Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दशमलव में 25 के बाद अंक-समूह 06 बार-बार आता है: 0.25 06 06 06 \(\ldots\)। इसलिए बार केवल आवर्ती समूह 06 पर लगाया जाता है, अर्थात \(0.25\overline{06}\)। विकल्प C में केवल 6 आवर्ती है, जबकि विकल्प D में 506 आवर्ती माना गया है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दशमलव के अंकों को अलग-अलग समूहों में लिखकर दोहराने वाला सबसे छोटा समूह पहचानें। / In the decimal, the block 06 repeats after 25: 0.25 06 06 06 \(\ldots\). Therefore, the bar must be placed only over the repeating block 06, giving \(0.25\overline{06}\). In option C, only 6 repeats, while option D incorrectly treats 506 as the repeating block. Exam tip: Write the decimal digits in groups first and identify the shortest block that repeats.
\( \frac{7}{12}=0.58333\ldots \), जो (0.5834) से थोड़ा छोटा है। तुलना के लिए सभी को दशमलव रूप में सोचें। / \( \frac{7}{12}=0.58333\ldots \), which is slightly less than (0.5834). Think of all numbers in decimal form for comparison.
मान लें कि बार-बार आने वाले 9 के भाग को अलग करें: \(0.0999\ldots = 0.1\)। अतः \(2.3999\ldots = 2.3 + 0.0999\ldots = 2.4\)। विकल्प 2.399 में केवल तीन 9 हैं, जबकि प्रश्न में 9 अनंत बार आ रहे हैं। परीक्षा टिप: किसी अंक के बाद अनंत 9 हों, तो उसे अगले स्थान के मान में बदलकर सरल करें। / Separate the repeating part: \(0.0999\ldots = 0.1\). Therefore, \(2.3999\ldots = 2.3 + 0.0999\ldots = 2.4\). The option 2.399 has only three 9s, whereas the question has infinitely many 9s. Exam tip: Replace an infinite tail of 9s by an increase of 1 in the preceding decimal place.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
दशमलव में रेखा केवल 45 के ऊपर है, इसलिए प्रारम्भ के दो शून्यों के बाद 45 लगातार दोहराया जाता है: \(0.00\overline{45}=0.00454545\ldots\)। विकल्प B में 45 की पुनरावृत्ति एक स्थान बाद से शुरू होती है, इसलिए उसका मान अलग है। परीक्षा टिप: रेखा के नीचे आने वाले अंकों को ही बार-बार लिखें; रेखा से पहले के अंक केवल एक बार लिखे जाते हैं। / The bar is over 45 only, so after the initial two zeros, 45 repeats continuously: \(0.00\overline{45}=0.00454545\ldots\). In option B, the repeating block begins one decimal place later, so it represents a different number. Exam tip: Repeat only the digits under the bar; digits before the bar are written only once.
रिया कहती है, “यदि किसी सरल भिन्न के हर में 2 या 5 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखंड हो, तो उसका दशमलव प्रसार दशमलव बिंदु के तुरंत बाद से आवर्ती होता है।” निम्नलिखित में से कौन-सा भिन्न रिया के कथन को गलत सिद्ध करता है?
\(\frac{7}{12}=\frac{7}{2^2\times3}=0.58\overline{3}\) में आवृत्ति 3 से शुरू होती है, दशमलव के तुरंत बाद से नहीं। इसलिए यह कथन का प्रतिवाद है। परीक्षा टिप: 2 या 5 के साथ अन्य अभाज्य होने पर आरंभ में अनावर्ती अंक आ सकते हैं। / \(\frac{7}{12}=\frac{7}{2^2\times3}=0.58\overline{3}\), so repetition begins only after 58, not immediately after the decimal point. Thus it disproves Riya’s claim. Exam tip: with 2 or 5 plus another prime factor, a non-repeating beginning may occur.
सही उत्तर 5.75 है। क्योंकि 0.00999\ldots = 0.01, इसलिए 5.74999\ldots = 5.74 + 0.00999\ldots = 5.75। 5.749 केवल पहले तीन दशमलव स्थानों तक संख्या को रोक देता है, जबकि दिए गए दशमलव में 9 अनंत बार दोहराया जा रहा है। परीक्षा टिप: किसी अंक के बाद अनंत 9 हों, तो उसे अगले स्थान तक बढ़ाकर सांत दशमलव में लिखा जा सकता है। / The correct answer is 5.75. Since 0.00999\ldots = 0.01, we get 5.74999\ldots = 5.74 + 0.00999\ldots = 5.75. The number 5.749 simply stops after three decimal places, whereas the given decimal has infinitely repeating 9s. Exam tip: when infinitely many 9s follow a digit, the decimal can be written by increasing the preceding place by 1.
\( \frac{3}{16}=0.1875 \) और \(0.18\overline{7}=0.18777\ldots\) है। इसलिए आवर्ती संख्या बड़ी है। / \( \frac{3}{16}=0.1875 \) and \(0.18\overline{7}=0.18777\ldots\). Therefore, the recurring number is greater.
दिया गया दशमलव \(0.0767676\ldots\) में दशमलव के बाद पहला अंक \(0\) केवल एक बार आता है। इसके बाद \(76\) का क्रम बार-बार आता है: \(0.0\,76\,76\,76\ldots\)। इसलिए बार केवल \(76\) पर लगाया जाता है, अर्थात \(0.0\overline{76}\)। विकल्प A में \(076\) को आवर्ती माना गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले उन अंकों को पहचानें जो बिना बदले लगातार दोहरते हैं। / In \(0.0767676\ldots\), the first digit after the decimal point, \(0\), occurs only once. After that, the block \(76\) repeats: \(0.0\,76\,76\,76\ldots\). Therefore, the bar is placed only over \(76\), giving \(0.0\overline{76}\). Option A incorrectly treats \(076\) as the repeating block. Exam tip: Before placing a bar, identify the shortest block of digits that repeats continuously.
A. जब \(q=2^m5^n\), जहाँ \(m,n\) शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में हर \(q\) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों, अर्थात \(q=2^m5^n\), तभी दशमलव सांत होता है। अन्य अभाज्य गुणनखंड होने पर प्रसार अनंत आवर्ती होगा। परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में करें। / A decimal terminates only when the denominator \(q\), in lowest form, has no prime factors other than 2 and 5; hence \(q=2^m5^n\). Any other prime factor gives a non-terminating recurring decimal. Exam tip: reduce the fraction first.
B. जब \(q\) में 2 और 5 के अतिरिक्त कम-से-कम एक अभाज्य गुणनखंड हो
Explanation
Simple Explanation
सबसे सरल रूप में \(q\) में 2 या 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड होने पर वह \(10^n\) को विभाजित नहीं कर सकता, इसलिए दशमलव अनंत आवर्ती होता है। केवल 2 और 5 होने पर दशमलव समाप्त होता है। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल करें। / In lowest terms, if \(q\) has a prime factor other than 2 or 5, it cannot divide any \(10^n\), so the decimal is non-terminating recurring. A denominator containing only 2 and 5 gives a terminating decimal. Exam tip: reduce the fraction first.
