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B. कम रेखाओं से स्पष्ट और प्रभावी अर्थ देना/Giving clear and effective meaning with few lines
Explanation
Simple Explanation
न्यूनतम रेखा चयन और अर्थ पर आधारित होती है। परीक्षा में कम साधन अधिक प्रभाव याद रखें। / Minimal line is based on selection and meaning. Exam tip: remember more impact with fewer means.
D. वे अनुपात और व्यवस्था सुधारने की गुंजाइश देती हैं/They allow correction of proportion and placement
Explanation
Simple Explanation
हल्की खोज रेखाएं संरचना तय करने में मदद करती हैं। परीक्षा में प्रारंभिक रेखा को योजना समझें। / Light searching lines help decide structure. Exam tip: understand initial line as planning.
D. जब तनाव, ऊर्जा या दृश्य रुचि बढ़ानी हो/When tension, energy, or visual interest is to be increased
Explanation
Simple Explanation
दिशा विरोध रचना में ऊर्जा और आकर्षण जोड़ता है। परीक्षा में विरोध को नकारात्मक ही न मानें। / Directional contrast adds energy and attraction. Exam tip: do not treat contrast only as negative.
B. दोनों का दृश्य भार अलग तरीके से संतुलित हो सकता है/Their visual weights can balance in different ways
Explanation
Simple Explanation
दृश्य भार केवल लंबाई नहीं, मोटाई और स्थिति से भी बनता है। परीक्षा में कई गुण साथ देखें। / Visual weight comes not only from length but also thickness and placement. Exam tip: consider multiple qualities together.
D. लय में छोटे बदलाव और अनुपातिक अंतर देकर/By adding small rhythm changes and proportional variation
Explanation
Simple Explanation
नियंत्रित विविधता सजावट को जीवंत रखती है। परीक्षा में पैटर्न में बदलाव का महत्व लिखें। / Controlled variety keeps decoration lively. Exam tip: write the importance of variation in pattern.
A. क्योंकि हर वास्तविक विवरण रखने से रचना बोझिल हो सकती है/Because keeping every real detail can make composition heavy
Explanation
Simple Explanation
अमूर्तन में आवश्यक रेखाएं चुनकर अर्थ बनाया जाता है। परीक्षा में चयन को रचनात्मक निर्णय मानें। / In abstraction, meaning is made by selecting essential lines. Exam tip: treat selection as a creative decision.
C. रेखा भार, दिशा और खाली स्थान को संतुलित करके/By balancing line weight, direction, and empty space
Explanation
Simple Explanation
असममित संतुलन में दृश्य भार का नियंत्रण महत्वपूर्ण होता है। परीक्षा में संतुलन को केवल समानता न मानें। / In asymmetrical balance, control of visual weight is important. Exam tip: do not treat balance only as equality.
A. रेखा घनता, ओवरलैप और दिशा से/Line density, overlap, and direction
Explanation
Simple Explanation
रेखा व्यवस्था स्थानिक संकेत दे सकती है। परीक्षा में गहराई को कई दृश्य संकेतों से समझें। / Line arrangement can give spatial cues. Exam tip: understand depth through multiple visual cues.
D. दिशा, लय, तनाव और संतुलन के संबंधों से/Through relations of direction, rhythm, tension, and balance
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
A. यह रेखाओं को पढ़ने योग्य बनाता है/It makes lines readable
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
B. दूरी में जाती रेखाओं को संगठित करना/Organizing lines receding into distance
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
ऊपर उठती रेखा प्रगति का संकेत दे सकती है। परीक्षा में upward line को growth से जोड़ें। / Rising line can suggest progress. Exam tip: connect upward line with growth.
A. विकास नजदीकी या बढ़ती ऊर्जा/Growth nearness or increasing energy
Explanation
Simple Explanation
क्रमिक आकार परिवर्तन गति और विकास दिखाता है। परीक्षा में progressive rhythm के कई अर्थ समझें। / Gradual size change shows movement and growth. Exam tip: understand multiple meanings of progressive rhythm.
क्रमिक परिवर्तन गति और विकास का आभास देता है। परीक्षा में progressive rhythm को growth से जोड़ें। / Gradual change gives sense of movement and growth. Exam tip: connect progressive rhythm with growth.
क्रमिक परिवर्तन लय में बढ़त और गति का भाव देता है। परीक्षा में progressive rhythm को growth से जोड़ें। / Gradual change gives growth and movement in rhythm. Exam tip: connect progressive rhythm with growth.
क्रमिक बदलाव लय में गति और बढ़त दिखाता है। परीक्षा में progressive rhythm को growth से जोड़ें। / Gradual change shows movement and growth in rhythm. Exam tip: connect progressive rhythm with growth.
C. मजदूरी काम की शर्तों और सुरक्षा पर सामूहिक आवाज/Collective voice on wages working conditions and safety
Explanation
Simple Explanation
ट्रेड यूनियनों ने मजदूरों को संगठित होकर मांग उठाने का साधन दिया। परीक्षा में श्रमिक अधिकारों से जोड़ें। / Trade unions gave workers a means to raise demands collectively. For exams connect them with workers' rights.
A. नगरीय नियोजन और मजदूर जीवन की कठिनाइयां/Urban planning and hardships of workers' life
Explanation
Simple Explanation
तेज शहरीकरण ने आवास स्वच्छता और स्वास्थ्य समस्याएं बढ़ाईं। परीक्षा में शहरीकरण के नकारात्मक परिणाम लिखें। / Rapid urbanization increased housing sanitation and health problems. For exams write negative results of urbanization.
C. भाप शक्ति और लोहे के उपयोग/Steam power and use of iron
Explanation
Simple Explanation
भाप शक्ति और लोहे ने रेल परिवहन के विकास में मदद की। परीक्षा में रेल को औद्योगिक क्रांति के परिवहन बदलाव से जोड़ें। / Steam power and iron helped the development of railway transport. For exams connect railways with transport change in the Industrial Revolution.
कारखानों के कारण लोग काम के लिए शहरों में आने लगे जिससे शहरीकरण बढ़ा। परीक्षा में औद्योगिकीकरण और शहरीकरण को साथ याद रखें। / Factories brought people to cities for work which increased urbanization. For exams remember industrialization and urbanization together.
लिनियर बी माइसीनियाई यूनानी प्रशासन से जुड़ी लिपि सिद्ध हुई। परीक्षा में इसे एजियन कांस्य युग से जोड़ें। / Linear B proved to be linked with Mycenaean Greek administration. For exams connect it with the Aegean Bronze Age.
A. संगठित कृषि अधिशेष और पेशागत विभाजन/Organized agricultural surplus and occupational specialization
Explanation
Simple Explanation
कृषि अधिशेष से अलग-अलग पेशे और सामाजिक स्तर विकसित हुए। परीक्षा में अधिशेष को वर्ग और नगर विकास से जोड़ें। / Agricultural surplus helped create different occupations and social ranks. For exams connect surplus with class and urban development.
A. कृषि अधिशेष व्यापार और प्रशासन/Agricultural surplus trade and administration
Explanation
Simple Explanation
कृषि अधिशेष व्यापार और प्रशासन ने शहरों को जन्म दिया। परीक्षा में शहरीकरण को आर्थिक अधिशेष से जोड़ें। / Agricultural surplus trade and administration led to cities. For exams connect urbanization with economic surplus.
A. उपजाऊ मिट्टी और जल उपलब्धता/Fertile soil and water availability
Explanation
Simple Explanation
नदी घाटियां खेती के लिए उपजाऊ मिट्टी और पानी देती थीं। इसी कारण कई प्रारंभिक सभ्यताएं नदियों के पास विकसित हुईं। / River valleys provided fertile soil and water for farming. That is why many early civilizations grew near rivers.
A. प्रशासनिक और आर्थिक रिकॉर्ड/Administrative and economic records
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी अभिलेख महल प्रशासन और अर्थव्यवस्था की जानकारी देते हैं। परीक्षा में स्रोत के प्रकार को पहचानें। / Linear B records provide information about palace administration and economy. Identify the type of source in exams.
A. प्रशासनिक और आर्थिक अभिलेख/Administrative and economic records
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी पट्टिकाएं माइसीनियन प्रशासन और अर्थव्यवस्था बताती हैं। परीक्षा में इन्हें कांस्य युगीन यूनान से जोड़ें। / Linear B tablets show Mycenaean administration and economy. Connect them with Bronze Age Greece.
A. वे प्रशासनिक और आर्थिक जानकारी देते हैं/They provide administrative and economic information
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी पट्टिकाएं माइसीनियन प्रशासन और अर्थव्यवस्था की जानकारी देती हैं। परीक्षा में इन्हें कांस्य युगीन यूनान से जोड़ें। / Linear B tablets give information about Mycenaean administration and economy. Connect them with Bronze Age Greece.
A. प्रशासनिक और आर्थिक जानकारी/Administrative and economic information
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी पट्टिकाएं प्रशासन और अर्थव्यवस्था से जुड़ी जानकारी देती हैं। परीक्षा में इन्हें कांस्य युगीन यूनान से जोड़ें। / Linear B tablets provide administrative and economic information. Connect them with Bronze Age Greece.
A. कुछ लोग खेती छोड़ विशेष शिल्प कर सके/Some people could leave farming and do specialized crafts
Explanation
Simple Explanation
अधिशेष भोजन से कुछ लोग अन्य पेशों में काम कर सके। परीक्षा में इसे श्रम विभाजन से जोड़ें। / Surplus food allowed some people to work in other occupations. Link it with division of labour in exams.
C. यह प्राचीन यूनानी भाषा के प्रशासनिक अभिलेखों से जुड़ी है/It is linked with administrative records in ancient Greek
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी को माइसीनियन प्रशासनिक अभिलेखों और प्राचीन यूनानी से जोड़ा जाता है। परीक्षा में इसे कांस्य युगीन यूनान से याद रखें। / Linear B is linked with Mycenaean administrative records and ancient Greek. Remember it with Bronze Age Greece.
लिनियर बी को प्राचीन यूनानी भाषा से जोड़ा जाता है। परीक्षा में इसे माइसीनियन प्रशासनिक रिकॉर्ड से याद रखें। / Linear B is linked with Ancient Greek. In exams, remember it with Mycenaean administrative records.
नालंदा का विकास गुप्त और पाल संरक्षण से जुड़ा रहा। परीक्षा में शिक्षा केंद्रों के संरक्षक राजवंश याद रखें। / Nalanda's growth was linked with Gupta and Pala patronage. For exams remember patron dynasties of learning centers.
भोज परमार मालवा का प्रसिद्ध शासक था और विद्या कला का संरक्षक माना जाता है। उसकी राजधानी धार भी याद रखें। / Bhoja Paramara was a famous ruler of Malwa and a patron of learning and arts. Also remember his capital Dhara.
A. यात्रा व्यापार और सूचना प्रवाह को सहारा देना/Supporting travel trade and information flow
Explanation
Simple Explanation
सराय व्यापारियों यात्रियों और संदेशवाहकों के लिए ठहराव केंद्र थीं। परीक्षा में इन्हें संचार और शहरीकरण से जोड़ें। / Sarais were resting centres for traders travellers and messengers. Exam tip is to connect them with communication and urbanization.
A. भक्ति साहित्य और स्थानीय राजसत्ताओं के संरक्षण से/Bhakti literature and patronage by regional powers
Explanation
Simple Explanation
भक्ति संतों और क्षेत्रीय दरबारों ने स्थानीय भाषाओं को बढ़ावा दिया। परीक्षा में भाषा विकास को सामाजिक-सांस्कृतिक परिवर्तन से जोड़ें। / Bhakti saints and regional courts promoted local languages. Exam tip is to link language growth with social-cultural change.
A. शहरीकरण और व्यापारिक विस्तार/Urbanization and commercial expansion
Explanation
Simple Explanation
नगरों में कारीगर और बाजार आर्थिक विविधता दिखाते हैं। परीक्षा में इसे मध्यकालीन अर्थव्यवस्था के विकास से जोड़ें। / Artisans and markets in towns show economic diversity. Exam tip is to connect it with the development of the medieval economy.
A. राजकीय संरक्षण और संसाधन आधार/Royal patronage and resource base
Explanation
Simple Explanation
शिक्षा केंद्रों को टिकाने के लिए दान और संरक्षण जरूरी थे। परीक्षा में धर्म शिक्षा और अर्थव्यवस्था को साथ पढ़ें। / Donations and patronage were necessary to sustain learning centres. For exams, study religion education and economy together.
A. शिक्षा संस्थानों का संस्थागत विकास/Institutional growth of educational centres
Explanation
Simple Explanation
नालंदा का विकास राजकीय संरक्षण और संसाधनों से जुड़ा था। परीक्षा में शिक्षा केंद्रों को आर्थिक आधार से भी जोड़ें। / Nalanda's growth was linked with royal patronage and resources. For exams, connect educational centres with their economic base.
मथुरा और गांधार कला में बुद्ध प्रतिमा का विकास महत्वपूर्ण था। परीक्षा में दोनों शैलियों के अंतर भी याद रखें। / The development of Buddha images was important in Mathura and Gandhara art. For exams, also remember the differences between the two styles.
गंगा नदी ने मगध को परिवहन और व्यापार में सुविधा दी। परीक्षा में नदियों को आर्थिक विकास से जोड़ें। / The Ganga River helped Magadha in transport and trade. For exams connect rivers with economic development.
यहाँ (a=12), (d=4) है, इसलिए \(a_9=12+8\times4=44\)। समय आधारित प्रश्नों में पहला सप्ताह प्रथम पद होता है। / Here (a=12), (d=4), so \(a_9=12+8\times4=44\). In time-based questions, the first week is the first term.
\(a_5-a_2=3d=15\), इसलिए (d=5)। परीक्षा में रैखिक रूप में भी पदों के अंतर से (d) निकाला जा सकता है। / \(a_5-a_2=3d=15\), so (d=5). In exams, even for a linear form, (d) can be found from term differences.
(n) का गुणांक (-5) है, इसलिए वही सामान्य अंतर है। परीक्षा में रैखिक पद में (n) का गुणांक तुरंत देखें। / The coefficient of (n) is (-5), so it is the common difference. In exams, first check the coefficient of (n) in a linear term.
\(a_{n+1}-a_n=\alpha\), इसलिए सामान्य अंतर \(\alpha\) है। परीक्षा में यह रैखिक अनुक्रम का मुख्य शॉर्टकट है। / \(a_{n+1}-a_n=\alpha\), so the common difference is \(\alpha\). In exams, this is the key shortcut for a linear sequence.
(n) का गुणांक (-0.5) है। परीक्षा में दशमलव गुणांक को भी सामान्य अंतर की तरह लें। / The coefficient of (n) is (-0.5). In exams, treat a decimal coefficient as the common difference too.
(n) का गुणांक \(-\frac{2}{5}\) है, वही सामान्य अंतर है। परीक्षा में सूत्र को \(a_n=\alpha n+\beta\) जैसा पहचानें। / The coefficient of (n) is \(-\frac{2}{5}\), which is the common difference. In exams, identify the form \(a_n=\alpha n+\beta\).
लगातार पदों का अंतर (4) है। परीक्षा में रैखिक \(a_n\) में (n) का गुणांक ही सामान्य अंतर होता है। / The difference between consecutive terms is (4). In exams, for linear \(a_n\), the coefficient of (n) is the common difference.
सारणिक (D=(y+1)(y-2)-10=y-2-y-12) है। अद्वितीय हल के लिए \(D\neq0\) चाहिए। / The determinant is (D=(y+1)(y-2)-10=y-2-y-12). For a unique solution, \(D\neq0\) is required.
तीनों अनुपात \(\frac{3}{5}\) होने चाहिए। इसलिए \(\frac{t}{20}=\frac{3}{5}\) से (t=12)। / All three ratios must be \(\frac{3}{5}\). Therefore, \(\frac{t}{20}=\frac{3}{5}\) gives (t=12).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{s}{21}=\frac{4}{12}\) से (s=7) है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{s}{21}=\frac{4}{12}\) gives (s=7). The constant ratio is not equal.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{r}{9}\neq\frac{2}{3}\) चाहिए। इसलिए \(r\neq6\) होगा। / For a unique solution, \(\frac{r}{9}\neq\frac{2}{3}\) is required. Hence \(r\neq6\).
अनंत हलों में \(\frac{q}{18}=\frac{11}{33}=\frac{22}{66}\) होता है। इसलिए (q=6) सही मान है। / For infinitely many solutions, \(\frac{q}{18}=\frac{11}{33}=\frac{22}{66}\). Therefore, (q=6) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{p}{12}=\frac{-5}{-15}\) से (p=4) है। स्थिर अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{p}{12}=\frac{-5}{-15}\) gives (p=4). The constant ratio is different.
अनंत हलों के लिए \(\frac{3}{5}=\frac{n}{10}=\frac{18}{30}\) चाहिए। इससे (n=6) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{3}{5}=\frac{n}{10}=\frac{18}{30}\) is needed. This gives (n=6).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{m}{16}\neq\frac{7}{14}\) होना चाहिए। इसलिए \(m\neq8\)। / For a unique solution, \(\frac{m}{16}\neq\frac{7}{14}\) must hold. Therefore, \(m\neq8\).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{2}{k}=\frac{3}{6}\) से (k=4) है। स्थिर पद अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{2}{k}=\frac{3}{6}\) gives (k=4). The constant ratio is different.
तीनों अनुपात \(\frac{5}{7}\) होने चाहिए। इसलिए \(\frac{j}{14}=\frac{5}{7}\) से (j=10)। / All three ratios must be \(\frac{5}{7}\). Therefore, \(\frac{j}{14}=\frac{5}{7}\) gives (j=10).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{6}{18}=\frac{i}{27}\) से (i=9) आता है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{6}{18}=\frac{i}{27}\) gives (i=9). The constant ratio is not equal.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{h}{10}\neq\frac{12}{15}\) होना चाहिए। इसलिए \(h\neq8\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{h}{10}\neq\frac{12}{15}\) must hold. Hence \(h\neq8\) is correct.
अनंत हलों के लिए \(\frac{g-1}{8}=\frac{10}{20}=\frac{15}{30}\) होना चाहिए। इससे (g=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{g-1}{8}=\frac{10}{20}=\frac{15}{30}\) must hold. This gives (g=5).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) बनाने के लिए (f=5) चाहिए। स्थिर पद अनुपात अलग होने से कोई हल नहीं होगा। / To make the coefficient ratio \(\frac{1}{4}\), (f=5) is required. The different constant ratio gives no solution.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{e}{18}\neq\frac{-4}{-12}\) चाहिए। अतः \(e\neq6\)। / For a unique solution, \(\frac{e}{18}\neq\frac{-4}{-12}\) is needed. Hence \(e\neq6\).
अनंत हलों में \(\frac{4}{12}=\frac{d}{15}=\frac{7}{21}\) होना चाहिए। इसलिए (d=5) सही है। / For infinitely many solutions, \(\frac{4}{12}=\frac{d}{15}=\frac{7}{21}\) must hold. So (d=5) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{c}{9}=\frac{6}{18}\) से (c=3) आता है। स्थिर अनुपात \(\frac{5}{10}\) अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{c}{9}=\frac{6}{18}\) gives (c=3). The constant ratio \(\frac{5}{10}\) is different.
अनंत हलों के लिए \(\frac{2}{b}=\frac{b}{8}=\frac{6}{24}\) होना चाहिए। इससे (b=4) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{2}{b}=\frac{b}{8}=\frac{6}{24}\) must hold. This gives (b=4).
सारणिक \(D=a^2-8\) है। अद्वितीय हल के लिए \(D\neq0\) यानी \(a^2\neq8\)। / The determinant is \(D=a^2-8\). For a unique solution, \(D\neq0\), so \(a^2\neq8\).
अद्वितीय न होने के लिए ((z+2)(z-1)-18=0) होना चाहिए। इससे (z=4) या (z=-3) मिलता है। / For non-unique solutions, ((z+2)(z-1)-18=0) must hold. This gives (z=4) or (z=-3).
तीनों सारणिक शून्य होने पर समीकरण आश्रित हो सकते हैं। कक्षा (10) में इसे अनंत हल की स्थिति से जोड़कर देखें। / When all three determinants are zero, the equations may be dependent. In Class (10), link this with infinitely many solutions.
C. युग्म का अद्वितीय हल है/The pair has a unique solution
Explanation
Simple Explanation
सारणिक शून्य नहीं होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल होता है। / When the determinant is non-zero, the lines intersect at one point. Hence there is a unique solution.
B. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अलग समांतर रेखाओं में गुणांक अनुपात समान और स्थिर पद अनुपात अलग होता है। यही कोई हल नहीं की शर्त है। / For distinct parallel lines, coefficient ratios are equal and the constant ratio is different. This is the condition for no solution.
समान ढाल और समान अवरोध का अर्थ एक ही रेखा है। इसलिए ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean the same line. Therefore, such a pair has infinitely many solutions.
तीनों अनुपात समान होने पर रेखाएँ संपाती होती हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / When all three ratios are equal, the lines are coincident. Therefore, infinitely many solutions occur.
अद्वितीय हल तब मिलता है जब रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसका अनुपात रूप \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\) है। / A unique solution occurs when the lines intersect at one point. Its ratio form is \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{5}{25}=\frac{\gamma}{15}\) से \(\gamma=3\) मिलता है। स्थिर अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{5}{25}=\frac{\gamma}{15}\) gives \(\gamma=3\). The constant ratio is different.
अनंत हलों में \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) होना चाहिए। इससे \(\beta=2\) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) must hold. This gives \(\beta=2\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{\alpha-1}{8}\neq\frac{5}{10}\) चाहिए। इसलिए \(\alpha\neq5\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{\alpha-1}{8}\neq\frac{5}{10}\) is required. Hence \(\alpha\neq5\) is correct.
\(\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\) है। गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{\mu}{6}=\frac{2}{3}\) से \(\mu=4\)। / \(\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\). Equating coefficient ratios, \(\frac{\mu}{6}=\frac{2}{3}\) gives \(\mu=4\).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{6}\) है। अनंत हलों के लिए \(\frac{\lambda}{48}=\frac{1}{6}\) इसलिए \(\lambda=8\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{6}\). For infinitely many solutions, \(\frac{\lambda}{48}=\frac{1}{6}\), so \(\lambda=8\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{w}{16}\neq\frac{-6}{-24}\) होना चाहिए। इसलिए \(w\neq4\) होगा। / For a unique solution, \(\frac{w}{16}\neq\frac{-6}{-24}\) must hold. Therefore, \(w\neq4\).
गुणांक अनुपात समान करने पर (v-2=3) मिलता है। इसलिए (v=5) और स्थिर अनुपात अलग होने से कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives (v-2=3). Thus (v=5), and the different constant ratio gives no solution.
अनंत हलों के लिए \(\frac{u+3}{10}=\frac{8}{20}=\frac{16}{40}\) चाहिए। इससे (u=1) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{u+3}{10}=\frac{8}{20}=\frac{16}{40}\) is needed. This gives (u=1).
\(\frac{12}{18}\neq\frac{-7}{-11}\) होने से रेखाएँ काटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलेगा। / Since \(\frac{12}{18}\neq\frac{-7}{-11}\), the lines intersect. Hence a unique solution is obtained.
तीनों अनुपात समान हैं। अतः रेखाएँ संपाती हैं और युग्म के अनंत हल हैं। / All three ratios are equal. Thus the lines are coincident and the pair has infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात समान है लेकिन \(\frac{2}{7}\) अलग है। इसलिए दोनों अलग समांतर रेखाएँ हैं। / The coefficient ratio is equal but \(\frac{2}{7}\) is different. Hence both are distinct parallel lines.
यहाँ \(\frac{10}{20}\neq\frac{3}{9}\) है। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं। / Here \(\frac{10}{20}\neq\frac{3}{9}\). Therefore, the lines meet at one point.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल देती हैं। / The second equation is (2) times the first. So both lines are coincident and give infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात समान है पर स्थिर पद का अनुपात अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और युग्म असंगत है। / Coefficient ratios are equal but the constant ratio is different. Hence the lines are parallel and the pair is inconsistent.
अनंत हलों के लिए \(\frac{6}{14}=\frac{-t}{-21}=\frac{18}{42}\) होना चाहिए। इससे (t=9) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{6}{14}=\frac{-t}{-21}=\frac{18}{42}\) must hold. This gives (t=9).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{11}{22}\neq\frac{3}{s}\) होना चाहिए। अतः \(s\neq6\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{11}{22}\neq\frac{3}{s}\) must hold. Hence \(s\neq6\) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{2}{6}=\frac{n}{15}\) से (n=5) मिलता है। स्थिर अनुपात अलग है इसलिए युग्म असंगत है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{2}{6}=\frac{n}{15}\) gives (n=5). The constant ratio is different, so the pair is inconsistent.
अनंत हलों के लिए \(\frac{5}{15}=\frac{r+1}{18}=\frac{11}{33}\) चाहिए। इससे (r=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{5}{15}=\frac{r+1}{18}=\frac{11}{33}\) is needed. This gives (r=5).
