Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\theta\in\left[0,\pi\right]\) और \(\cos\theta=\frac{8}{17}\), इसलिए \(\theta\) प्रथम चतुर्थांश में है और \(\sin\theta=\frac{15}{17}\)। त्रिभुज विधि तेज है। / Here \(\theta\in\left[0,\pi\right]\) and \(\cos\theta=\frac{8}{17}\), so \(\theta\) is in the first quadrant and \(\sin\theta=\frac{15}{17}\). The triangle method is fast.
\(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। बाकी विकल्पों में प्रांत की शर्त टूटती है। / The function \(\tan^{-1}x\) is defined for every real (x). In the other options the domain condition fails.
\(\csc^{-1}x\) के लिए \(\left|x\right|\ge 1\) चाहिए। इसलिए \(x=\frac{1}{2}\) अमान्य है। / For \(\csc^{-1}x\), we need \(\left|x\right|\ge 1\). Hence \(x=\frac{1}{2}\) is invalid.
\(\sec y\) के मान (\left\(-1,1\right\)) में नहीं आते, इसलिए \(\sec^{-1}x\) का प्रांत (\mathbb{R}\setminus\left\(-1,1\right\)) है। शून्य भी प्रांत में नहीं है। / Values of \(\sec y\) do not lie in (\left\(-1,1\right\)), so the domain of \(\sec^{-1}x\) is (\mathbb{R}\setminus\left\(-1,1\right\)). Zero is also not in the domain.
यदि \(x\in\left[-1,1\right]\), तो \(\cos(\cos^{-1}x)=x\)। यहां \(x=-\frac{3}{4}\) प्रांत में है। / If \(x\in\left[-1,1\right]\), then \(\cos(\cos^{-1}x)=x\). Here \(x=-\frac{3}{4}\) lies in the domain.
\(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) और \(\frac{\pi}{3}\) मुख्य परिसर में है। विशेष कोण याद रखना जरूरी है। / Since \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) and \(\frac{\pi}{3}\) lies in the principal range. Remember special angles well.
मानक संबंध (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x) है। इसे (\sin^{-1}(-x)) की तरह विषम न मानें। / The standard relation is (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x). Do not treat it as odd like (\sin^{-1}(-x)).
\(\sin^{-1}x\) विषम फलन है, इसलिए (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x)। विषम और सम गुणों को अलग रखें। / The function \(\sin^{-1}x\) is odd, so (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x). Keep odd and even properties separate.
\(\csc y=-2\) से \(\sin y=-\frac{1}{2}\), इसलिए मुख्य मान \(y=-\frac{\pi}{6}\) है। \(\csc^{-1}\) का परिसर याद रखें। / From \(\csc y=-2\), \(\sin y=-\frac{1}{2}\), so the principal value is \(y=-\frac{\pi}{6}\). Remember the range of \(\csc^{-1}\).
धनात्मक (x) के लिए \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। चिह्न बदलने पर सावधानी रखें। / For positive (x), \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Be careful when the sign changes.
मानक सर्वसमिका \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) है। इसे सबसे अधिक पूछे जाने वाले सूत्रों में रखें। / The standard identity is \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Keep it among the most asked formulas.
\(\tan\frac{3\pi}{4}=-1\) और \(\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\)। उत्तर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में होना चाहिए। / Since \(\tan\frac{3\pi}{4}=-1), (\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\). The answer must lie in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
\(\cos\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}\) और \(\cos^{-1}\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}\)। कोण को हमेशा \(\left[0,\pi\right]\) में लाएं। / Since \(\cos\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}\), \(\cos^{-1}\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}\). Always bring the angle into \(\left[0,\pi\right]\).
जब \(\frac{3}{5}\in\left[-1,1\right]\), तब (\sin\left\(\sin^{-1}x\right\)=x)। अंदर का मान प्रांत में है या नहीं पहले देखें। / When \(\frac{3}{5}\in\left[-1,1\right]\), (\sin\left\(\sin^{-1}x\right\)=x). First check whether the inside value lies in the domain.
\(\cos^{-1}x\) का मुख्य परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है। \(\cos^{-1}\) में दोनों अंत बिंदु शामिल होते हैं। / The principal range of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[0,\pi\right]\). Both end points are included for \(\cos^{-1}\).
A. \(x=\sin y,\ y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}\) का अर्थ है वह कोण (y) जिसके लिए \(\sin y=x\)। साथ में मुख्य मान का परिसर भी जरूरी है। / The meaning of \(\sin^{-1}\) is the angle (y) for which \(\sin y=x\). The principal range must also be included.
\(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है लेकिन इसका परिसर खुला अंतराल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है। अंत बिंदु शामिल नहीं होते। / The function \(\tan^{-1}x\) is defined for all real (x) but its range is the open interval (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). The end points are not included.
\(\tan^{-1}x\) का परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है और (\tan\left\(-\frac{\pi}{4}\right\)=-1)। चतुर्थांश का ध्यान रखें। / The range of \(\tan^{-1}x\) is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) and (\tan\left\(-\frac{\pi}{4}\right\)=-1). Keep the quadrant in mind.
\(\cos^{-1}x\) का परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है और इस परिसर में \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\)। ऋणात्मक उत्तर को मुख्य मान न मानें। / The range of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[0,\pi\right]\) and in this range \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\). Do not take a negative angle as principal value.
\(\sin^{-1}x\) का परिसर \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) होता है और \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)। परीक्षा में हमेशा मुख्य मान परिसर याद रखें। / The range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) and \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\). Always remember the principal range in exams.
क्योंकि (\operatorname{cosec}\left\(-\frac{\pi}{6}\right\)=-2) और \(-\frac{\pi}{6}\) प्रधान सीमा में है। ऋणात्मक मानों में सही प्रधान कोण चुनें। / Because (\operatorname{cosec}\left\(-\frac{\pi}{6}\right\)=-2) and \(-\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range. For negative values choose the correct principal angle.
जब (x>0) हो तो \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। \(\cot^{-1}x\) की प्रधान सीमा का ध्यान रखें। / When (x>0), \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Keep the principal range of \(\cot^{-1}x\) in mind.
(\cos^{-1}\left\(\frac{x}{3}\right\)) के लिए \(-1\le\frac{x}{3}\le1\) होना चाहिए। इसलिए \(-3\le x\le3\) है। / For (\cos^{-1}\left\(\frac{x}{3}\right\)), we need \(-1\le\frac{x}{3}\le1\). Therefore \(-3\le x\le3\).
(\sin^{-1}(2x)) के लिए \(-1\le 2x\le1\) होना चाहिए। इससे \(x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\) मिलता है। / For (\sin^{-1}(2x)), we need \(-1\le 2x\le1\). This gives \(x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\).
मान लें \(\theta=\cos^{-1}\frac{4}{5}\), तब \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) और \(\sin\theta=\frac{3}{5}\)। इसलिए \(\tan\theta=\frac{3}{4}\) होगा। / Let \(\theta=\cos^{-1}\frac{4}{5}\), then \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) and \(\sin\theta=\frac{3}{5}\). Hence \(\tan\theta=\frac{3}{4}\).
मान लें \(\theta=\sin^{-1}\frac{5}{13}\), तब \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) और \(\theta\) प्रधान सीमा में है। इसलिए \(\cos\theta=\frac{12}{13}\) होगा। / Let \(\theta=\sin^{-1}\frac{5}{13}\), then \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) and \(\theta\) is in the principal range. Therefore \(\cos\theta=\frac{12}{13}\).
क्योंकि \(\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) और \(\frac{3\pi}{4}\in[0,\pi]\) है। \(\cos^{-1}\) में प्रधान मान ऋणात्मक नहीं लेते। / Because \(\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) and \(\frac{3\pi}{4}\in[0,\pi]\). For \(\cos^{-1}\), do not take a negative principal value.
क्योंकि \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) है। मानक कोणों के मान परीक्षा में बहुत उपयोगी होते हैं। / Because \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Standard angle values are very useful in exams.
मान लें \(\theta=\cos^{-1}\frac{3}{5}\), तब \(\cos\theta=\frac{3}{5}\) और \(\theta\in[0,\pi]\)। यहां \(\sin\theta=\frac{4}{5}\) होगा। / Let \(\theta=\cos^{-1}\frac{3}{5}\), then \(\cos\theta=\frac{3}{5}\) and \(\theta\in[0,\pi]\). Here \(\sin\theta=\frac{4}{5}\).
\(\tan^{-1}x\) की सीमा (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है जिसमें \(\frac{\pi}{2}\) शामिल नहीं है। खुले अंतराल पर ध्यान दें। / The range of \(\tan^{-1}x\) is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), which does not include \(\frac{\pi}{2}\). Pay attention to open intervals.
