Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह शुरुआती यांत्रिक कैलकुलेटरों में थी/It was among early mechanical calculators
Explanation
Simple Explanation
पास्कलाइन ने यांत्रिक तरीके से गणना करने का प्रयास दिखाया। परीक्षा में पास्कल को जोड़ घटाव वाली मशीन से जोड़ें। / Pascaline showed an attempt to calculate mechanically. For exams connect Pascal with an adding and subtracting machine.
एक ही पंक्ति के adjacent terms अगली पंक्ति का बीच वाला term देते हैं। परीक्षा में (r) और (r-1) साथ दिखें तो Pascal identity लगाएं। / Adjacent terms of the same row give the middle term in the next row. In exams apply Pascal identity when (r) and (r-1) appear together.
Adjacent lower indices (r) और (r+1) मिलकर next row का (r+1) term देते हैं। परीक्षा में Pascal pattern तुरंत पहचानें। / Adjacent lower indices (r) and (r+1) give the (r+1) term of the next row. In exams identify Pascal pattern quickly.
A. एक fixed वस्तु शामिल है या शामिल नहीं है/A fixed object is included or not included
Explanation
Simple Explanation
किसी fixed वस्तु पर case बनाएं: उसे लें या न लें। परीक्षा में ऐसी identities को inclusion case से derive करें। / Make cases on one fixed object: include it or exclude it. In exams derive such identities by inclusion cases.
पास्कलाइन मुख्य रूप से जोड़ और घटाव जैसे कार्यों में उपयोगी थी। परीक्षा में इसे ब्लेज पास्कल से जोड़ें। / Pascaline was mainly useful for addition and subtraction. For exams connect it with Blaise Pascal.
पास्कलाइन ब्लेज पास्कल ने बनाई थी। परीक्षा में पास्कल को शुरुआती यांत्रिक गणना यंत्र से जोड़ें। / Pascaline was made by Blaise Pascal. For exams connect Pascal with an early mechanical calculating device.
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=11) और (r=7) रखें। परीक्षा में दोनों terms का upper index (1) कम होता है। / Put (n=11) and (r=7) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=10) और (r=6) रखें। परीक्षा में दोनों पदों का upper index (1) कम होता है। / Put (n=10) and (r=6) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=9) और (r=5) रखें। परीक्षा में दोनों terms का upper index (1) घटता है। / Put (n=9) and (r=5) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=8) और (r=4) रखें। परीक्षा में दोनों terms का upper index (1) कम होता है। / Put (n=8) and (r=4) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
सूत्र में (n=7) और (r=3) रखने पर \(^{6}C_3+^{6}C_2\) मिलता है। परीक्षा में पहले ऊपर का सूचक (1) घटाएँ। / Putting (n=7) and (r=3) gives \(^{6}C_3+^{6}C_2\). In exams first reduce the upper index by (1).
A. एक विशेष वस्तु को शामिल या अलग करने से/By including or excluding one special object
Explanation
Simple Explanation
कुल चयन को एक विशेष वस्तु के आने और न आने के दो मामलों में बाँटते हैं। परीक्षा में fixed object method याद रखें। / The total selection is split into two cases according to whether one special object appears or not. In exams remember the fixed object method.
सूत्र \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=6) और (r=2) रखें। परीक्षा में (n) दोनों पदों में (1) कम होता है। / Put (n=6) and (r=2) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams (n) decreases by (1) in both terms.
C. विशेष वस्तु को चुनकर बाकी (r-1) चुनना/Choosing the special object and then choosing remaining (r-1)
Explanation
Simple Explanation
यदि विशेष वस्तु चुनी गई है तो बाकी (r-1) वस्तुएँ (n-1) में से चुननी होंगी। परीक्षा में included case को अलग लिखें। / If the special object is chosen the remaining (r-1) objects must be chosen from (n-1). In exams write the included case separately.
A. विशेष वस्तु को न चुनना/Not choosing the special object
Explanation
Simple Explanation
एक निश्चित वस्तु को छोड़कर बाकी (n-1) में से (r) चुनना \(^{n-1}C_r\) है। परीक्षा में मामलों को शामिल और अलग में बाँटें। / Choosing (r) from remaining (n-1) after excluding one fixed object is \(^{n-1}C_r\). In exams split cases into included and excluded.
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{14}{7}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{14}{7}\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{13}{6}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{13}{6}\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{12}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{12}{5}\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{11}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{11}{5}\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{10}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{10}{5}\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{9}{4}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{9}{4}\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{7}{3}\) नहीं, सही \(\binom{7}{3}\) है। / By Pascal's identity, \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the correct expression is \(\binom{7}{3}\).
पास्कल पहचान \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) है। इसलिए उत्तर \(\binom{6}{3}\) है। / Pascal's identity is \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{6}{3}\).
Pascal identity से same upper index और adjacent lower indices combine होते हैं। परीक्षा में पहले adjacent pair को combine करें। / By Pascal identity, the same upper index with adjacent lower indices combines. In exams first combine the adjacent pair.
Pascal identity में \(^{n}C_{r-1}+^{n}C_r=^{n+1}C_r\) होता है। परीक्षा में adjacent indices देखें। / Pascal identity gives \(^{n}C_{r-1}+^{n}C_r=^{n+1}C_r\). In exams look for adjacent indices.
यह Pascal identity का shifted रूप है। परीक्षा में adjacent lower-row combinations जोड़कर upper-row combination बनाएं। / This is a shifted form of Pascal identity. In exams add adjacent lower-row combinations to form the upper-row combination.
क्योंकि \(^{15}C_{8}=^{15}C_{7}\), योग \(2,^{15}C_{7}\) है। पास्कल से यह \(^{16}C_{8}\) भी है। / Since \(^{15}C_{8}=^{15}C_{7}\), the sum is \(2,^{15}C_{7}\). By Pascal's rule it is also \(^{16}C_{8}\).
यह \(^{n}C_{r-1}+^{n}C_{r}=^{n+1}C_{r}\) का रूप है। इसे पास्कल नियम कहते हैं। / This is the form \(^{n}C_{r-1}+^{n}C_{r}=^{n+1}C_{r}\). It is called Pascal's rule.
