क्रमगुणित के अनुसार \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\)। अतः \(n=6\) है। \(5!=120\) होता है, जबकि \(7!=5040\) होता है, इसलिए ये मान सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(1!\) से \(7!\) तक के क्रमगुणित मान याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / By the definition of factorial, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\). Therefore, \(n=6\). Since \(5!=120\) and \(7!=5040\), those values cannot satisfy the condition. Exam tip: Memorising factorial values from \(1!\) to \(7!\) helps solve such questions quickly.
क्योंकि \(5!=5\times4!\), इसलिए \(\frac{5!+4!}{4!}=\frac{5\times4!+4!}{4!}=\frac{6\times4!}{4!}=6\)। अतः सही उत्तर 6 है। विकल्प 5 तब मिलता यदि अंश में केवल \(5!\) होता और \(4!\) जोड़ा न गया होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में समान फैक्टरियल को बाहर निकालकर पहले सरल करें। / Since \(5!=5\times4!\), \(\frac{5!+4!}{4!}=\frac{5\times4!+4!}{4!}=\frac{6\times4!}{4!}=6\). Therefore, the correct answer is 6. Option 5 would result if the additional \(4!\) in the numerator were ignored. Exam tip: In factorial fractions, factor out the common factorial before simplifying.
\(6!=6\times5\times4\times3!\), इसलिए दिया गया रूप (6!) है। विस्तार पहचानना क्रमगुणित प्रश्नों में जरूरी है। / \(6!=6\times5\times4\times3!\), so the given form is (6!). Recognizing expansions is important in factorial questions.
क्रमगुणित के अनुसार \(4!=4\times3\times2\times1=24\) और \(3!=3\times2\times1=6\) है। अतः \(4!\times3!=24\times6=144\), इसलिए सही विकल्प C है। \(120\) केवल \(5!\) का मान है, इसलिए वह इस गुणनफल के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालकर फिर गुणा करें। / Using factorial notation, \(4!=4\times3\times2\times1=24\) and \(3!=3\times2\times1=6\). Therefore, \(4!\times3!=24\times6=144\), so option C is correct. \(120\) is the value of \(5!\), not of this product. Exam tip: Evaluate each factorial first, then multiply the results.
\(\frac{10!}{9!}=10\) क्योंकि \(10!=10\times9!\)। ऐसे सवाल में पूरा विस्तार लिखने की जरूरत नहीं होती। / \(\frac{10!}{9!}=10\) because \(10!=10\times9!\). In such questions, full expansion is not needed.
क्रमगुणित के अनुसार 2! = 2 तथा 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 होता है। साथ ही, 1! = 1 है। अतः 2! + 4! - 1! = 2 + 24 - 1 = 25, इसलिए विकल्प C सही है। 24 लेने पर 2! और 1! का प्रभाव छूट जाएगा। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालें, फिर जोड़-घटाव करें। / Using factorial values, 2! = 2 and 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Also, 1! = 1. Therefore, 2! + 4! - 1! = 2 + 24 - 1 = 25, so option C is correct. Choosing 24 would ignore the effect of 2! and 1!. Exam tip: evaluate each factorial first, then perform addition or subtraction.
यहाँ n=4 है, इसलिए n! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24। अतः सही विकल्प 24 है। 16, 4 का वर्ग है, क्रमगुणित का मान नहीं। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए n! निकालते समय n से 1 तक के सभी पूर्णांकों का गुणन करें। / Here n=4, so n! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Therefore, 24 is the correct option. The value 16 is the square of 4, not its factorial. Exam tip: To evaluate n! for a positive integer, multiply all whole numbers from n down to 1.
\(8! = 8\times7\times6!\) होने पर \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7\times6!}{6!\times2}=\frac{56}{2}=28\)। इसलिए सही उत्तर 28 है। 56 निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन उसमें \(2!\) से भाग देना छूट जाता है। परीक्षा टिप: समान क्रमगुणित को पहले काटें, फिर शेष पदों का गुणन करें। / Since \(8! = 8\times7\times6!\), \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7\times6!}{6!\times2}=\frac{56}{2}=28\). Therefore, 28 is correct. The close distractor 56 results from forgetting to divide by \(2!\). Exam tip: cancel the common factorial first, then multiply the remaining terms.
क्रमगुणित के अनुसार, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\) तथा \(1!=1\) होता है। इसलिए \(6!+1!=720+1=721\)। विकल्प 719, \(720-1\) करने पर मिलता है, जबकि प्रश्न में जोड़ दिया गया है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान निकालें, फिर दिए गए चिह्न के अनुसार संक्रिया करें। / Using factorial notation, \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\) and \(1!=1\). Therefore, \(6!+1!=720+1=721\). Option 719 would result from subtracting 1 from 720, but the question requires addition. Exam tip: evaluate each factorial first, then apply the indicated operation.
चूँकि \(9!=9\times8\times7!\), इसलिए \(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times8\times7!}{7!}=9\times8=72\)। विकल्प C, \(90\), तब मिलता यदि गलती से \(9\times10\) लिया जाता। परीक्षा में फैक्टोरियल को इतना ही फैलाएँ कि हर में दिया गया फैक्टोरियल कट जाए। / Since \(9!=9\times8\times7!\), \(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times8\times7!}{7!}=9\times8=72\). Option C, \(90\), could result from incorrectly using \(9\times10\). In exams, expand a factorial only up to the factorial in the denominator so that it cancels directly.
क्रमगुणित की परिभाषा के अनुसार \(8!=8\times7\times6!\) होता है। अतः सही विकल्प \(8\times7\times6!\) है। \(8\times6!\) में गुणक \(7\) छूट जाता है, इसलिए वह \(8!\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!\) को \((n-r)!\) के रूप में लिखते समय बीच के सभी क्रमागत गुणकों को शामिल करें। / By the definition of factorial, \(8!=8\times7\times6!\). Therefore, \(8\times7\times6!\) is correct. In \(8\times6!\), the factor \(7\) is missing, so it is not equal to \(8!\). Exam tip: When expressing \(n!\) in terms of \((n-r)!\), include every consecutive factor in between.
\(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\)। बड़े क्रमगुणित को पिछले क्रमगुणित से गुणा करके निकालें। / \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\). Find a larger factorial by multiplying the previous factorial.
\(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\), इसमें (7) गुणक हैं। (n!) में (n) से (1) तक के गुणक आते हैं। / \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\), which has (7) factors. In (n!), factors run from (n) down to (1).
यहाँ \(2!=2\) और \(3!=6\) है। अतः \(\frac{2!+3!}{2!}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4\)। विकल्प 5 तब मिल सकता है जब कोई \(3!\) को गलत तरीके से 8 मान ले। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें, फिर दिए गए संक्रियाएँ करें। / Here, \(2!=2\) and \(3!=6\). Therefore, \(\frac{2!+3!}{2!}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4\). Option 5 may result from incorrectly taking \(3!\) as 8. Exam tip: evaluate each factorial first, then perform the indicated operations.
क्योंकि \(5!=5\times4!\), इसलिए \(\frac{5!}{4!}=5\)। अतः दिया गया व्यंजक \(5+1=6\) है। \(5!\) और \(4!\) को अलग-अलग पूरा निकालना आवश्यक नहीं है; \(4!\) को सीधे काटा जा सकता है। परीक्षा टिप: क्रमागत फैक्टोरियल में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखकर सरल करें। / Since \(5!=5\times4!\), we get \(\frac{5!}{4!}=5\). Therefore, the given expression is \(5+1=6\). It is not necessary to evaluate both factorials completely; \(4!\) cancels directly. Exam tip: For consecutive factorials, write the larger factorial in terms of the smaller one before simplifying.
फैक्टोरियल की परिभाषा के अनुसार \(8!=8\times 7\times 6\times\cdots\times 1\) होता है। चूँकि \(7!=7\times 6\times\cdots\times 1\), इसलिए \(8!=8\times 7!\)। विकल्प \(8\times 6!\) में 7 का गुणन नहीं है, इसलिए वह \(8!\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!=n\times (n-1)!\) पहचान का प्रयोग करें। / By the definition of factorial, \(8!=8\times 7\times 6\times\cdots\times 1\). Since \(7!=7\times 6\times\cdots\times 1\), we get \(8!=8\times 7!\). The expression \(8\times 6!\) misses the factor 7, so it is not equal to \(8!\). Exam tip: use the identity \(n!=n\times (n-1)!\).
यहाँ \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\) तथा परिभाषा के अनुसार \(0! = 1\) होता है। अतः \(3!+0! = 6+1 = 7\)। विकल्प 6 केवल \(3!\) का मान है; उसमें \(0!\) को नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: \(0!\) का मान हमेशा 1 याद रखें। / Here, \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\), and by definition \(0! = 1\). Therefore, \(3!+0! = 6+1 = 7\). Option 6 is only the value of \(3!\); it does not include \(0!\). Exam tip: Always remember that \(0! = 1\).
पहले कोष्ठक के अंदर की गणना करें: \(3+1=4\)। अब \(4!=4\times3\times2\times1=24\) होगा। इसलिए सही उत्तर 24 है। \(3!=6\) होता है, इसलिए 6 चुनना कोष्ठक के अंदर के जोड़ को नजरअंदाज करने की गलती होगी। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल लगाने से पहले कोष्ठक के भीतर का मान हमेशा निकालें। / First evaluate the expression inside the brackets: \(3+1=4\). Then \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, the correct answer is 24. Choosing 6 would mean using \(3!\) and ignoring the addition inside the brackets. Exam tip: always simplify the expression inside brackets before applying factorial.
दिया है कि \(n!=120\), अर्थात \(n\) का फैक्टोरियल 120 है। \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\), इसलिए \(n=5\)। \(4!=24\) होता है, इसलिए विकल्प \(4\) सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(3!\) से \(6!\) तक के फैक्टोरियल मान याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / Given \(n!=120\), the factorial of \(n\) is 120. Since \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\), \(n=5\). In contrast, \(4!=24\), so option \(4\) is not correct. Exam tip: Memorising factorial values from \(3!\) to \(6!\) helps solve such questions quickly.
\(4!=4\times3\times2\times1=24\) तथा परिभाषा के अनुसार \(0!=1\) होता है। अतः \(\frac{4!}{0!}=\frac{24}{1}=24\)। विकल्प 1 गलत है क्योंकि वह केवल \(0!\) का मान है, पूरा भागफल नहीं। परीक्षा टिप: \(0!=1\) को हमेशा याद रखें। / \(4!=4\times3\times2\times1=24\), and by definition \(0!=1\). Therefore, \(\frac{4!}{0!}=\frac{24}{1}=24\). Option 1 is incorrect because it is the value of \(0!\) only, not of the complete quotient. Exam tip: always remember that \(0!=1\).
क्योंकि \(7!=7\times6!\), अतः \(\frac{7!}{7}=\frac{7\times6!}{7}=6!\)। \(5!\) प्राप्त करने के लिए \(6!\) को भी 6 से भाग देना पड़ता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(n!=n\times(n-1)!\) का उपयोग करके फैक्टोरियल वाले व्यंजकों को सरल करें। / Since \(7!=7\times6!\), \(\frac{7!}{7}=\frac{7\times6!}{7}=6!\). Getting \(5!\) would require dividing \(6!\) by 6 as well, so it is not correct. Exam tip: use \(n!=n\times(n-1)!\) to simplify factorial expressions.
\(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\)। (5!=120) याद हो तो \(6!=6\times120\) करें। / \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\). If you remember (5!=120), then use \(6!=6\times120\).
\(5!=5\times4\times3!\), इसलिए दिया गया रूप (5!) है। फैक्टोरियल विस्तार को पहचानना जरूरी है। / \(5!=5\times4\times3!\), so the given form is (5!). Recognizing factorial expansion is important.
क्योंकि \(3!=3\times2!\), इसलिए \(\frac{3!}{2!}=\frac{3\times2!}{2!}=3\)। अतः सही उत्तर 3 है। \(6\) केवल \(3!\) का मान है; इसमें \(2!\) से भाग नहीं दिया गया है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) का नियम याद रखें। / Since \(3!=3\times2!\), \(\frac{3!}{2!}=\frac{3\times2!}{2!}=3\). Therefore, the correct answer is 3. The value 6 is only the value of \(3!\); it ignores division by \(2!\). Exam tip: Remember that \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
\(4!=4\times3\times2\times1=24\), इसलिए (x=24)। चर वाले सवाल में पहले फैक्टोरियल का मान निकालें। / \(4!=4\times3\times2\times1=24\), so (x=24). In variable-based questions, first evaluate the factorial.
(4!=24) और (3!=6), इसलिए अंतर (18) है। फैक्टोरियल चिन्ह को साधारण घटाव न समझें। / (4!=24) and (3!=6), so the difference is (18). Do not treat the factorial sign as ordinary subtraction.
\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)। अतः \(\frac{5!}{5}=\frac{120}{5}=24\)। इसलिए सही उत्तर 24 है। 20 लेने पर \(5!\) के सभी गुणकों का सही गुणन नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: \(n! = n \times (n-1)!\) का उपयोग करके फैक्टोरियल वाले भिन्नों को जल्दी सरल करें। / \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\). Therefore, \(\frac{5!}{5}=\frac{120}{5}=24\). Hence, 24 is the correct answer. Choosing 20 results from not multiplying all the factors of \(5!\) correctly. Exam tip: use \(n! = n \times (n-1)!\) to simplify factorial fractions quickly.
\(6!=6\times5\times4!\), इसलिए दिया गया गुणनफल (6!) है। फैक्टोरियल को बीच से भी पहचाना जा सकता है। / \(6!=6\times5\times4!\), so the given product is (6!). A factorial can be identified from the middle expansion too.
A. हर धनात्मक पूर्णांक n के लिए, \(n! = n\times(n-1)!\)
Explanation
Simple Explanation
फैक्टोरियल की पुनरावर्ती परिभाषा \(n! = n\times(n-1)!\) है। उदाहरणतः \(4!=4\times3!\)। विकल्प B में जोड़ गलत है और \(0!=1\), 0 नहीं। परीक्षा में 0! का विशेष मान अवश्य याद रखें। / The recursive factorial rule is \(n! = n\times(n-1)!\); for example, \(4!=4\times3!\). Option B incorrectly uses addition, and \(0!=1\), not 0. Exam tip: always remember the special value of 0!
\(\frac{6!}{2!,4!}=\frac{6\times5}{2}=15\)। बड़े फैक्टोरियल से छोटे फैक्टोरियल को काटें। / \(\frac{6!}{2!,4!}=\frac{6\times5}{2}=15\). Cancel the smaller factorial from the larger factorial.
