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दिए गए नियम में n के स्थान पर 3 रखने पर a_3=33-2 होता है। क्योंकि 33=27, इसलिए a_3=27-2=25। विकल्प 27 केवल 33 का मान है; उसमें से 2 घटाना अभी बाकी है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले n का मान नियम में रखें, फिर घात का मान निकालकर शेष संक्रिया करें। / Substitute n=3 in the given rule: a_3=33-2. Since 33=27, a_3=27-2=25. Option 27 is only the value of 33; the subtraction of 2 has not yet been done. Exam tip: substitute the term number first, evaluate the exponent, and then perform the remaining operation.
\(2n^2+1\) रखने पर (3,9,19,33) मिलते हैं। परीक्षा में वर्ग वाले नियम को पहले चार पदों से मिलाएँ। / Using \(2n^2+1\) gives (3,9,19,33). In exams, match the square-based rule with the first four terms.
\(a_n=5n-2\) में \(n\) का गुणांक स्थिर है, इसलिए लगातार पदों का अंतर \(a_{n+1}-a_n=5\) रहता है। अतः यह अंकगणितीय अनुक्रम है। परीक्षा में सामान्य पद के \(n\) के गुणांक को सामान्य अंतर पहचानें। / In \(a_n=5n-2\), the difference of consecutive terms is \(a_{n+1}-a_n=5\), which is constant. Hence it is an arithmetic progression, not a geometric one. Exam tip: for a linear rule \(an+b\), \(a\) is the common difference.
पहला पद (15) और अंतर (10) है, इसलिए \(a_n=10n+5\) है। परीक्षा में अंतर को गुणांक और पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (15) and the difference is (10), so \(a_n=10n+5\). In exams, use the difference as the coefficient and find the constant from the first term.
स्पष्ट नियम \(a_n=f(n)\) में \(n\) पद का क्रमांक होता है। जैसे, \(n=1\) रखने पर पहला पद और \(n=2\) रखने पर दूसरा पद मिलता है। स्थिर अंतर अलग गुण है। परीक्षा में \(n\) को हमेशा पद का स्थान समझें। / In \(a_n=f(n)\), \(n\) gives the term’s position. Substituting \(n=1\) gives the first term, while \(n=2\) gives the second term. The common difference is a separate property. Exam tip: treat \(n\) as the term number.
\(\frac{n+1}{2}\) से \(1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2}\) मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से मिलाएँ। / \(\frac{n+1}{2}\) gives \(1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2}\). In exams, match fractional terms using small (n) values.
दिया है \(a_n=\frac{n+1}{2}\)। \(a_5\) ज्ञात करने के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\)। इसलिए सही विकल्प 3 है। विकल्प 2 प्राप्त करना \(n+1\) को सही तरह से जोड़ने में त्रुटि से हो सकता है। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद के सूत्र में पद संख्या को सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=\frac{n+1}{2}\). To find \(a_5\), substitute \(n=5\): \(a_5=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\). Therefore, 3 is the correct option. Choosing 2 may result from incorrectly adding \(n+1\). Exam tip: substitute the term number carefully into the general-term formula.
इसका नियम \(a_n=6n-5\) है और (6n-5=31) से (n=6) है। परीक्षा में सामान्य पद बनाकर पद संख्या निकालें। / Its rule is \(a_n=6n-5\), and (6n-5=31) gives (n=6). In exams, form the general term to find the term number.
31 के बराबर पद ज्ञात करने के लिए \(6n-5=31\) रखें। इससे \(6n=36\), अतः \(n=6\) मिलता है। इसलिए 31 अनुक्रम का छठा पद है। \(n=5\) रखने पर मान 25 आता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पद संख्या पूछे जाने पर दिए गए पद के मान को सामान्य पद के सूत्र के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / To find the term equal to 31, set \(6n-5=31\). This gives \(6n=36\), so \(n=6\). Hence, 31 is the sixth term of the sequence. Substituting \(n=5\) gives 25, so it is a close but incorrect option. Exam tip: when asked for a term number, equate the required value to the general term and solve for \(n\).
(n=1) पर (45) और (n=2) पर (40) मिलता है, इसलिए \(a_n=50-5n\) है। परीक्षा में घटते समान अंतर का नियम बनाते समय (n=1) जरूर जाँचें। / At (n=1), it gives (45), and at (n=2), it gives (40), so \(a_n=50-5n\). In exams, always check (n=1) when forming a decreasing rule.
दिया है: \(a_n=50-5n\)। सातवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=7\) रखें: \(a_7=50-5(7)=50-35=15\)। अतः सही उत्तर 15 है। 20 प्राप्त करने पर सामान्यतः \(5\times7\) की गणना या घटाव में त्रुटि हुई होती है। परीक्षा टिप: किसी स्पष्ट नियम में पद संख्या का मान सीधे \(n\) के स्थान पर रखकर क्रम से गणना करें। / Given \(a_n=50-5n\), substitute \(n=7\) to find the seventh term: \(a_7=50-5(7)=50-35=15\). Therefore, 15 is correct. Getting 20 usually indicates an error in calculating \(5\times7\) or in subtraction. Exam tip: For an explicit rule, substitute the term number for \(n\) and simplify step by step.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^2+2n\) से क्रमशः \(3,8,15,24\) प्राप्त होते हैं। अतः यही सही सामान्य पद है। निकट विकल्प \(a_n=n^2+1\) में \(n=1\) पर पहला पद \(2\) आता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^2+2n\) gives \(3,8,15,24\), respectively. Therefore, it is the correct general term. The close distractor \(a_n=n^2+1\) gives \(2\) when \(n=1\), so it is incorrect. Exam tip: verify a general term using at least the first three terms.
यहाँ n=4 रखने पर a_4=42+2(4)=16+8=24 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 24 है। 20 केवल 42+4 लेने पर आएगा, जो दिए गए नियम में 2n के स्थान पर n लेने की गलती है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय n के स्थान पर दिया गया पदक्रमांक पूरे व्यंजक में रखें। / Substitute n=4: a_4=42+2(4)=16+8=24. Therefore, 24 is the correct answer. The value 20 results from incorrectly using n instead of 2n in the second term. Exam tip: when finding a term, substitute the term number into every part of the expression.
इस अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 2 गुना है, इसलिए यह गुणोत्तर अनुक्रम है। जब \(n=1\) हो, तब \(a_n=2^{n+1}=2^2=4\) मिलता है; \(n=2\) पर 8 और \(n=3\) पर 16 मिलता है। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=2^{n+1}\) है। विकल्प \(a_n=4n\) का पहला पद 4 है, लेकिन दूसरा पद 8 के बाद तीसरा पद 12 होगा, 16 नहीं। परीक्षा टिप: घात वाले अनुक्रम में पहले दो पद रखकर सूत्र की जाँच करें। / Each term is twice the preceding term, so this is a geometric sequence. For \(n=1\), \(a_n=2^{n+1}=2^2=4\); for \(n=2\), it gives 8, and for \(n=3\), it gives 16. Hence, the correct general term is \(a_n=2^{n+1}\). Although \(a_n=4n\) gives the first two terms as 4 and 8, its third term is 12, not 16. Exam tip: test a proposed rule using the first two or three terms.
दिया है \(a_n=2^{n+1}\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=2^{3+1}=2^4=16\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(16\) है। \(8\) तब मिलता यदि घातांक में केवल \(n\) होता, अर्थात \(2^3\)। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान पूरे घातांक में सावधानी से रखिए। / Given \(a_n=2^{n+1}\), substitute \(n=3\): \(a_3=2^{3+1}=2^4=16\). Hence, \(16\) is correct. \(8\) would result from using \(2^3\) and incorrectly ignoring the \(+1\) in the exponent. Exam tip: substitute the term number into the entire exponent before simplifying.
अंतर (3) है और पहला पद (10) है, इसलिए \(a_n=3n+7\) है। परीक्षा में पहले दो पदों पर नियम जाँचें। / The difference is (3) and the first term is (10), so \(a_n=3n+7\). In exams, check the rule on the first two terms.
समांतर श्रेणी का स्पष्ट नियम \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(4+3(n-1)=3n+1\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में सार्वांतर 4 है। परीक्षा में \(n=1\) रखकर प्रथम पद जाँचें। / The explicit rule of an AP is \(a_n=a_1+(n-1)d\). Here, \(4+3(n-1)=3n+1\), so option A is correct. Option B has common difference 4. Exam tip: substitute \(n=1\) to check the first term.
(n=1,2,3,4) रखने पर (0,1,3,6) मिलते हैं। परीक्षा में त्रिभुज संख्या जैसे विकल्पों को छोटे (n) से जाँचें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (0,1,3,6). In exams, test triangular-number-like options with small (n).
दिया है \(a_n=\frac{n(n-1)}{2}\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=\frac{5(5-1)}{2}=\frac{5\times4}{2}=10\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 10 है। 15 तब मिलता यदि \(\frac{n(n+1)}{2}\) वाला सूत्र प्रयोग किया जाता, जो यहाँ दिया नहीं है। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद में मान ज्ञात करने के लिए पहले दिए गए उपसूचक का मान \(n\) के स्थान पर रखें। / Given \(a_n=\frac{n(n-1)}{2}\), substitute \(n=5\): \(a_5=\frac{5(5-1)}{2}=\frac{5\times4}{2}=10\). Hence, 10 is the correct option. The value 15 would result from using \(\frac{n(n+1)}{2}\), which is not the given rule. Exam tip: to find a particular term from a general rule, first substitute its subscript for \(n\).
पहला पद (8) और अंतर (7) है, इसलिए \(a_n=7n+1\) है। परीक्षा में पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (8) and the difference is (7), so \(a_n=7n+1\). In exams, find the constant part from the first term.
\(a_n=4n-3\) में \(n\) की घात 1 है, इसलिए यह रैखिक सामान्य पद है और इसके क्रमागत पदों का अंतर स्थिर रहता है। \(n^2+1\) द्विघात है। परीक्षा में रैखिक पद पहचानने के लिए \(n\) की सबसे बड़ी घात 1 देखें। / In \(a_n=4n-3\), the highest power of \(n\) is 1, so it is a linear general term and consecutive terms have a constant difference. \(n^2+1\) is quadratic. Exam tip: check whether the highest power of \(n\) is 1.
(n=1) पर (16) और (n=2) पर (12) मिलता है, इसलिए \(a_n=20-4n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में पहला पद मिलाकर नियम जाँचें। / At (n=1) it gives (16), and at (n=2) it gives (12), so \(a_n=20-4n\). In exams, check the rule with the first term in a decreasing sequence.
दिया है कि \(a_n=20-4n\)। चौथा पद ज्ञात करने के लिए \(n=4\) रखें: \(a_4=20-4(4)=20-16=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 8 तब मिलता यदि \(4n\) के स्थान पर केवल 12 घटा दिया जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: किसी भी स्पष्ट नियम में पद संख्या के स्थान पर \(n\) का मान सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=20-4n\). To find the fourth term, substitute \(n=4\): \(a_4=20-4(4)=20-16=4\). Therefore, 4 is the correct answer. Option 8 could result from incorrectly subtracting 12 instead of calculating \(4\times4\). Exam tip: In an explicit rule, substitute the term number carefully for \(n\).
\(a_n=n^3+1\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,9,28,65\) प्राप्त होते हैं। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में तीसरा पद \(10\) आएगा, जबकि दिए गए अनुक्रम का तीसरा पद \(28\) है। परीक्षा में सामान्य पद की जाँच के लिए कम-से-कम पहले तीन पद रखकर मिलान करें। / For \(a_n=n^3+1\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,9,28,65\), respectively. Hence, option B is correct. In option A, the third term would be \(10\), not \(28\). Exam tip: verify a proposed general term by checking at least the first three values of \(n\).
यहाँ सामान्य पद में n के स्थान पर 2 रखें: \(a_2=2^3+1=8+1=9\)। इसलिए सही उत्तर 9 है। विकल्प 8 केवल \(2^3\) का मान है; उसमें दिया गया \(+1\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम का पद निकालते समय पहले n का मान रखें, फिर गणना के क्रम का ध्यान रखें। / Substitute 2 for n in the general term: \(a_2=2^3+1=8+1=9\). Therefore, the correct answer is 9. Option 8 is only the value of \(2^3\); it misses the given \(+1\). Exam tip: while finding a term of a sequence, substitute the value of n first and then follow the order of operations.
ये पूर्ण घन हैं, इसलिए \(a_n=n^3\) है। परीक्षा में (1,8,27,64) को घन संख्याओं के रूप में पहचानें। / These are perfect cubes, so \(a_n=n^3\). In exams, recognize (1,8,27,64) as cube numbers.
दिया है कि \(a_n=n^3\)। तीसरे पद के लिए \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^3=3\times3\times3=27\) मिलता है। विकल्प 9, \(3^2\) का मान है, इसलिए वह घन के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी स्पष्ट नियम में पद संख्या को \(n\) के स्थान पर रखकर सीधे मान निकालें। / Given \(a_n=n^3\). For the third term, substitute \(n=3\): \(a_3=3^3=3\times3\times3=27\). Option 9 is \(3^2\), so it would result from squaring rather than cubing. Exam tip: in an explicit rule, substitute the term number directly for \(n\).
इसका नियम \(a_n=2n-3\) है और (2n-3=15) से (n=9) है। परीक्षा में पहले सामान्य पद बनाकर पद संख्या निकालें। / Its rule is \(a_n=2n-3\), and (2n-3=15) gives (n=9). In exams, form the general term first to find the term number.
(2n-3=15) से (n=9) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या पूछी जाए तो सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (2n-3=15), we get (n=9). In exams, equate the formula to the given value when term number is asked.
हर पद \(\frac{3}{2}\) का अगला गुणज है। परीक्षा में भिन्न गुणजों को (kn) के रूप में लिखें। / Each term is the next multiple of \(\frac{3}{2}\). In exams, write fractional multiples as (kn).
