गमूल के लिए \(8-x\ge 0\) चाहिए। इसलिए संयुक्त प्रांत ((2,8]) है। / The logarithm needs (x-2>0), and the square root needs \(8-x\ge 0\). Hence the common domain is ((2,8]).
B. वे \(x\ne 5\) पर समान हैं/They are equal for \(x\ne 5\)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)) सरल होकर (x+5) बनता है, पर (x=5) पर (f) परिभाषित नहीं है। समान फलन के लिए नियम और प्रांत दोनों देखें। / (f(x)) simplifies to (x+5), but (f) is not defined at (x=5). For equal functions, check both rule and domain.
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\(x^2+ax+2\)-\(x^2-2ax+1\)=3ax+1 । इसलिए (f-g)(3)=9a+1=22 , जिससे a=\\frac{7}{3} प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प D है। परीक्षा-युक्ति: फलनों का अंतर निकालते समय दूसरे फलन के प्रत्येक पद के आगे ऋण चिह्न लगाना न भूलें; इसी कारण -2ax घटाने पर +2ax बनता है। / (f-g)(x)=f(x)-g(x)=\(x^2+ax+2\)-\(x^2-2ax+1\)=3ax+1 . Hence, (f-g)(3)=9a+1=22 , giving a=\\frac{7}{3} . Therefore, option D is correct. Exam tip: When subtracting one function from another, change the sign of every term in the second function; thus, subtracting -2ax produces +2ax .
(f(4)=0) और (g(4)=1), इसलिए भागफल (0) है। मान रखने से पहले हर शून्य है या नहीं जांचें। / (f(4)=0) and (g(4)=1), so the quotient is (0). Before substituting, check whether the denominator is zero.
((f-g)(x)=x-2+4x+12=(x+2)2+8), इसलिए न्यूनतम मान (8) है। वर्ग पूर्ण करना ऐसे प्रश्नों में तेज तरीका है। / ((f-g)(x)=x-2+4x+12=(x+2)2+8), so the minimum value is (8). Completing the square is fast for such questions.
((f-g)(x)=\frac{x+4-(x-2)}{(x-2)(x+4)}=\frac{6}{(x-2)(x+4)})। समान हर बनाते समय अंश के चिन्ह ध्यान से रखें। / ((f-g)(x)=\frac{x+4-(x-2)}{(x-2)(x+4)}=\frac{6}{(x-2)(x+4)}). Keep numerator signs carefully while using a common denominator.
\((f-g)(x)=0\) का अर्थ है \(f(x)=g(x)\), अर्थात् \(|x-3|=|x+1|\)। इसलिए \(x\), 3 और −1 से समान दूरी पर होना चाहिए। इन दोनों संख्याओं का मध्यबिंदु \(x=1\) है, अतः सही उत्तर C है। \(x=3\) और \(x=-1\) पर क्रमशः केवल एक फलन का मान शून्य होता है, दोनों बराबर नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|=|x-b|\) में समाधान अक्सर \(a\) और \(b\) का मध्यबिंदु होता है। / The equation \((f-g)(x)=0\) means \(f(x)=g(x)\), so \(|x-3|=|x+1|\). Thus, \(x\) must be equally distant from 3 and −1. Their midpoint is \(x=1\), so option C is correct. At \(x=3\) or \(x=-1\), only one of the two function values is zero; they are not equal. Exam tip: For \(|x-a|=|x-b|\), the solution is generally the midpoint of \(a\) and \(b\).
((fg)(x)=\left\(x+\frac{3}{x}\right\)\left\(x-\frac{3}{x}\right\)=x-2-\frac{9}{x-2})। यहां ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) लगती है। / ((fg)(x)=\left\(x+\frac{3}{x}\right\)\left\(x-\frac{3}{x}\right\)=x-2-\frac{9}{x-2}). Use ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) here.
(f) के लिए \(x^2-16\ne 0\), इसलिए \(x\ne -4,4\), और (f(x)\ne 0) हमेशा है। इसलिए केवल (-4) और (4) हटेंगे। / For (f), \(x^2-16\ne 0\), so \(x\ne -4,4\), and (f(x)\ne 0) always. Hence only (-4) and (4) are excluded.
समान पद जोड़ने पर \(2x^2+x^2=3x^2\), (-3x+x=-2x) और (1-5=-4) मिलता है। पदों को डिग्री के अनुसार जोड़ें। / Adding like terms gives \(2x^2+x^2=3x^2\), (-3x+x=-2x), and (1-5=-4). Combine terms by degree.
वर्गमूल के लिए \(x+5\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([-5,\infty\)\setminus{1}) है। / The square root needs \(x+5\ge 0\), and the denominator needs \(x\ne 1\). So the domain is \([-5,\infty\)\setminus{1}).
((f+g)(x)=x-2-8x+25=(x-4)2+9), इसलिए न्यूनतम मान (9) है। शीर्ष रूप से न्यूनतम तुरंत मिलता है। / ((f+g)(x)=x-2-8x+25=(x-4)2+9), so the minimum value is (9). Vertex form gives the minimum quickly.
(g(x)) में हर (x-2) है, इसलिए (x=2) पर (g) और (f+g) अपरिभाषित हैं। योग में दोनों फलनों का परिभाषित होना जरूरी है। / The denominator of (g(x)) is (x-2), so at (x=2), (g) and (f+g) are undefined. In a sum, both functions must be defined.
फलनों को जोड़ने पर \((f+g)(x)=(x^3-2x)+(x^3+2x)=2x^3\)। अतः \(\frac{f+g}{2}=\frac{2x^3}{2}=x^3\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C केवल \(g(x)\) है, औसत फलन नहीं। परीक्षा में समान घात वाले पदों को पहले जोड़ें और फिर पूरे फलन को 2 से भाग दें। / Adding the functions gives \((f+g)(x)=(x^3-2x)+(x^3+2x)=2x^3\). Therefore, \(\frac{f+g}{2}=\frac{2x^3}{2}=x^3\), so option A is correct. Option C is only \(g(x)\), not the average of the two functions. In an exam, combine like terms first and then divide the entire result by 2.
C. कोई अधिकतम प्राप्त नहीं होता/no maximum is attained
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\), इसलिए यह (1) के निकट जाता है पर (1) नहीं बनता। अतः वास्तविक अधिकतम प्राप्त नहीं होता। / \(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\), so it approaches (1) but never equals (1). Hence no actual maximum is attained.
(f(2)=3(2)-2=4) और (g(2)=2k+4)। अतः ((f+g)(2)=f(2)+g(2)=4+(2k+4)=2k+8)। दिए गए मान से (2k+8=18), इसलिए (2k=10) और (k=5)। परीक्षा-युक्ति: (f+g)(x) में दोनों फलनों के मानों को जोड़कर ही दिए गए (x) पर प्रतिस्थापित करें। / We have (f(2)=3(2)-2=4) and (g(2)=2k+4). Therefore, ((f+g)(2)=f(2)+g(2)=4+(2k+4)=2k+8). Using the given value, (2k+8=18), so (2k=10) and (k=5). Exam tip: For (f+g)(x), add the values of the two functions before evaluating at the specified input.
(f-2-g-2=(f-g)(f+g)) से \(2\cos x\cdot 2\sin x=4\sin x\cos x\)। बीजगणितीय पहचान त्रिकोणमितीय फलनों पर भी लागू होती है। / Using (f-2-g-2=(f-g)(f+g)), we get \(2\cos x\cdot 2\sin x=4\sin x\cos x\). Algebraic identities also apply to trigonometric functions.
योग फलन c((f+g)(x))c का प्रांत, c(fc) और c(gc) के प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। c(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}}c) में मूलांक के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि वर्गमूल हर में है; इसलिए c(x-4>0c), अर्थात c(x>4c)। c(g(x)=x+1c) का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। अतः योग का प्रांत c(\(4,\infty\)c) है। परीक्षा-युक्ति: जब वर्गमूल हर में हो, तो उसके अंदर का व्यंजक c\(\ge 0c\) नहीं, बल्कि c(>0c) होना चाहिए। / The domain of c((f+g)(x))c is the intersection of the domains of c(fc) and c(gc). For c(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}}c), the radicand must be positive because the square root is in the denominator. Hence, c(x-4>0c), so c(x>4c). The function c(g(x)=x+1c) is defined for every real number. Therefore, the domain of the sum is c(\(4,\infty\)c). Exam tip: when a square root appears in a denominator, its radicand must be strictly positive, not merely non-negative.
\((f-g)(x)=[x^2+px+4]-[x^2-px+4]=2px\)। इसलिए \((f-g)(2)=2p\cdot2=4p\)। दिया है कि \(4p=12\), अतः \(p=3\)। विकल्प 4 इसलिए गलत है क्योंकि वह \(4p=16\) देगा। परीक्षा में दो फलनों का अंतर निकालते समय समान पदों को पहले काटना उपयोगी रहता है। / \((f-g)(x)=[x^2+px+4]-[x^2-px+4]=2px\). Hence, \((f-g)(2)=2p\cdot2=4p\). Given \(4p=12\), we get \(p=3\). Option 4 is incorrect because it would give \(4p=16\). Exam tip: simplify the difference of the two functions before substituting the given value of \(x\).
\(\lfloor\frac{7}{3}\rfloor=2\) और (g\left\(\frac{7}{3}\right\)=\frac{1}{3}), इसलिए मान \(2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\) है। पूर्णांक और भिन्न भाग अलग निकालें। / \(\lfloor\frac{7}{3}\rfloor=2\) and (g\left\(\frac{7}{3}\right\)=\frac{1}{3}), so the value is \(2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\). Find integer and fractional parts separately.
((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), इसलिए केवल (x=1) हल है। पूर्ण वर्ग शून्य तभी होता है जब अंदर का पद (0) हो। / ((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), so the only solution is (x=1). A square is zero only when its inside term is (0).
(f) में (x=-2) पर हर शून्य है, इसलिए (f) और (f-g) अपरिभाषित हैं। सरलीकरण से पहले मूल प्रांत देखें। / In (f), the denominator is zero at (x=-2), so (f) and (f-g) are undefined. Check the original domain before simplification.
((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-3\)=4), इसलिए यह स्थिर फलन है। घटाव में दूसरे कोष्ठक के चिन्ह बदलें। / ((f-g)(x)=x-2+1-\(x^2-3\)=4), so it is a constant function. In subtraction, change the signs of the second bracket.
वर्गमूल के लिए \(16-x^2\ge 0\), यानी \(-4\le x\le 4\), और हर के लिए \(x\ne 1\) चाहिए। प्रांत इन शर्तों का प्रतिच्छेद है। / The square root needs \(16-x^2\ge 0\), meaning \(-4\le x\le 4\), and the denominator needs \(x\ne 1\). The domain is the intersection of these conditions.
(f=(x+2)2), इसलिए \(\frac{f}{g}=x+2\), पर (x=-2) हटेगा। रद्द हुआ हर भी प्रांत में प्रतिबंध देता है। / (f=(x+2)2), so \(\frac{f}{g}=x+2\), but (x=-2) is excluded. A cancelled denominator still gives a domain restriction.
((fg)(x)=3x-3), जिसका परास सभी वास्तविक संख्याएं है। विषम घात वाला बहुपद दोनों दिशाओं में जाता है। / ((fg)(x)=3x-3), whose range is all real numbers. An odd-degree polynomial extends in both directions.
पहले \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+2x+5+2x+1=x^2+4x+6\) प्राप्त होता है। अब \(x^2+4x+6=(x^2+4x+4)+2=(x+2)^2+2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में मध्य पद \(-4x\) आएगा, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c\) में वर्ग पूर्ण करते समय \(x\) के गुणांक का आधा लेकर उसका वर्ग जोड़ें और घटाएँ। / First, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+2x+5+2x+1=x^2+4x+6\). Completing the square gives \(x^2+4x+6=(x^2+4x+4)+2=(x+2)^2+2\), so option A is correct. Option B would produce the middle term \(-4x\), not \(+4x\). Exam tip: for \(x^2+bx+c\), take half of the coefficient of \(x\), square it, and add and subtract that value.
समान हर से (f-g=\frac{x-2+4-\(x^2-4\)}{x}=\frac{8}{x})। दूसरे अंश को घटाते समय दोनों चिन्ह बदलते हैं। / With a common denominator, (f-g=\frac{x-2+4-\(x^2-4\)}{x}=\frac{8}{x}). While subtracting the second numerator, both signs change.
((f-g)(x)=x-2-2x-1), इसलिए यह हमेशा ऋणात्मक नहीं है। सही हल के लिए द्विघात असमता हल करनी होती है। / This item should be checked by solving ((f-g)(x)=x-2-2x-1). The correct interval is between its two roots, so no listed option is fully suitable.
(\frac{f}{g}=\frac{(x+3)2+1}{(x+3)2+5}), जो ((x+3)2=0) पर न्यूनतम \(\frac{1}{5}\) देता है। समान वर्ग पद को \(t\ge 0\) मानना उपयोगी है। / (\frac{f}{g}=\frac{(x+3)2+1}{(x+3)2+5}), which gives the minimum \(\frac{1}{5}\) at ((x+3)2=0). It is useful to set the common square term as \(t\ge 0\).
पहले g(x) और h(x) का गुणन करें: g(x)h(x)=(x−2)·1=x−2। इसलिए (f−2gh)(x)=(x²−4x+4)−2(x−2)=x²−4x+4−2x+4=x²−6x+8। अतः विकल्प A सही है। विकल्प D में 2gh के पूरे पद को सही ढंग से घटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: संयुक्त फलनों में गुणन और संख्यात्मक गुणक को पहले व्यवस्थित करके फिर घटाएँ। / First multiply g(x) and h(x): g(x)h(x)=(x−2)·1=x−2. Hence, (f−2gh)(x)=(x²−4x+4)−2(x−2)=x²−4x+4−2x+4=x²−6x+8. Therefore, option A is correct. Option D results from failing to subtract the complete term 2gh correctly. Exam tip: In algebraic combinations of functions, evaluate the product and its numerical coefficient before performing subtraction.
\((f+g)(x)\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों फलन परिभाषित हों। \(\log x\) के लिए \(x>0\) और \(\log(6-x)\) के लिए \(6-x>0\), अर्थात् \(x<6\) होना चाहिए। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(0<x<6\) है, इसलिए प्रांत \((0,6)\) है। विकल्प B में 0 और 6 को शामिल करना गलत है, क्योंकि इन सिरों पर किसी एक लघुगणक का तर्क शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: योग, गुणन या संयुक्त फलन का प्रांत निकालते समय संबंधित सभी फलनों के प्रांतों का प्रतिच्छेद लें। / The sum \((f+g)(x)\) is defined only when both functions are defined. For \(\log x\), we need \(x>0\), and for \(\log(6-x)\), we need \(6-x>0\), or \(x<6\). Their intersection is \(0<x<6\), so the domain is \((0,6)\). Option B is incorrect because 0 and 6 cannot be included: at either endpoint, one logarithm has zero as its argument. Exam tip: For a sum, product, or composition involving several functions, first find the intersection of all required domain conditions.
फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2-5x)+x=x^2-4x=x(x-4)\)। अतः \(x=0\) या \(x=4\) पर यह फलन शून्य होता है, इसलिए सही समुच्चय \(\{0,4\}\) है। विकल्प B केवल \(f(x)\) के शून्यकों \(0\) और \(5\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: फलनों के योग के शून्यक निकालने से पहले दोनों फलनों को जोड़कर प्राप्त व्यंजक का गुणनखंड करें। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2-5x)+x=x^2-4x=x(x-4)\). Thus, the expression is zero when \(x=0\) or \(x=4\), so the correct set is \(\{0,4\}\). Option B gives the zeroes of \(f(x)\) alone, not those of \(f(x)+g(x)\). Exam tip: first form the sum of the functions and then factorise it to find its zeroes.
गुणनफल फलन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। अतः \(f(1)=1^2+2(1)=3\) और \(g(1)=1^2-2(1)=-1\)। इसलिए \((fg)(1)=3\times(-1)=-3\), अतः विकल्प B सही है। विकल्प C केवल तब आता जब योग या किसी अन्य संक्रिया को गलत ढंग से लागू किया जाए। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(a)\) में पहले दोनों फलनों के \(a\) पर मान ज्ञात करके उनका गुणन करें। / For product functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \(f(1)=1^2+2(1)=3\) and \(g(1)=1^2-2(1)=-1\). Therefore, \((fg)(1)=3\times(-1)=-3\), so option B is correct. Option C would result from applying an incorrect operation instead of multiplication. Exam tip: To evaluate \((fg)(a)\), first find \(f(a)\) and \(g(a)\), then multiply them.
(f) के लिए \(x\ne 3\) और भागफल में (g(x)\ne 0) भी \(x\ne 3\) देता है। इसलिए केवल (3) हटेगा। / For (f), \(x\ne 3\), and (g(x)\ne 0) in the quotient also gives \(x\ne 3\). Hence only (3) is excluded.
((f+g)(x)=2|x|), और (x<0) पर यह (-2x) भी होता है। दिए विकल्पों में (2|x|) सामान्य और सही रूप है। / ((f+g)(x)=2|x|), and for (x<0) it is also (-2x). Among the options, (2|x|) is a general correct form.
\(f(2)=\frac{4-9}{2-3}=5\) और \(g(2)=\frac{4-1}{2-1}=3\)। इसलिए \((f-g)(2)=f(2)-g(2)=5-3=2\), अतः विकल्प A सही है। यहाँ \(x=3\) और \(x=1\) पर फलन अपरिभाषित हैं, लेकिन \(x=2\) दोनों फलनों के प्रांत में है। परीक्षा-युक्ति: अंतर फलन का मान निकालते समय पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग ज्ञात करें। / \(f(2)=\frac{4-9}{2-3}=5\) and \(g(2)=\frac{4-1}{2-1}=3\). Therefore, \((f-g)(2)=f(2)-g(2)=5-3=2\), so option A is correct. The functions are undefined at \(x=3\) and \(x=1\), but \(x=2\) belongs to the domain of both functions. Exam tip: For a difference function, evaluate the two functions separately and then subtract.
((f+g)(x)=x-2+2x+1=(x+1)2), इसलिए परास \([0,\infty\)) है। पूर्ण वर्ग का परास अऋण होता है। / ((f+g)(x)=x-2+2x+1=(x+1)2), so the range is \([0,\infty\)). The range of a perfect square is non-negative.
समान हर से (h(x)=\frac{x-1+x+1}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1})। प्रांत में \(x=\pm1\) हटेंगे। / With a common denominator, (h(x)=\frac{x-1+x+1}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). The domain excludes \(x=\pm1\).
(f − g)(x) = [x² + ax + 1] − [x² + bx + 1] = (a − b)x। दिया है कि यह 5x के बराबर है, इसलिए x के गुणांक मिलाने पर a − b = 5। विकल्प B में चिह्न की गलती के कारण −5 आता है। परीक्षा-युक्ति: समान घात वाले पदों को घटाकर उनके गुणांकों की तुलना करें। / (f − g)(x) = [x² + ax + 1] − [x² + bx + 1] = (a − b)x. Since this equals 5x, comparing the coefficients of x gives a − b = 5. Option B results from a sign error. Exam tip: subtract like-powered terms first, then compare their coefficients.
उत्पाद सरल होकर (1) हो सकता है, पर मूल फलनों में (x=3) और (x=-3) निषिद्ध हैं। प्रांत मूल शर्तों से तय होता है। / The product may simplify to (1), but the original functions forbid (x=3) and (x=-3). The domain is decided by original restrictions.
\(\sqrt{x-1}\) के परिभाषित होने के लिए \(x-1\ge 0\), अर्थात् \(x\ge 1\), होना चाहिए। साथ ही, भागफल के हर \(g(x)=x-5\) का शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x\ne 5\)। अतः दोनों शर्तों को मिलाने पर प्रांत \([1,\infty)\setminus\{5\}\) मिलता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=1\) पर वर्गमूल \(0\) है और फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: भागफल फलन के प्रांत में अंश और हर दोनों के प्रांतों का प्रतिच्छेद लें तथा हर को शून्य करने वाले मान हटाएँ। / For \(\sqrt{x-1}\) to be defined, \(x-1\ge 0\), so \(x\ge 1\). In addition, the denominator \(g(x)=x-5\) must be nonzero, so \(x\ne 5\). Combining these conditions gives the domain \([1,\infty)\setminus\{5\}\). Option B is incorrect because \(x=1\) is allowed: the square root is \(0\) there. Exam tip: for a quotient, intersect the domains of the numerator and denominator functions, then exclude every value that makes the denominator zero.
पहले \(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\) लिखें। अतः \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{(x-3)^2}{x-3}=x-3\), जहाँ \(x\ne3\)। विकल्प C में पूरे \((x-3)\) को रद्द कर दिया गया है, जबकि अंश में उसका एक गुणनखंड बचा रहता है। परीक्षा-युक्ति: भागफल फलन को सरल करते समय मूल हर के शून्य होने वाले मान को डोमेन से बाहर अवश्य रखें। / Factor the numerator as \(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\). Therefore, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{(x-3)^2}{x-3}=x-3\), for \(x\ne3\). Option C incorrectly cancels the entire factor \((x-3)\), although one such factor remains in the numerator. Exam tip: when simplifying a quotient function, retain the original restriction caused by a zero denominator.
फलनों का योग और घटाव बिंदुवार किया जाता है: (f−g+h)(x)=(2x²+1)−(x²−3)+(x²+4)। g(x) घटाने पर उसके दोनों पदों के चिह्न बदलते हैं, इसलिए यह 2x²+1−x²+3+x²+4=2x²+8 बनता है। विकल्प B में गुणांक और स्थिर पद गलत रूप से जोड़े गए हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन को घटाते समय पूरे कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न लगाकर सभी चिह्न बदलें। / Function addition and subtraction are performed pointwise: (f−g+h)(x)=(2x²+1)−(x²−3)+(x²+4). Subtracting g(x) changes the signs of both of its terms, giving 2x²+1−x²+3+x²+4=2x²+8. Option B results from combining the terms incorrectly. Exam tip: when subtracting a function, place it in parentheses and reverse the sign of every term inside.
(x-2-1=(x-1)(x+1)), इसलिए (f=x-1), पर (x=-1) हटता है। समानता में मूल हर का प्रतिबंध रखें। / (x-2-1=(x-1)(x+1)), so (f=x-1), but (x=-1) is excluded. Keep the original denominator restriction in equality.
पहले f(0) ज्ञात करें: f(0)=|0+2|+|0-2|=|2|+|-2|=2+2=4। चूँकि g(x)=4, इसलिए g(0)=4। अतः (f-g)(0)=f(0)-g(0)=4-4=0। ध्यान रखें कि (f-g)(a)=f(a)-g(a) होता है; केवल f(a) निकालना पर्याप्त नहीं है। / First evaluate f(0): f(0)=|0+2|+|0-2|=|2|+|-2|=2+2=4. Since g(x)=4, g(0)=4. Therefore, (f-g)(0)=f(0)-g(0)=4-4=0. Remember that (f-g)(a)=f(a)-g(a); evaluating only f(a) gives the distractor 4, not the required difference.
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। दोनों भिन्नों का हर समान है, इसलिए अंश जोड़े जाएंगे: \((2x+1)+(x-3)=3x-2\)। अतः \((f+g)(x)=\frac{3x-2}{x^2+1}\)। विकल्प C में \(1+(-3)=-2\) के स्थान पर गलत तरीके से \(+4\) लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: समान हर वाले बीजीय भिन्नों को जोड़ते समय केवल अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित रखें; यहाँ \(x^2+1>0\) होने से हर कभी शून्य नहीं होता। / By the definition of the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Since the denominators are the same, add the numerators: \((2x+1)+(x-3)=3x-2\). Therefore, \((f+g)(x)=\frac{3x-2}{x^2+1}\). Option C results from incorrectly treating the constant terms; \(1+(-3)=-2\), not \(+4\). Exam tip: when adding algebraic fractions with the same denominator, add only the numerators and retain the common denominator; here \(x^2+1>0\), so the denominator is never zero.
पहले \(x=0\) रखने पर \(f(0)=0^2-2(0)+2=2\) और \(g(0)=0^2+2(0)+2=2\) प्राप्त होते हैं। उत्पाद फलन की परिभाषा के अनुसार \((fg)(0)=f(0)g(0)=2\times2=4\), इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प B केवल किसी एक फलन का मान लेने से मिल सकता है। परीक्षा में \((fg)(x)\) को योग नहीं, बल्कि \(f(x)\) और \(g(x)\) के गुणनफल के रूप में पढ़ें। / Substituting \(x=0\), we get \(f(0)=0^2-2(0)+2=2\) and \(g(0)=0^2+2(0)+2=2\). By the definition of the product function, \((fg)(0)=f(0)g(0)=2\times2=4\), so option C is correct. Option B may result from using the value of only one function. In an exam, remember that \((fg)(x)\) denotes the product of \(f(x)\) and \(g(x)\), not their sum.
(\frac{f}{g}=\frac{(x-5)2+1}{(x-5)2+5}), जो ((x-5)2=0) पर \(\frac{1}{5}\) देता है। समान वर्ग पद को \(t\ge 0\) रखकर देखें। / (\frac{f}{g}=\frac{(x-5)2+1}{(x-5)2+5}), which gives \(\frac{1}{5}\) at ((x-5)2=0). Set the common square term as \(t\ge 0\).
