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दिया है \(a_n=\frac{3n}{2}\)। चौथा पद ज्ञात करने के लिए \(n=4\) रखें: \(a_4=\frac{3\times4}{2}=\frac{12}{2}=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। 5 प्राप्त हो सकता है यदि सूत्र में \(n\) के स्थान पर गलत मान रखा जाए। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद के लिए सामान्य पद के सूत्र में उसी पद की संख्या रखें। / Given \(a_n=\frac{3n}{2}\). To find the fourth term, substitute \(n=4\): \(a_4=\frac{3\times4}{2}=\frac{12}{2}=6\). Therefore, the correct answer is 6. A value such as 5 may result from substituting an incorrect value of \(n\). Exam tip: to find a particular term, substitute its term number in the general-term formula.
अनुक्रम का पहला पद 5 है और प्रत्येक अगला पद पिछले पद का 5 गुना है: \(5,5^2,5^3,5^4,\ldots\)। इसलिए, जब \(n=1\) से गिनती शुरू होती है, तब सामान्य पद \(a_n=5^n\) होगा। \(a_n=5^{n-1}\) में पहला पद \(1\) आता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए \(n=1\) रखकर नियम की जाँच करें। / The first term is 5, and each successive term is multiplied by 5: \(5,5^2,5^3,5^4,\ldots\). Therefore, when counting starts at \(n=1\), the general term is \(a_n=5^n\). The rule \(a_n=5^{n-1}\) gives 1 as the first term, so it is incorrect. Exam tip: substitute \(n=1\) to check a proposed general rule.
दिया है कि प्रत्येक पद के लिए \(a_n=5^n\)। इसलिए \(n=2\) रखने पर \(a_2=5^2=25\) प्राप्त होता है। \(10\) निकटतम भ्रामक विकल्प हो सकता है, लेकिन वह \(5\) का वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद में दिया गया सूचकांक सीधे \(n\) के स्थान पर रखकर मान ज्ञात करें। / The general term is \(a_n=5^n\). Substituting \(n=2\) gives \(a_2=5^2=25\). The nearby distractor \(10\) is incorrect because it is not the square of \(5\). Exam tip: To find a particular term from a general rule, substitute the term number for \(n\).
(n=1) पर (11) और (n=2) पर (8) मिलता है, इसलिए \(a_n=14-3n\) है। परीक्षा में घटते अंतर को ऋणात्मक समझें। / At (n=1) it gives (11), and at (n=2) it gives (8), so \(a_n=14-3n\). In exams, treat a decreasing difference as negative.
दिया गया नियम है कि \(a_n=14-3n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=14-3(3)=14-9=5\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 5 है। 7 प्राप्त करना 14 में से केवल 3 घटाने की गलती होगी। परीक्षा टिप: किसी पद का मान निकालते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर गुणा और घटाव करें। / Using the rule \(a_n=14-3n\), substitute \(n=3\): \(a_3=14-3(3)=14-9=5\). Therefore, 5 is correct. Getting 7 would result from subtracting only 3 from 14 instead of calculating \(3\times3\). Exam tip: substitute the term number first, then perform multiplication before subtraction.
\(a_n=n^2+3\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(4,7,12,19\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=n^2+3\) है। \(a_n=3n+1\) से पहले दो पद 4 और 7 मिलते हैं, लेकिन तीसरा पद 10 आता है, 12 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखें। / For \(a_n=n^2+3\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(4,7,12,19\), respectively. Hence, \(a_n=n^2+3\) is the correct general term. Although \(a_n=3n+1\) gives the first two terms 4 and 7, its third term is 10, not 12. Exam tip: test a proposed general term using at least the first three values of \(n\).
दिया है \(a_n=n^2+3\)। पाँचवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=5^2+3=25+3=28\)। अतः सही उत्तर \(28\) है। \(25\) केवल \(5^2\) का मान है; उसमें \(+3\) जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पद-संख्या रखने के बाद घात का मान पहले निकालें। / Given \(a_n=n^2+3\), substitute \(n=5\) to find the fifth term: \(a_5=5^2+3=25+3=28\). Therefore, the correct answer is \(28\). \(25\) is only the value of \(5^2\); the \(+3\) must also be added. Exam tip: Substitute the term number first, then evaluate the exponent before completing the calculation.
पहला पद (3) और अंतर (5) है, इसलिए \(a_n=5n-2\) है। परीक्षा में अंतर को (n) का गुणांक मानें। / The first term is (3) and the difference is (5), so \(a_n=5n-2\). In exams, take the difference as the coefficient of (n).
\(a_n=3n-2\) रैखिक रूप \(pn+q\) में है। यहाँ \(a_{n+1}-a_n=3\), जो हर पद के लिए स्थिर है; इसलिए यह समांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर स्थिर नहीं होता। परीक्षा में लगातार पदों का अंतर जाँचें। / \(a_n=3n-2\) has the linear form \(pn+q\). Here, \(a_{n+1}-a_n=3\), which is constant for every term, so it is an arithmetic progression. For \(n^2+1\), the differences are not constant. Exam tip: test consecutive-term differences.
हर पद (11) का गुणज है, इसलिए \(a_n=11n\) सही है। परीक्षा में समान गुणजों को सीधे पहचानें। / Each term is a multiple of (11), so \(a_n=11n\) is correct. In exams, identify equal multiples directly.
A. समान्तर श्रेणी, जिसका सार्वांतर 5 है/An arithmetic progression with common difference 5
Explanation
Simple Explanation
\(a_n=5n-3\) में \(n\) का गुणांक 5 है, इसलिए लगातार पदों का अंतर \(a_{n+1}-a_n=5\) स्थिर रहता है। अतः यह समान्तर श्रेणी है। ज्यामितीय श्रेणी में अनुपात स्थिर होता है। परीक्षा में \(a_{n+1}-a_n\) जाँचें। / In \(a_n=5n-3\), the difference \(a_{n+1}-a_n=5\) is constant, so it is an arithmetic progression. A geometric progression requires a constant ratio, not a constant difference. Exam tip: test consecutive-term differences first.
हर पद (4) का गुणज है, इसलिए \(a_n=4n\) है। परीक्षा में गुणज वाले अनुक्रमों को (kn) से जाँचें। / Each term is a multiple of (4), so \(a_n=4n\). In exams, check multiple-based sequences using (kn).
पहला पद (20) और अंतर (-3) है, इसलिए \(a_n=23-3n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में अंतर को ऋणात्मक मानें। / The first term is (20) and the difference is (-3), so \(a_n=23-3n\). In exams, treat the common difference as negative in decreasing sequences.
दिया है कि \(a_n=2^n-1\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=2^4-1=16-1=15\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 15 है। 16 निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह \(2^4\) है; उसमें से 1 घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखें, फिर गणना के क्रम का पालन करें। / Given \(a_n=2^n-1\), substitute \(n=4\): \(a_4=2^4-1=16-1=15\). Therefore, 15 is the correct option. The closest distractor, 16, is only the value of \(2^4\); the subtraction of 1 must still be done. Exam tip: substitute the term number first, then follow the order of operations.
ये पद (4) गुना वर्ग संख्याएँ हैं, इसलिए \(a_n=4n^2\) है। परीक्षा में (n=1,2,3) रखकर मिलान करें। / These terms are (4) times square numbers, so \(a_n=4n^2\). In exams, substitute (n=1,2,3) to match.
दिया है, \(a_n=100-5n\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=100-5(6)=100-30=70\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 70 है। 65 तब आ सकता है जब 5 को केवल एक बार घटा दिया जाए, पर यहाँ \(5\times6\) घटाना है। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र में \(n\) का मान सीधे रखकर गुणा पहले करें। / Given \(a_n=100-5n\), substitute \(n=6\): \(a_6=100-5(6)=100-30=70\). Therefore, 70 is the correct option. The value 65 may result from subtracting 5 only once, but here \(5\times6\) must be subtracted. Exam tip: To find a term from an explicit rule, substitute the given value of \(n\) and perform multiplication first.
यह त्रिभुज संख्याओं का अनुक्रम है। परीक्षा में (1,3,6,10) देखकर (\frac{n(n+1)}{2}) जाँचें। / This is the sequence of triangular numbers. In exams, check (\frac{n(n+1)}{2}) when you see (1,3,6,10).
यहाँ \(n=4\) रखने पर \(a_4=\frac{4(4+1)}{2}=\frac{4\times5}{2}=10\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 10 है। 12 प्राप्त करना अक्सर जोड़ या गुणा में गलती के कारण होता है। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद में दिए गए उपसूचक का मान सीधे \(n\) के स्थान पर रखकर चरणों में सरल करें। / Substitute \(n=4\): \(a_4=\frac{4(4+1)}{2}=\frac{4\times5}{2}=10\). Therefore, the correct answer is 10. Getting 12 usually results from an error in addition or multiplication. Exam tip: for a general term, substitute the given subscript for \(n\) and simplify step by step.
पहला पद (9) और अंतर (5) है, इसलिए \(a_n=5n+4\) है। परीक्षा में पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (9) and the difference is (5), so \(a_n=5n+4\). In exams, find the constant part from the first term.
विकल्प A में \(a_n\) केवल n के रूप में लिखा है, इसलिए कोई भी पद सीधे निकाला जा सकता है। B, C और D में पिछले पद की आवश्यकता होती है, अतः वे पुनरावर्ती नियम हैं। परीक्षा टिप: “सीधे n से” दिखे तो explicit rule चुनें। / In option A, \(a_n\) is written only in terms of n, so any term can be found directly. B, C and D require a previous term, so they are recursive rules. Exam tip: a rule involving only n is an explicit rule.
यह एक समान्तर अनुक्रम है, जिसमें पहला पद 12 और सार्वांतर 12 है। जब \(n=1\), तब \(a_n=12n=12\); \(n=2\) पर 24 और \(n=3\) पर 36 मिलता है। इसलिए सही स्पष्ट नियम \(a_n=12n\) है। \(a_n=24n\) में पहला पद 24 होगा, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: नियम जाँचने के लिए \(n=1\) और \(n=2\) रखें। / This is an arithmetic sequence with first term 12 and common difference 12. For \(n=1\), \(a_n=12n=12\); for \(n=2\), it gives 24; and for \(n=3\), it gives 36. Hence, the correct explicit rule is \(a_n=12n\). The rule \(a_n=24n\) would give 24 as the first term, so it is incorrect. Exam tip: substitute \(n=1\) and \(n=2\) to check an explicit rule.
\(a_n=2n-1\) विषम प्राकृतिक संख्याएँ देता है। जाँच के लिए \(n=1\) रखने पर \(a_1=1\) और हर अगला पद 2 बढ़ता है। \(2n+1\) से क्रम 3 से शुरू होगा। परीक्षा में पहले पद से नियम की जाँच करें। / \(a_n=2n-1\) generates the odd natural numbers. Checking \(n=1\) gives \(a_1=1\), and each next term increases by 2. \(2n+1\) would start with 3 instead. In exams, verify a rule using the first term.
जब (n=1), तब मान (5) चाहिए, इसलिए \(a_n=n+4\) है। परीक्षा में लगातार संख्याओं में पहले पद से (n) का संबंध देखें। / When (n=1), the value should be (5), so \(a_n=n+4\). In exams, relate (n) to the first term in consecutive-number sequences.
दिया गया सामान्य पद है: \(a_n=n+4\)। \(n=7\) रखने पर \(a_7=7+4=11\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 11 है। 10 तब मिलता यदि 4 के स्थान पर 3 जोड़ा जाता। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद का मान निकालते समय सूत्र में \(n\) के स्थान पर दिया गया पदक्रमांक रखें। / The general term is \(a_n=n+4\). Substituting \(n=7\), we get \(a_7=7+4=11\). Therefore, 11 is the correct option. The value 10 would result if 3 were added instead of 4. Exam tip: To find a particular term, substitute its term number for \(n\) in the general rule.
इसका नियम \(a_n=3n-2\) है और (3n-2=16) से (n=6) है। परीक्षा में पहले सामान्य पद बनाकर पद संख्या निकालें। / Its rule is \(a_n=3n-2\), and (3n-2=16) gives (n=6). In exams, form the general term first to find the term number.
(3n-2=13) से (n=5) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या पूछी जाए तो सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (3n-2=13), we get (n=5). In exams, when term number is asked, equate the formula to the given value.
यहाँ \(n=1,2,3,4\) रखने पर \(2n^2\) से क्रमशः \(2,8,18,32\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=2n^2\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(a_n=4n\) केवल दूसरा पद 8 देता है, लेकिन \(n=1\) पर 4 देता है, 2 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(2n^2\) gives \(2,8,18,32\), respectively. Hence, the correct general term is \(a_n=2n^2\). The close distractor \(a_n=4n\) gives 8 for the second term, but it gives 4 rather than 2 when \(n=1\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसका प्रथम पद \(\frac{1}{2}\) और सार्वांतर \(\frac{1}{2}\) है। अतः \(a_n=\frac{1}{2}+(n-1)\frac{1}{2}=\frac{n}{2}\)। जाँच करें: \(n=1\) पर \(a_1=\frac{1}{2}\) और \(n=2\) पर \(a_2=1\) मिलता है। \(a_n=n\) लेने पर पहला पद 1 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद को पहले दो या तीन पदों के लिए रखकर अवश्य जाँचें। / This is an arithmetic progression with first term \(\frac{1}{2}\) and common difference \(\frac{1}{2}\). Therefore, \(a_n=\frac{1}{2}+(n-1)\frac{1}{2}=\frac{n}{2}\). Check: for \(n=1\), \(a_1=\frac{1}{2}\), and for \(n=2\), \(a_2=1\). The rule \(a_n=n\) gives the first term as 1, so it is incorrect. Exam tip: substitute the first two or three values of \(n\) to verify a general term.
दिया है \(a_n=\frac{n}{2}\)। छठा पद ज्ञात करने के लिए \(n=6\) रखने पर \(a_6=\frac{6}{2}=3\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 3 है। \(6\) चुनना गलत होगा, क्योंकि सूत्र में \(n\) को 2 से विभाजित करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद के लिए सूत्र में उसके उपसूचक का मान रखें। / Given \(a_n=\frac{n}{2}\). For the sixth term, substitute \(n=6\): \(a_6=\frac{6}{2}=3\). Therefore, the correct answer is 3. Choosing \(6\) would ignore the division by 2 in the formula. Exam tip: to find a particular term, substitute its subscript into the general rule.
अंतर (8) है और (n=1) पर (5) चाहिए, इसलिए \(a_n=8n-3\) है। परीक्षा में पहले पद से स्थिर संख्या निकालें। / The difference is (8), and at (n=1) the value must be (5), so \(a_n=8n-3\). In exams, find the constant using the first term.
