A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(p^2\) is even, (p) cannot be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
This parity fact is very important in the proof. चरण 1: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। चरण 2: पर \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। चरण 3: यह छोटी सी सम-विषम बात प्रमाण में बहुत महत्त्वपूर्ण है।
D. (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है/Since (p) is even, (q) must be odd
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), it is correct that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
After putting (p=2k), (q) also becomes even, not odd.
Step 3
Exam Tip
In error-identification questions, match every step with the equation. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से (p) सम होना सही है। चरण 2: (p=2k) रखने पर (q) भी सम निकलता है, विषम नहीं। चरण 3: गलत विकल्प पहचानने वाले प्रश्नों में हर कदम को समीकरण से मिलाएँ।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq0\)/(p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The fraction is taken in lowest form, so (p,q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
This condition is what creates the contradiction later. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ \(q\neq0\)। चरण 2: प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेना होता है, इसलिए (p,q) सहअभाज्य हैं। चरण 3: यही शर्त बाद में विरोधाभास दिखाती है।
A. ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बने/So that getting a common factor at the end becomes a contradiction
Step 1
Concept
A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both (p) and (q) become even, which contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
Always mention coprime at the start of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) माना जाता है। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। चरण 3: शुरुआत में सहअभाज्य लिखना बहुत जरूरी है।
A. \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है/\(q^2=2k^2\), so (q) is even
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\) and (p=2k), we get \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
This second evenness completes the contradiction. चरण 1: \(p^2=2q^2\) और (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम और (q) सम है। चरण 3: यही दूसरा समपन विरोधाभास पूरा करता है।
So \(p^2\) is even, hence (p) is even, and then (q) also becomes even.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that coprime numbers cannot both be even. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम होता है। फिर (q) भी सम निकलता है। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं।
