Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(S_8=\frac{8}{2}[2\times10+7\times7]=276\) है। परीक्षा में कोष्ठक के अंदर की गणना पहले करें। / \(S_8=\frac{8}{2}[2\times10+7\times7]=276\). In exams, calculate inside the bracket first.
मध्य पद \(x=\frac{14+42}{2}=28\) है। परीक्षा में तीन पदों वाली समांतर श्रेणी में बीच वाला पद औसत होता है। / The middle term is \(x=\frac{14+42}{2}=28\). In exams, the middle term of three AP terms is the average.
\(S_{13}=\frac{13}{2}[2\times6+12\times5]=468\) है। परीक्षा में योग के लिए \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / \(S_{13}=\frac{13}{2}[2\times6+12\times5]=468\). In exams, use the formula for \(S_n\).
पहला पद (12) और अंतर (8) है, इसलिए \(a_n=8n+4\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (12) and the difference is (8), so \(a_n=8n+4\). In exams, check the first term by putting (n=1).
यहाँ (d=-9) है, इसलिए (a_9=120+8(-9)=48) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में (d) को ऋणात्मक रखें। / Here (d=-9), so (a_9=120+8(-9)=48). In exams, keep (d) negative in a decreasing progression.
यहाँ (a=16) और (d=7) है, इसलिए \(a_{13}=16+12\times7=100\) है। परीक्षा में (n)वें पद के लिए (a+(n-1)d) लगाएँ। / Here (a=16) and (d=7), so \(a_{13}=16+12\times7=100\). In exams, use (a+(n-1)d) for the (n)th term.
\(a_2=a_1+5\) और \(a_8=a_1+35\), इसलिए \(2a_1+40=70\) और \(a_1=15\)। योग वाले प्रश्न में दोनों पदों को \(a_1\) और (d) से लिखें। / \(a_2=a_1+5\) and \(a_8=a_1+35\), so \(2a_1+40=70\) and \(a_1=15\). In sum-based questions, write both terms using \(a_1\) and (d).
यहाँ (a=17) और (d=5), इसलिए (a_{25}=17+24(5)=137)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=17) and (d=5), so (a_{25}=17+24(5)=137). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है, इसलिए (d=7) और (a_{13}=59+3(7)=80)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7) and (a_{13}=59+3(7)=80). First find (d), then move forward.
\(a_6=a_1+5d\), इसलिए \(41=a_1+40\) और \(a_1=1\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_6=a_1+5d\), so \(41=a_1+40\) and \(a_1=1\). To move backward from a given term, subtract common differences.
\(a_5\), \(a_3\) और \(a_7\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_5=\frac{60}{2}=30\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_5\) is equidistant from \(a_3\) and \(a_7\), so \(a_5=\frac{60}{2}=30\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(a_7=3\) और \(a_8=-1\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (8)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद देखें। / \(a_7=3\) and \(a_8=-1\), so the first negative term is the (8)th. Look for the first term below zero.
पहला और दसवाँ पद (3) और (57) हैं, इसलिए योग (\frac{10(3+57)}{2}=300)। योग में पहला और अंतिम पद उपयोग करें। / The first and tenth terms are (3) and (57), so the sum is (\frac{10(3+57)}{2}=300). Use the first and last terms for the sum.
सामान्य पद \(a_n=6n+2\) है और (80) से छोटा सबसे बड़ा पद (74) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+2\), and the greatest term below (80) is (74). In boundary questions, check nearby terms.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(9,14,19,24,\ldots\) मिलता है। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(9,14,19,24,\ldots\). Form the initial terms from the rule and match the option.
चार अंतरों में वृद्धि (24) है, इसलिए (d=6) और (a_{11}=36+4(6)=60)। पास के पद से आगे बढ़ना आसान है। / The increase over four gaps is (24), so (d=6) and (a_{11}=36+4(6)=60). Moving forward from a nearby term is easy.
(\frac{6}{2}[2(5)+5d]=120) से (30+15d=120) और (d=6)। योग वाले प्रश्न में पहले (n) और (a) रखें। / (\frac{6}{2}[2(5)+5d]=120) gives (30+15d=120) and (d=6). In sum questions, substitute (n) and (a) first.
\(a_2=-5\) और \(a_3=1\), इसलिए पहला धनात्मक पद (3)वाँ है। धनात्मक पद के लिए \(a_n>0\) जांचें। / \(a_2=-5\) and \(a_3=1\), so the first positive term is the (3)rd. Check \(a_n>0\) for positive terms.
\(a_8\), \(a_4\) और \(a_{12}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_8=\frac{112}{2}=56\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_8\) is equidistant from \(a_4\) and \(a_{12}\), so \(a_8=\frac{112}{2}=56\). The average of symmetric terms is the middle term.
सामान्य पद \(a_n=7n+6\) है और \(a_{14}=104\) पहला पद है जो (100) से बड़ा है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The general term is \(a_n=7n+6\), and \(a_{14}=104\) is the first term greater than (100). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_{14}\) और \(a_5\) के बीच (9) अंतर हैं, इसलिए अंतर \(9\times8=72\) है। पदों का अंतर सीधे (d) से निकाला जा सकता है। / There are (9) gaps between \(a_{14}\) and \(a_5\), so the difference is \(9\times8=72\). Term differences can be found directly using (d).
\(24,20,16,12,8,4,0,\ldots\) में पहला पद (24) और सातवाँ पद (0) है। विकल्पों में सातवें पद तक जांच करें। / In \(24,20,16,12,8,4,0,\ldots\), the first term is (24) and the seventh term is (0). Check options up to the seventh term.
छह अंतरों में वृद्धि (36) है, इसलिए (d=6) और (a_8=14+3(6)=32)। \(a_8\) दोनों दिए पदों के बीच आता है। / The increase over six gaps is (36), so (d=6) and (a_8=14+3(6)=32). \(a_8\) lies between the two given terms.
पहले (8) पद (4) से (60) तक हैं, इसलिए योग (\frac{8(4+60)}{2}=256)। सममित जोड़ से गणना तेज होती है। / The first (8) terms go from (4) to (60), so the sum is (\frac{8(4+60)}{2}=256). Pairing symmetric terms makes calculation quick.
(2(p+10)=p+(3p-2)) से (2p+20=4p-2) और (p=11) मिलता है। बीच का पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / From (2(p+10)=p+(3p-2)), (2p+20=4p-2), so (p=11). The middle term is the average of the two surrounding terms.
सामान्य पद \(a_n=5n+6\) है और (90) से छोटा सबसे बड़ा पद (86) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=5n+6\), and the greatest term below (90) is (86). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_4=6+3d\) और \(a_8=6+7d\), इसलिए (12+10d=84) और (d=7.2) नहीं विकल्प में है। प्रश्न में विकल्पों की जांच जरूरी है। / \(a_4=6+3d\) and \(a_8=6+7d\), so (12+10d=84), giving (d=7.2), which is not in the options. Option consistency must be checked.
\(2,9,16,23,\ldots\) में \(a_4=23\) नहीं आता; सही श्रेणी \( -2,5,12,19,\ldots\) होगी। दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / In \(2,9,16,23,\ldots\), \(a_4\) is not (19); the correct sequence would be \(-2,5,12,19,\ldots\). None of the given options is correct.
\(a_9\), \(a_3\) और \(a_{15}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_9=\frac{108}{2}=54\)। सममित पदों का औसत बीच का पद होता है। / \(a_9\) is equidistant from \(a_3\) and \(a_{15}\), so \(a_9=\frac{108}{2}=54\). The average of symmetric terms is the middle term.
पहला पद (8) और (d=9) है, इसलिए (a_n=8+(n-1)9=9n-1)। विकल्प को (n=1) रखकर जांच सकते हैं। / The first term is (8) and (d=9), so (a_n=8+(n-1)9=9n-1). You can check an option by putting (n=1).
