Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पद \(18,14,10,6,2,-2,\ldots\) हैं, इसलिए धनात्मक पद (5) हैं। शून्य और ऋणात्मक पदों को धनात्मक न मानें। / The terms are \(18,14,10,6,2,-2,\ldots\), so there are (5) positive terms. Do not count zero or negative terms as positive.
(2(3x+2)=(2x-1)+(5x+1)) से (x=4), इसलिए समान अंतर (14-7=7) नहीं बल्कि (14-7=7) है। सही गणना में (d=7) आता है। / From (2(3x+2)=(2x-1)+(5x+1)), (x=4), so the common difference is (14-7=7). Calculate (x) first and then the difference.
(64+(n-1)(-7)=8) से (7(n-1)=56) और (n=9)। घटती श्रेणी में भी वही \(a_n\) सूत्र लगता है। / From (64+(n-1)(-7)=8), (7(n-1)=56) and (n=9). The same \(a_n\) formula works in a decreasing progression.
\(a_5\) और \(a_{13}\) से \(a_9\) समान दूरी पर है, इसलिए \(a_9=\frac{86}{2}=43\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_9\) is equidistant from \(a_5\) and \(a_{13}\), so \(a_9=\frac{86}{2}=43\). The average of symmetric terms is the middle term.
पहले (5) पद (11,15,19,23,27) हैं और योग (95) है। नियम से पद बनाकर जोड़ना सुरक्षित तरीका है। / The first (5) terms are (11,15,19,23,27), and their sum is (95). Forming terms from the rule and adding is a safe method.
\(a_{15}\) और \(a_6\) के बीच (9) अंतर हैं और (d=7), इसलिए अंतर (63) है। पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / There are (9) gaps between \(a_{15}\) and \(a_6\), and (d=7), so the difference is (63). Term difference depends on position difference.
पद \(25,19,13,7,1,-5,\ldots\) हैं, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (6)वाँ है। शून्य के आसपास पदों को क्रम से जांचें। / The terms are \(25,19,13,7,1,-5,\ldots\), so the first negative term is the (6)th. Check terms around zero in order.
\(5,11,17,23,29,\ldots\) में पाँचवाँ पद (29) और समान अंतर (6) है। विकल्पों को पद-संख्या तक जांचें। / In \(5,11,17,23,29,\ldots\), the fifth term is (29) and the common difference is (6). Check each option up to the required term.
लगातार तीन पदों में (2(2x+1)=(x-3)+(4x-1)), इससे (x=6) मिलता है। बीच वाला पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / For three consecutive terms, (2(2x+1)=(x-3)+(4x-1)), giving (x=6). The middle term is the average of the two surrounding terms.
\(a_4=a_1+3d\), इसलिए \(17=a_1+12\) और \(a_1=5\)। दिए पद से पीछे जाते समय समान अंतर घटाएं। / \(a_4=a_1+3d\), so \(17=a_1+12\) and \(a_1=5\). When moving backward from a given term, subtract the common difference.
(S_n=\frac{n}{2}[8+6(n-1)]) में (n=14) रखने पर (602) मिलता है, इसलिए दिए विकल्पों में सही मान नहीं है। परीक्षा में विकल्पों को रखकर भी जल्दी जाँच सकते हैं। / In (S_n=\frac{n}{2}[8+6(n-1)]), putting (n=14) gives (602), so none of the given options is correct. In exams, you can check quickly by substituting options.
\(a_6=44\) और \(a_7=51\), इसलिए योग (95) नहीं बल्कि (95) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_6=44\) and \(a_7=51\), so the sum is (95). In exams, find both terms separately and add them.
(7d=49) से (d=7) और (a+2d=13) से (a=-1) है। परीक्षा में पहले (d) और फिर पहला पद निकालें। / From (7d=49), (d=7), and from (a+2d=13), (a=-1). In exams, find (d) first and then the first term.
यह (6) के पहले (11) गुणजों का योग है, जो (396) है। परीक्षा में गुणजों की श्रेणी को जल्दी पहचानें। / This is the sum of the first (11) multiples of (6), which is (396). In exams, identify sequences of multiples quickly.
\(161=\frac{7}{2}[10+6d]\) से (d=6) मिलता है। परीक्षा में \(S_n\) सूत्र में (2a) और ((n-1)d) सही रखें। / From \(161=\frac{7}{2}[10+6d]\), (d=6). In exams, keep (2a) and ((n-1)d) correct in the \(S_n\) formula.
पाँचवें से ग्यारहवें पद तक (6) अंतर हैं, इसलिए \(a_{11}=31+6\times7=73\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (6) differences from the fifth to the eleventh term, so \(a_{11}=31+6\times7=73\). In exams, count the difference in positions.
\(S_{16}=\frac{16}{2}[8+15\times5]=664\) है। परीक्षा में भिन्न आए तो पहले कोष्ठक सरल करें। / \(S_{16}=\frac{16}{2}[8+15\times5]=664\). In exams, simplify the bracket first when a fraction appears.
चौथा पद (x+24=41) है, इसलिए (x=17) है। परीक्षा में बीजीय पदों को सीधे समीकरण में रखें। / The fourth term is (x+24=41), so (x=17). In exams, put algebraic terms directly into an equation.
(5d=35) से (d=7) और (a+3d=22) से (a=1) है। परीक्षा में दो दिए पदों से पहले (d) निकालें। / From (5d=35), (d=7), and from (a+3d=22), (a=1). In exams, find (d) first using two given terms.
पहले सात पद (12,20,28,36,44,52,60) हैं और योग (252) है। परीक्षा में नियम से पद निकालकर भी योग जाँच सकते हैं। / The first seven terms are (12,20,28,36,44,52,60), and their sum is (252). In exams, you can verify the sum by listing terms from the rule.
पद-संख्या का अंतर (11) है और (d=7), इसलिए अंतर \(11\times7=77\) है। परीक्षा में दो पदों का अंतर सीधे ((m-n)d) से निकालें। / The position difference is (11) and (d=7), so the difference is \(11\times7=77\). In exams, use ((m-n)d) directly for the difference of two terms.
\(a_9-a_5=4d=28\), इसलिए (d=7) है। परीक्षा में दूर के पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर से बाँटें। / \(a_9-a_5=4d=28\), so (d=7). In exams, divide the difference of terms by the difference of positions.
(n=1) पर (31) और (n=2) पर (26) देने वाला नियम \(a_n=36-5n\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में पहला पद मिलाएँ। / The rule \(a_n=36-5n\) gives (31) at (n=1) and (26) at (n=2). In exams, match the first term in a decreasing progression.
\(S_9=\frac{9}{2}[2\times8+8\times6]=288\) है। परीक्षा में कोष्ठक के अंदर की गणना पहले करें। / \(S_9=\frac{9}{2}[2\times8+8\times6]=288\). In exams, calculate inside the bracket first.
मध्य पद \(x=\frac{10+34}{2}=22\) है। परीक्षा में तीन पदों वाली समांतर श्रेणी में बीच वाला पद औसत होता है। / The middle term is \(x=\frac{10+34}{2}=22\). In exams, the middle term of three AP terms is the average.
\(S_{12}=\frac{12}{2}[2\times5+11\times4]=324\) है। परीक्षा में योग के लिए \(S_n\) का सूत्र लगाएँ। / \(S_{12}=\frac{12}{2}[2\times5+11\times4]=324\). In exams, use the formula for \(S_n\).
पहला पद (9) और अंतर (6) है, इसलिए \(a_n=6n+3\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (9) and the difference is (6), so \(a_n=6n+3\). In exams, check the first term by putting (n=1).
यहाँ (d=-8) है, इसलिए (a_{10}=96+9(-8)=24) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में (d) को ऋणात्मक रखें। / Here (d=-8), so (a_{10}=96+9(-8)=24). In exams, keep (d) negative in a decreasing progression.
यहाँ \(a=13\) और \(d=6\) है, इसलिए \(a_{14}=13+13\times6=91\) है। परीक्षा में \(a_n=a+(n-1)d\) लगाएँ। / Here \(a=13\) and \(d=6\), so \(a_{14}=13+13\times6=91\). In exams, use \(a_n=a+(n-1)d\).
यहाँ (a=13) और (d=5), इसलिए (a_{20}=13+19(5)=108)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=13) and (d=5), so (a_{20}=13+19(5)=108). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
