\(3!=3\times2\times1=6\) तथा परिभाषा के अनुसार \(0!=1\) होता है। अतः \(3!\times0!=6\times1=6\), इसलिए सही विकल्प C है। \(0!\) को 0 मानना गलत है; क्रमचय-संचय के सूत्रों को संगत रखने के लिए \(0!=1\) परिभाषित किया जाता है। परीक्षा टिप: \(0!\) दिखते ही उसका मान 1 रखें। / \(3!=3\times2\times1=6\), and by definition \(0!=1\). Therefore, \(3!\times0!=6\times1=6\), so option C is correct. It is incorrect to treat \(0!\) as 0; \(0!=1\) keeps permutation and combination formulas consistent. Exam tip: whenever you see \(0!\), substitute 1.
\(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\)। फैक्टोरियल में संख्या घटती जाती है। / \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\). In factorial notation, the numbers decrease step by step.
क्योंकि \(4!=4\times3!\), इसलिए \(\frac{4!+3!}{3!}=\frac{4\times3!+3!}{3!}=\frac{5\times3!}{3!}=5\)। विकल्प 4 तब मिलता यदि अंश में केवल \(4!\) होता और \(+3!\) को छोड़ दिया जाता। परीक्षा टिप: समान फैक्टरियल पदों को पहले बाहर निकालने पर ऐसे व्यंजक जल्दी सरल होते हैं। / Since \(4!=4\times3!\), \(\frac{4!+3!}{3!}=\frac{4\times3!+3!}{3!}=\frac{5\times3!}{3!}=5\). Option 4 would result if the \(+3!\) term in the numerator were incorrectly ignored. Exam tip: Factor out the common factorial term first to simplify such expressions quickly.
(5!=120) और (4!=24), इसलिए (5!) बड़ा है। बड़े धनात्मक पूर्णांक का फैक्टोरियल सामान्यतः बड़ा होता है। / (5!=120) and (4!=24), so (5!) is greater. The factorial of a larger positive integer is generally larger.
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\) होता है। अतः \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+2)(n+1)\)। विकल्प \(n(n+1)\) में \(n+2\) गुणनखंड छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान फैक्टोरियल पदों को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), we get \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+2)(n+1)\). The option \(n(n+1)\) incorrectly omits the factor \(n+2\). Exam tip: expand a factorial only up to the common factorial term, then cancel it.
दिया है n=3। अतः n+2=3+2=5 और (n+2)!=5!=5×4×3×2×1=120। इसलिए सही उत्तर 120 है। 24, 4! का मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले कोष्ठक के भीतर का मान निकालें, फिर फैक्टोरियल लगाएँ। / Given n=3, we get n+2=3+2=5. Therefore, (n+2)!=5!=5×4×3×2×1=120. Hence, 120 is the correct answer. The value 24 is equal to 4!, so it is not correct here. Exam tip: Evaluate the expression inside the brackets before applying the factorial.
क्योंकि \(8!=8\times7\times6\times5!\), इसलिए \(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\)। विकल्प 120, \(5!\) का मान है, जबकि यहाँ \(5!\) कट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(8!=8\times7\times6\times5!\), \(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\). The value 120 is \(5!\), but \(5!\) cancels in this expression. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common terms.
\(2!=2\) तथा \(4!=4\times3\times2\times1=24\) होता है। अतः \(2!\times4!=2\times24=48\)। विकल्प 36, \(3!\times3!\) का मान है, न कि दिए गए व्यंजक का। परीक्षा में प्रत्येक फैक्टोरियल का मान अलग-अलग निकालकर गुणा करें। / \(2!=2\) and \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(2!\times4!=2\times24=48\). The value 36 is obtained from \(3!\times3!\), not from the given expression. In exams, evaluate each factorial separately before multiplying.
(6!=720) और (5!=120), इसलिए अंतर (600) है। बड़े फैक्टोरियल का मान ध्यान से लिखें। / (6!=720) and (5!=120), so the difference is (600). Write the value of the larger factorial carefully.
यहाँ 3! = 3 × 2 × 1 = 6 और 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 है। अतः 3! + 4! = 6 + 24 = 30, इसलिए विकल्प B सही है। 24 केवल 4! का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालकर फिर जोड़ या घटाव करें। / Here, 3! = 3 × 2 × 1 = 6 and 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Therefore, 3! + 4! = 6 + 24 = 30, so option B is correct. 24 is only the value of 4!, not the sum. Exam tip: In expressions involving factorials, evaluate each factorial first and then perform addition or subtraction.
\(7!=7\times6!\) और \(1!=1\) होता है। इसलिए \(\frac{7!}{6!,1!}=\frac{7\times6!}{6!\times1}=7\)। अतः सही उत्तर 7 है। 6 केवल \(6!\) से जुड़ा संख्या-भाग है; \(6!\) कटने के बाद 7 बचता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Since \(7!=7\times6!\) and \(1!=1\), \(\frac{7!}{6!,1!}=\frac{7\times6!}{6!\times1}=7\). Therefore, the correct answer is 7. The number 6 is not the result; the factor \(6!\) cancels, leaving 7. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel common factors.
फैक्टोरियल के नियम से \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\)। अतः \(\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{(n+1)n!}{n!}=n+1\), इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प \(n\) तब मिलता है जब \(n!\) को गलत ढंग से \(n\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: लगातार फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनफल के रूप में लिखकर काटें। / Using the factorial relation, \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\). Therefore, \(\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{(n+1)n!}{n!}=n+1\), so option B is correct. The distractor \(n\) may result from incorrectly treating \(n!\) as \(n\). Exam tip: expand the larger factorial in terms of the smaller one before cancelling.
चूँकि \(9!\) एक अशून्य संख्या है, इसलिए किसी अशून्य संख्या को उसी संख्या से भाग देने पर मान \(1\) मिलता है। अतः \(\frac{9!}{9!}=1\)। विकल्प 9, 9! का मान नहीं है और 81, \(9\times9\) है। परीक्षा टिप: समान अशून्य पद अंश और हर में हों, तो उनका अनुपात हमेशा \(1\) होता है। / Since \(9!\) is non-zero, a non-zero quantity divided by itself equals \(1\). Hence, \(\frac{9!}{9!}=1\). The value 9 is not the value of 9!, and 81 is \(9\times9\). Exam tip: When the same non-zero term occurs in the numerator and denominator, their ratio is always \(1\).
(1) से (6) तक का गुणनफल (6!) होता है। फैक्टोरियल में क्रम उल्टा या सीधा लिखने से मान नहीं बदलता। / The product from (1) to (6) is (6!). In factorial multiplication, writing in reverse or forward order gives the same value.
फैक्टोरियल में किसी धनात्मक पूर्णांक से 1 तक के सभी पूर्णांकों का क्रमिक गुणन किया जाता है। इसलिए \(4!=4\times3\times2\times1\), अतः विकल्प C सही है। विकल्प B में 4 का चार बार गुणन है, जो \(4^4\) है, फैक्टोरियल नहीं। परीक्षा टिप: \(n!\) में हमेशा \(n\) से 1 तक घटते क्रम में गुणा लिखें। / A factorial is the product of all positive integers from the given number down to 1. Therefore, \(4!=4\times3\times2\times1\), so option C is correct. Option B represents \(4^4\), not a factorial. Exam tip: Write \(n!\) as multiplication from \(n\) down to 1.
क्योंकि \(10!=10\times9\times8!\), इसलिए \(\frac{10!}{8!}=\frac{10\times9\times8!}{8!}=10\times9=90\)। विकल्प D में \(6!\) का मान 720 है, इसलिए वह इस व्यंजक के लिए सही नहीं है। परीक्षा में फैक्टोरियल को फैलाकर समान फैक्टोरियल पदों को काटें। / Since \(10!=10\times9\times8!\), \(\frac{10!}{8!}=\frac{10\times9\times8!}{8!}=10\times9=90\). Option D is the value of \(6!\), not of the given expression. In exams, expand only up to the common factorial term and cancel it.
परिभाषा के अनुसार \(0!=1\), \(1!=1\) और \(2!=2\times1=2\)। अतः \(0!+1!+2!=1+1+2=4\)। विकल्प A में \(0!\) को शामिल नहीं किया गया है, जबकि \(0!\) का मान सदैव 1 होता है। परीक्षा टिप: छोटे फैक्टोरियल के मान लिखकर फिर जोड़ करें। / By definition, \(0!=1\), \(1!=1\), and \(2!=2\times1=2\). Therefore, \(0!+1!+2!=1+1+2=4\). Option A results from omitting \(0!\), but \(0!\) is always 1. Exam tip: Write the values of small factorials before adding them.
(5!=120) और (4!=24), इसलिए अंतर (96) है। घटाने से पहले दोनों फैक्टोरियल अलग निकालें। / (5!=120) and (4!=24), so the difference is (96). Find both factorials separately before subtracting.
यहाँ \(6!=720\) और \(3!=6\) है। अतः \(\frac{6!}{3!\,3!}=\frac{720}{6\times6}=\frac{720}{36}=20\)। विकल्प 18 तब मिल सकता है जब फैक्टोरियल या हर का गुणन गलत किया जाए। परीक्षा सुझाव: पहले छोटे फैक्टोरियल का मान लिखें, फिर गुणा और भाग करें। / Here, \(6!=720\) and \(3!=6\). Therefore, \(\frac{6!}{3!\,3!}=\frac{720}{6\times6}=\frac{720}{36}=20\). A value such as 18 may result from evaluating a factorial or multiplying the denominator incorrectly. Exam tip: write the values of smaller factorials first, then multiply and divide.
\(4!=4\times3\times2\times1=24\) और \(2!=2\times1=2\) होता है। इसलिए \(\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12\)। इसे \(\frac{4\times3\times2!}{2!}=4\times3=12\) के रूप में भी सरल किया जा सकता है। विकल्प 8 केवल \(4\times2\) लेने से मिलता है, जो फैक्टोरियल का सही विस्तार नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में पहले बड़े फैक्टोरियल को \(r!\) तक फैलाकर समान पदों को काटें। / \(4!=4\times3\times2\times1=24\) and \(2!=2\times1=2\). Hence, \(\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12\). It can also be simplified as \(\frac{4\times3\times2!}{2!}=4\times3=12\). Option 8 would result from incorrectly using \(4\times2\), which is not the correct factorial expansion. Exam tip: In \(\frac{n!}{r!}\), expand the larger factorial up to \(r!\) and cancel the common factor.
(3!=6) और (2!=2), इसलिए गुणनफल (12) है। फैक्टोरियल को सामान्य गुणा में बदलकर हल करें। / (3!=6) and (2!=2), so the product is (12). Convert factorials into ordinary multiplication to solve.
क्योंकि \(5!=5\times4\times3!\), इसलिए \(\frac{5!}{3!}=\frac{5\times4\times3!}{3!}=5\times4=20\)। अतः सही विकल्प C है। विकल्प D, \(5!\) का मान है, लेकिन यहाँ \(3!\) से भाग भी दिया गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक पदों को फैलाकर समान फैक्टोरियल को काटें। / Since \(5!=5\times4\times3!\), \(\frac{5!}{3!}=\frac{5\times4\times3!}{3!}=5\times4=20\). Therefore, option C is correct. Option D is the value of \(5!\), but the expression also requires division by \(3!\). Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel the common factorial.
\(n!\) में \(n\) से 1 तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणन होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B योग दर्शाता है, गुणन नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल में क्रमशः घटते पूर्णांकों का गुणन पहचानें। / In \(n!\), all positive integers from \(n\) down to 1 are multiplied, so option A is correct. Option B represents addition, not factorial multiplication. Exam tip: identify factorial by the descending product ending in 1.
\(9!=9\times8\times7\times6!\), इसलिए \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7\)। अंतिम शेष संख्या के बाद वाले फैक्टोरियल से भाग दें। / \(9!=9\times8\times7\times6!\), so \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7\). Divide by the factorial after the last required factor.
\(\frac{8!}{7!}=8\) क्योंकि \(8!=8\times7!\)। ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल विस्तार छोटा रखें। / \(\frac{8!}{7!}=8\) because \(8!=8\times7!\). Keep the factorial expansion short in such questions.
यहाँ 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 और 2! = 2 × 1 = 2 है। अतः 4! + 2! = 24 + 2 = 26। 28 तब मिलता यदि 4! को गलती से 26 मान लिया जाए; फैक्टोरियल का मान पहले निकालकर फिर जोड़ें। परीक्षा टिप: ! केवल उसके ठीक पहले वाली संख्या का फैक्टोरियल दर्शाता है। / Here, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 and 2! = 2 × 1 = 2. Therefore, 4! + 2! = 24 + 2 = 26. The value 28 can result from an incorrect evaluation of 4!; evaluate each factorial first and then add. Exam tip: the symbol ! denotes the factorial of the number immediately before it.
फैक्टोरियल की परिभाषा के अनुसार \(n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times1\) होता है। शेष गुणनफल \((n-1)!\) है, इसलिए \(n!=n(n-1)!\) होगा। विकल्प A में जोड़ है, जबकि फैक्टोरियल में क्रमिक धनात्मक पूर्णांकों का गुणन होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को छोटा करने के लिए \(n!=n(n-1)!\) का प्रयोग करें। / By definition, \(n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times1\). The remaining product is \((n-1)!\), so \(n!=n(n-1)!\). Option A uses addition, whereas a factorial is a product of consecutive positive integers. Exam tip: use \(n!=n(n-1)!\) to simplify factorial expressions.
\(\frac{7!}{5!,2!}=\frac{7\times6}{2}=21\)। पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक तोड़ें। / \(\frac{7!}{5!,2!}=\frac{7\times6}{2}=21\). Break the larger factorial down to the smaller factorial first.
क्योंकि \(6!=6\times5\times4!\), इसलिए \(\frac{6!}{4!}=\frac{6\times5\times4!}{4!}=6\times5=30\)। अतः सही उत्तर 30 है। 120, \(5!\) का मान है, इसलिए यह इस भागफल का मान नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(6!=6\times5\times4!\), \(\frac{6!}{4!}=\frac{6\times5\times4!}{4!}=6\times5=30\). Therefore, 30 is correct. The value 120 is \(5!\), not the value of this quotient. Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common terms.
यहाँ 1! = 1 और 3! = 3 × 2 × 1 = 6 है। अतः 1! + 3! = 1 + 6 = 7। विकल्प 6 केवल 3! का मान है, उसमें 1! जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें, फिर दिए गए संक्रिया-चिह्न के अनुसार गणना करें। / Here, 1! = 1 and 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Therefore, 1! + 3! = 1 + 6 = 7. Option 6 is only the value of 3!; it does not include 1!. Exam tip: Evaluate each factorial first, then perform the indicated operation.
