असमानता को हल करने पर \(5x+8>3x+20\) से \(2x>12\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने और फिर 2 से भाग देने पर \(x>6\) प्राप्त होता है। 2 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=6\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि यहाँ 'से बड़ा' चाहिए। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Solving the inequality \(5x+8>3x+20\), subtract \(3x\) from both sides to obtain \(2x>12\). Dividing by the positive number 2 gives \(x>6\), so option A is correct. Option C is incorrect because it includes \(x=6\), but at \(x=6\) both sides are equal, whereas the inequality is strict. Exam tip: reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
दिए गए असमानता से पहले 2 घटाने पर \(\frac{x}{4}\leq 3\) मिलता है। दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर \(x\leq 12\) प्राप्त होता है। चूँकि 4 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिन्ह नहीं बदलता; अतः विकल्प A सही है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर ही चिन्ह उलटता है। / Subtracting 2 from both sides gives \(\frac{x}{4}\leq 3\). Multiplying both sides by 4 yields \(x\leq 12\). Since 4 is positive, the inequality sign remains unchanged, so option A is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
पहले दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \\(-2x\geq -6\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को \\(-2\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \\(x\leq 3\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह उलटने की प्रक्रिया नहीं अपनाई गई है। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य बदलें। / Subtracting 7 from both sides gives \\(-2x\geq -6\\). Dividing by \\(-2\\) reverses the inequality sign, so \\(x\leq 3\\). Option B is incorrect because it does not reverse the sign after division by a negative number. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(3x<15\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर \(x<5\) प्राप्त होता है; क्योंकि 3 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प C और D में बराबरी का चिह्न अनावश्यक है, जबकि विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है। परीक्षा-टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न पलटता है। / Adding 5 to both sides gives \(3x<15\). Dividing by 3 gives \(x<5\); since 3 is positive, the inequality sign remains unchanged. Option C and option D incorrectly include equality, while option B reverses the inequality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
\(9-2x\le 1\) में (9) घटाने पर \(-2x\le -8\) मिलता है और (-2) से भाग देने पर \(x\ge 4\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह उलटता है। / Subtracting (9) from \(9-2x\le 1\) gives \(-2x\le -8\), and dividing by (-2) gives \(x\ge 4\). The sign reverses when dividing by a negative number.
वाक्य से \(x+3\le 16\) बनता है और (3) घटाने पर \(x\le 13\) मिलता है। अधिक नहीं का अर्थ \(\le\) होता है। / The statement gives \(x+3\le 16\), and subtracting (3) gives \(x\le 13\). Not more than means \(\le\).
दोनों पक्षों से (2x) जोड़ने के बजाय (2x) घटाने पर \(1\le 3x-8\) और फिर \(9\le 3x\) मिलता है। इसलिए \(x\ge 3\) सही है। / Subtracting (2x) from both sides gives \(1\le 3x-8\), then \(9\le 3x\). Hence \(x\ge 3\) is correct.
(4) से गुणा करने पर (x+3<8) और (3) घटाने पर (x<5) मिलता है। धनात्मक हर हटाते समय चिन्ह वही रहता है। / Multiplying by (4) gives (x+3<8), and subtracting (3) gives (x<5). The sign stays the same when clearing a positive denominator.
(5) घटाने पर (-4x<12) मिलता है और (-4) से भाग देने पर (x>-3) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलटता है। / Subtracting (5) gives (-4x<12), and dividing by (-4) gives (x>-3). The inequality sign reverses when dividing by a negative number.
\(7x+2\le 23\) में (2) घटाने पर \(7x\le 21\) और (7) से भाग देने पर \(x\le 3\) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Subtracting (2) from \(7x+2\le 23\) gives \(7x\le 21\), and dividing by (7) gives \(x\le 3\). Division by a positive number does not change the sign.
असमानता \(x\le -3\) में \(-3\) से छोटा या उसके बराबर कोई भी मान हल होता है। \(-4\le -3\) सत्य है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C का \(-2\) \(-3\) से बड़ा है, इसलिए वह हल नहीं है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करते समय संख्या रेखा का प्रयोग करें। / For \(x\le -3\), any value less than or equal to \(-3\) is a solution. Since \(-4\le -3\) is true, option A is correct. The closest distractor, \(-2\), is greater than \(-3\), so it does not satisfy the inequality. In exams, use a number line to compare negative numbers accurately.
\(x=3\) रखने पर बायाँ पक्ष \(3(3)+4=13\) हो जाता है। इसलिए असमानता \(13\le 13\) बनती है, जो सत्य है क्योंकि \(\le\) में बराबरी का मान भी शामिल होता है। अतः \(x=3\) असमानता का हल है। विकल्प B गलत है, क्योंकि वह बराबरी को स्वीकार नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: किसी मान को हल मानने के लिए उसे मूल असमानता में रखकर जाँचें। / Substituting \(x=3\) makes the left-hand side \(3(3)+4=13\). Thus, the inequality becomes \(13\le 13\), which is true because \(\le\) includes equality. Therefore, \(x=3\) is a solution. Option B is incorrect because it ignores the equality case. Exam tip: Always substitute a proposed value into the original inequality to verify whether it is a solution.
वाक्य से \(x-8\ge 0\) बनता है और (8) जोड़ने पर \(x\ge 8\) मिलता है। बराबर या बड़ा के लिए \(\ge\) प्रयोग करें। / The statement gives \(x-8\ge 0\), and adding (8) gives \(x\ge 8\). Use \(\ge\) for greater than or equal to.
चार पेन की कीमत \(4x\) रुपये होगी। “100 रुपये से अधिक नहीं” का अर्थ \(4x\le 100\) है। दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर \(x\le 25\) प्राप्त होता है, इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा में “not more than” या “अधिक नहीं” को \(\le\) के रूप में पहचानें। / The cost of four pens is \(4x\) rupees. “Not more than 100” means \(4x\le 100\). Dividing both sides by the positive number 4 gives \(x\le 25\), so option A is correct. In exams, remember that “not more than” indicates the \(\le\) sign, not the strict sign \(<\).
खर्च करने के बाद राशि (x-30) होगी और कम से कम (70) का अर्थ \(\ge 70\) है। भाषा में कम से कम को \(\ge\) से लिखें। / After spending, the amount is (x-30), and at least (70) means \(\ge 70\). In words, at least is written using \(\ge\).
वाक्य से (2x<18) बनता है और (2) से भाग देने पर (x<9) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / The statement gives (2x<18), and dividing by (2) gives (x<9). Dividing by a positive number does not change the sign.
संख्या को (x) मानने पर (5) जोड़ना (x+5) है और अधिक का अर्थ (>) है। शब्दों को पहले बीजीय रूप में बदलें। / Let the number be (x). Adding (5) gives (x+5), and greater than means (>). Convert words into algebra first.
\(8+2x\le 20\) से \(2x\le 12\) और \(x\le 6\) मिलता है। स्थिर पद को दूसरी ओर ले जाकर सरल करें। / \(8+2x\le 20\) gives \(2x\le 12\), so \(x\le 6\). Move the constant term to the other side and simplify.
A. (-3) से भाग देने पर चिन्ह उलटेगा/Dividing by (-3) reverses the sign
Explanation
Simple Explanation
(-3x>12) में ऋणात्मक संख्या (-3) से भाग देना होगा इसलिए चिन्ह उलटेगा। यह नियम असमानताओं में बहुत महत्वपूर्ण है। / In (-3x>12), we divide by the negative number (-3), so the sign reverses. This rule is very important in inequalities.
असमानता \(x+6>-2\) में दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(x>-2-6=-8\) मिलता है। इसलिए सही हल \(x>-8\) है। 6 घटाने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता; चिन्ह केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। परीक्षा-टिप: पहले स्थिर पद को दूसरी ओर ले जाकर उसका चिह्न बदलें। / Subtracting 6 from both sides of \(x+6>-2\) gives \(x>-2-6=-8\). Therefore, the correct solution is \(x>-8\). The inequality sign does not change when the same number is subtracted from both sides; it reverses only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: move the constant term to the other side and change its sign.
दोनों पक्षों में (4) जोड़ने पर (x<3) मिलता है। ऋणात्मक संख्या के साथ भी जोड़ने से चिन्ह नहीं बदलता। / Adding (4) to both sides gives (x<3). Even with negative numbers, addition does not change the sign.
दोनों पक्षों से (7) घटाने पर \(x\ge 0\) मिलता है। बराबरी वाला चिन्ह हो तो सीमा मान शामिल करें। / Subtracting (7) from both sides gives \(x\ge 0\). Include the boundary value when equality is present.
\(x=5\) रखने पर विकल्प A में \(x-1=4\) मिलता है, इसलिए \(4>5\) असत्य है। अन्य विकल्पों में क्रमशः \(6\ge6\), \(10\le10\) और \(5<8\) सत्य हैं। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: किसी दिए हुए मान की जाँच करते समय पहले चर का मान रखें, फिर असमानता का चिह्न जाँचें। / Substituting \(x=5\) in option A gives \(x-1=4\), so \(4>5\) is false. The other options give \(6\ge6\), \(10\le10\), and \(5<8\), all of which are true. Therefore, A is correct. Exam tip: Substitute the given value first, then check whether the inequality sign remains valid.
(x=3) रखने पर (x+2=5) और (5<6) सत्य है। विकल्प जांचते समय दिए गए मान को सीधे रखें। / Putting (x=3), we get (x+2=5), and (5<6) is true. Substitute the given value directly while checking options.
असमानता \(5-x>1\) में दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(-x>-4\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है और \(x<4\) प्राप्त होता है। 4 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 3 है, इसलिए सही उत्तर 3 है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Subtracting 5 from both sides of \(5-x>1\) gives \(-x>-4\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality sign, so \(x<4\). The greatest integer less than 4 is 3; therefore, 3 is correct. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
\(3x\ge 7\) से \(x\ge \frac{7}{3}\) मिलता है इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक (3) है। सीमा से ऊपर पहला पूर्णांक लें। / \(3x\ge 7\) gives \(x\ge \frac{7}{3}\), so the least integer is (3). Take the first integer above the boundary.
\(x+2\le 6\) से \(x\le 4\) मिलता है और धनात्मक पूर्णांक (1,2,3,4) हैं। गिनते समय (0) को धनात्मक पूर्णांक न मानें। / \(x+2\le 6\) gives \(x\le 4\), and the positive integers are (1,2,3,4). Do not count (0) as a positive integer.
(x-1>2) से (x>3) मिलता है इसलिए सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या (4) है। सख्त असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता। / (x-1>2) gives (x>3), so the smallest natural number is (4). A strict inequality does not include the boundary value.
दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(2x\ge 8\) मिलता है। 2 से भाग देने पर \(x\ge 4\) प्राप्त होता है। इसलिए 4 समाधान समुच्चय में शामिल है और अंतराल \([4,\infty)\) होगा। विकल्प B गलत है, क्योंकि खुले कोष्ठक का अर्थ है कि 4 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) या \(\le\) होने पर सीमा-बिंदु को वर्ग कोष्ठक में लिखें। / Adding 1 to both sides gives \(2x\ge 8\). Dividing by 2 gives \(x\ge 4\). Therefore, 4 is included in the solution set, so the interval is \([4,\infty)\). Option B is incorrect because a parenthesis excludes 4. Exam tip: use a square bracket at the boundary when the inequality contains \(\ge\) or \(\le\).
\(x\ge -2\) में (-2) शामिल है इसलिए \([-2,\infty\)) सही है। \(\infty\) के साथ हमेशा गोल कोष्ठक आता है। / In \(x\ge -2\), (-2) is included, so \([-2,\infty\)) is correct. Infinity always takes a round bracket.
