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pair of linear equations MCQ Questions for Class 10
pair of linear equations se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
पहली रेखा पर \(y=-1\) होता है। इसे दूसरी समीकरण में रखने पर \(2x-(-1)=9\), अर्थात् \(2x+1=9\) और \(x=4\) मिलता है। इसलिए दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु \((4,-1)\) है। विकल्प B में निर्देशांक उलट दिए गए हैं, जबकि विकल्प C और D में क्रमशः \(x\) या \(y\) का मान गलत है। परीक्षा-युक्ति: क्षैतिज रेखा \(y=\text{constant}\) में प्रतिच्छेद-बिंदु का \(y\)-निर्देशांक तुरंत ज्ञात हो जाता है। / On the first line, \(y=-1\). Substituting this in the second equation gives \(2x-(-1)=9\), or \(2x+1=9\), so \(x=4\). Therefore, the point of intersection is \((4,-1)\). In option B the coordinates are reversed, while options C and D have an incorrect \(x\)-value or \(y\)-value, respectively. Exam tip: For a horizontal line of the form \(y=\text{constant}\), the y-coordinate of the intersection is known immediately.
प्रतिच्छेद-बिंदु वह बिंदु होता है जो दोनों रेखाओं पर स्थित होता है। (3, 2) रखने पर 2(3) − 2 = 4 और 3 + 2(2) = 7, इसलिए यह दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। अन्य विकल्पों में से कोई भी दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा में प्रतिच्छेद-बिंदु जाँचने के लिए उसके x और y मानों को दोनों समीकरणों में रखें। / The intersection point lies on both lines. Substituting (3, 2) gives 2(3) − 2 = 4 and 3 + 2(2) = 7, so it satisfies both equations. The other options do not satisfy both equations simultaneously. Exam tip: verify a graphical intersection point by substituting its coordinates into both equations.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करता है। पहले समीकरण से \(x=4\) मिलता है। इसे दूसरे समीकरण में रखने पर \(2(4)+y=11\), इसलिए \(y=3\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((4,3)\) है। विकल्प B में निर्देशांकों का क्रम बदल दिया गया है, इसलिए वह \(x=4\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें। / The intersection point must satisfy both equations. From the first equation, \(x=4\). Substituting this into the second equation gives \(2(4)+y=11\), so \(y=3\). Therefore, the intersection point is \((4,3)\). Option B reverses the coordinates and does not satisfy \(x=4\). Exam tip: Always substitute the proposed point into both equations to verify it.
C. भिन्न समांतर रेखाएँ होंगी/They will be distinct parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दो रैखिक समीकरणों के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होने पर दोनों रेखाओं की ढाल समान, लेकिन उनके अवरोध अलग होते हैं। इसलिए वे भिन्न समांतर रेखाएँ होती हैं और उनमें कोई सामान्य हल नहीं होता; अतः युग्म असंगत कहलाता है। ध्यान रखें: तीनों अनुपात समान हों तो रेखाएँ संपाती होती हैं। / When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the two lines have the same slope but different intercepts. Therefore, they are distinct parallel lines and have no common solution, so the pair is inconsistent. Exam tip: if all three ratios are equal, the lines are coincident.
प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों रेखीय समीकरणों का समान हल होता है। बिंदु (2, 3) रखने पर \(2(2)+3(3)=4+9=13\) और \(2+3=5\) प्राप्त होता है, इसलिए यह दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु है। अन्य विकल्पों में \(x+y=5\) तो है, लेकिन वे \(2x+3y=13\) को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा में प्रतिच्छेदन बिंदु जाँचने के लिए दोनों समीकरणों में निर्देशांक रखने की युक्ति अपनाएँ। / The intersection point is the common solution of both linear equations. Substituting (2, 3) gives \(2(2)+3(3)=4+9=13\) and \(2+3=5\), so this point lies on both lines. The other options satisfy \(x+y=5\), but not \(2x+3y=13\). Exam tip: verify a graphical intersection point by substituting its coordinates into both equations.
\(x=0\) रखने पर \(4(0)-3y=12\), इसलिए \(-3y=12\) और \(y=-4\) मिलता है। अतः प्राप्त बिंदु \((0,-4)\) है। \((0,4)\) में ऋण चिह्न की गलती है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर मिलने वाला बिंदु हमेशा y-अक्ष पर स्थित होता है। / Substituting \(x=0\) gives \(4(0)-3y=12\), so \(-3y=12\) and \(y=-4\). Therefore, the point is \((0,-4)\). The option \((0,4)\) results from missing the negative sign. Exam tip: setting \(x=0\) gives the point where the line intersects the y-axis.
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखीय समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है। \((6,4)\) रखने पर \(2(6)+4=16\) और \(6+4=10\), इसलिए यही ग्राफीय हल है। उदाहरण के लिए, \((5,5)\) दूसरे समीकरण को संतुष्ट करता है, लेकिन पहले को नहीं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद बिंदु जाँचने के लिए उसके निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में रखकर सत्यापन करें। / The point of intersection must satisfy both linear equations simultaneously. Substituting \((6,4)\) gives \(2(6)+4=16\) and \(6+4=10\), so it is the graphical solution. For example, \((5,5)\) satisfies the second equation but not the first. Exam tip: verify a proposed intersection point by substituting its coordinates into both equations.
निर्देशांक बिंदु (x, y) में पहला मान x-निर्देशांक और दूसरा मान y-निर्देशांक होता है। इसलिए (7, 13) में y = 13 है। विकल्प 7 x का मान है, y का नहीं। परीक्षा में याद रखें: किसी बिंदु (x, y) का दूसरा निर्देशांक y होता है। / In an ordered pair (x, y), the first coordinate is the x-coordinate and the second coordinate is the y-coordinate. Therefore, in (7, 13), y = 13. The value 7 is the x-coordinate, not the y-coordinate. Exam tip: the second coordinate of (x, y) always gives the value of y.
पहले समीकरण \(3x+3y=24\) के प्रत्येक पद को 3 से भाग देने पर \(x+y=8\) प्राप्त होता है, जो दूसरा समीकरण है। इसलिए दोनों समीकरणों का ग्राफ एक ही रेखा होगा और उनके अनंत समाधानों का एक ही समुच्चय होगा। परीक्षा-युक्ति: यदि एक समीकरण दूसरे का अशून्य नियत गुणज हो, तो दोनों रेखाएँ संपाती अर्थात् एक ही रेखा होती हैं। / Dividing every term of the first equation, \(3x+3y=24\), by 3 gives \(x+y=8\), which is the second equation. Hence, both equations represent the same line and have infinitely many common solutions. Exam tip: If one linear equation is a non-zero constant multiple of the other, their graphs are coincident, or the same line.
दो रेखाओं का केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद होना बताता है कि युग्म का एक अद्वितीय हल है। इसलिए यह युग्म संगत और स्वतंत्र कहलाता है। इसके विपरीत, समानांतर रेखाएँ असंगत होती हैं और संपाती रेखाएँ संगत एवं आश्रित होती हैं। परीक्षा में याद रखें: एक प्रतिच्छेद बिंदु = एक अद्वितीय हल = संगत एवं स्वतंत्र युग्म। / When two lines intersect at exactly one point, the pair has one unique solution. Therefore, it is called a consistent and independent pair. In contrast, parallel lines form an inconsistent pair, while coincident lines form a consistent and dependent pair. Exam tip: one intersection point means one unique solution and hence a consistent, independent pair.
C. जब दोनों रेखाएँ अलग-अलग समांतर होती हैं/When the two lines are distinct and parallel
Explanation
Simple Explanation
अलग-अलग समांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई साझा बिंदु नहीं होता और समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं मिलता। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं, जबकि प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं का एक अद्वितीय हल होता है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ में समान ढलान और अलग-अलग अवरोध वाली रेखाएँ no solution दर्शाती हैं। / Distinct parallel lines never intersect, so they have no common point and the pair of equations has no solution. Coincident lines have infinitely many solutions, while intersecting lines have one unique solution. Exam tip: lines with the same slope but different intercepts represent no solution.
दोनों समीकरणों को घटाने पर \(x=4\) प्राप्त होता है। इसे \(x+3y=10\) में रखने पर \(4+3y=10\), इसलिए \(y=2\)। अतः रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु \((4,2)\) है। विकल्प \((2,4)\) में पहला समीकरण तो संतुष्ट होता है, लेकिन \(2(2)+3(4)=16\neq14\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में बिंदु जाँचने के लिए उसके दोनों निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में अवश्य रखें। / Subtracting the first equation from the second gives \(x=4\). Substituting this into \(x+3y=10\) gives \(4+3y=10\), so \(y=2\). Therefore, the lines intersect at \((4,2)\). The distractor \((2,4)\) satisfies the first equation but gives \(2(2)+3(4)=16\neq14\), so it is not the common solution. In an exam, verify an intersection point in both equations.
पहले समीकरण \(2x+2y=18\) के दोनों पक्षों को \(2\) से भाग देने पर \(x+y=9\) प्राप्त होता है, जो दूसरा समीकरण है। इसलिए दोनों समीकरणों का ग्राफ एक ही रेखा होगा और इनके अनंत हल होंगे। परीक्षा में याद रखें: समान रेखाओं के लिए दोनों समीकरण एक-दूसरे के समानुपाती होने चाहिए। / Dividing both sides of the first equation, \(2x+2y=18\), by \(2\) gives \(x+y=9\), which is exactly the second equation. Hence, both equations represent the same line and have infinitely many solutions. Exam tip: equations represent the same line when one is a non-zero multiple of the other.
रेखा \(x=9\) पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 9 होता है, जबकि रेखा \(y=3\) पर प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक 3 होता है। इसलिए दोनों रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु \((9,3)\) है। विकल्प A में निर्देशांकों का क्रम उलट गया है। परीक्षा में याद रखें: बिंदु \((x,y)\) में पहला मान x-निर्देशांक और दूसरा मान y-निर्देशांक होता है। / Every point on the line \(x=9\) has x-coordinate 9, and every point on the line \(y=3\) has y-coordinate 3. Therefore, their common point is \((9,3)\). In option A, the coordinates are reversed. Exam tip: in \((x,y)\), the first value is the x-coordinate and the second value is the y-coordinate.
y-अवरोधन ज्ञात करने के लिए x=0 रखते हैं। तब \(3(0)+y=15\), इसलिए y=15 और बिंदु \((0,15)\) मिलता है। विकल्प A x-अवरोधन है, क्योंकि उसमें y=0 होता है। परीक्षा में याद रखें: y-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है। / To find the y-intercept, put x=0 in the equation. Then \(3(0)+y=15\), so y=15 and the point is \((0,15)\). Option A is the x-intercept because it is obtained by putting y=0. Exam tip: every point on the y-axis has x-coordinate 0.
दोनों समीकरणों को घटाने पर \\(x=2\\) प्राप्त होता है। इसे \\(x+y=5\\) में रखने पर \\(y=3\\) मिलता है। इसलिए दोनों ग्राफों का प्रतिच्छेद बिंदु \\(2,3\\) है। उदाहरण के लिए, विकल्प B में \\(2(3)+2=8\\), जो 7 के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, इसलिए उत्तर को दोनों में जाँचें। / Subtracting the second equation from the first gives \\(x=2\\). Substituting this into \\(x+y=5\\) gives \\(y=3\\). Therefore, the intersection point is \\(2,3\\). For example, option B gives \\(2(3)+2=8\\), so it does not satisfy the first equation. Exam tip: verify a graphical-solution point in both equations.
समीकरण में \(x=3\) रखने पर \(2(3)-y=4\), अर्थात् \(6-y=4\)। इसलिए \(-y=-2\), अतः \(y=2\)। परीक्षा में ऋण चिह्न को ध्यान से संभालें; \(6\) केवल \(2x\) का मान है, \(y\) का नहीं। / Substituting \(x=3\) gives \(2(3)-y=4\), or \(6-y=4\). Thus, \(-y=-2\), so \(y=2\). In the exam, handle the negative sign carefully; \(6\) is the value of \(2x\), not of \(y\).
A. (y)-अक्ष के समांतर ऊर्ध्वाधर रेखा/A vertical line parallel to the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(x=3\) में प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक 3 होता है, जबकि \(y\)-निर्देशांक कोई भी मान ले सकता है। इसलिए इसके सभी बिंदु \(y\)-अक्ष के समांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर स्थित होते हैं। विकल्प B \(y=3\) के लिए सही होता। परीक्षा टिप: \(x=\) नियत होने पर रेखा ऊर्ध्वाधर और \(y=\) नियत होने पर रेखा क्षैतिज होती है। / In the equation \(x=3\), the \(x\)-coordinate of every point is 3, while the \(y\)-coordinate can have any value. Hence, all such points lie on a vertical line parallel to the \(y\)-axis. Option B would be correct for \(y=3\). Exam tip: a constant \(x\)-value gives a vertical line, whereas a constant \(y\)-value gives a horizontal line.
