Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दशमलव विस्तार में 12 के बाद 03, 03, 03, … दोहराया जा रहा है। इसलिए 12 अनावर्ती भाग है और केवल 03 पर बार लगाया जाता है: \(0.12\overline{03}\)। विकल्प A में 1203 को दोहराया गया माना गया है, जबकि दिए गए दशमलव में ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले अंकों को क्रम में लिखकर सबसे छोटा बार-बार आने वाला समूह पहचानें। / In the decimal expansion, after 12 the block 03 repeats as 03, 03, 03, … . Thus, 12 is the non-repeating part and the bar must be placed only over 03: \(0.12\overline{03}\). Option A incorrectly treats 1203 as the repeating block. Exam tip: Write the digits in order first, then identify the smallest block that repeats continuously.
\( \frac{5}{12}=0.41666\ldots \), जो (0.417) से छोटा है। तुलना के लिए सभी को दशमलव रूप में सोचें। / \( \frac{5}{12}=0.41666\ldots \), which is less than (0.417). Think of all numbers in decimal form for comparison.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
C. \(0.20200200020000\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(0.20200200020000\ldots\) without fixed repetition
Explanation
Simple Explanation
बिना निश्चित दोहराव वाला असांत दशमलव अपरिमेय होता है। सांत और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition is irrational. Terminating and recurring decimals are rational.
यहाँ बार केवल 27 पर है, इसलिए दशमलव बिंदु के बाद पहले 0 आता है और फिर 27 बार-बार दोहरता है: \(0.0272727\ldots\)। विकल्प C में 0 और 27 दोनों को आवर्ती माना गया है, जो दिए गए संकेत के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: बार के नीचे आने वाले अंकों को ही आवर्ती लिखें। / The bar is over 27 only. Therefore, the first digit after the decimal point is 0, followed by the repeating block 27: \(0.0272727\ldots\). In option C, both 0 and 27 are treated as repeating, which does not match the notation. Exam tip: Repeat only the digits covered by the bar.
\(\frac{21}{84}=\frac14\) है और सरल रूप में हर \(4=2^2\) है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। \(\frac{17}{60}\) के हर में 3 भी है। परीक्षा-युक्ति: पहले भिन्न को सरल करें। / \(\frac{21}{84}=\frac14\), and its reduced denominator is \(4=2^2\); therefore, its decimal expansion terminates. In \(\frac{17}{60}\), factor 3 remains in the denominator. Exam tip: always reduce first.
\( \frac{1}{15}=0.0666\ldots=0.06\overline{6} \), जो (0.0625) से बड़ा है। तुलना के लिए भिन्न को दशमलव में बदलें। / \( \frac{1}{15}=0.0666\ldots=0.06\overline{6} \), which is greater than (0.0625). Convert the fraction into decimal for comparison.
दशमलव में दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक 0 केवल एक बार आता है। इसके बाद 45, 45, 45 लगातार दोहरता है। इसलिए बार केवल 45 पर लगेगा: \(0.0\overline{45}\)। विकल्प \(0.\overline{45}\) गलत है, क्योंकि उसमें दशमलव के तुरंत बाद 45 दोहरना शुरू हो जाता है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले उन अंकों को अलग पहचानें जो दोहराव शुरू होने से पहले आते हैं। / After the decimal point, the first digit 0 occurs only once. Then 45 repeats as 45, 45, 45. Therefore, the bar is placed only over 45: \(0.0\overline{45}\). Option \(0.\overline{45}\) is incorrect because it starts repeating 45 immediately after the decimal point. Exam tip: identify the non-repeating digits before marking the repeating block with a bar.
\(\frac{21}{84}=\frac14\) में सरल रूप का हर \(4=2^2\) है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। अन्य हरों में 3, 7 या 11 भी है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरल करें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें। / \(\frac{21}{84}=\frac14\), and its reduced denominator is \(4=2^2\); hence its decimal expansion terminates. The other denominators contain 3, 7, or 11. Exam tip: reduce the fraction before checking prime factors of the denominator.
रीमा कहती है कि \(0.999\ldots\), 1 से छोटा है क्योंकि \(0.9, 0.99, 0.999\) आदि सभी 1 से छोटे हैं। उसके तर्क की त्रुटि को कौन-सा कथन सबसे सही ढंग से स्पष्ट करता है?
C. अनंत योग \(0.9+0.09+0.009+\ldots\) का मान 1 है, अतः \(0.999\ldots=1\)/The infinite sum \(0.9+0.09+0.009+\ldots\) equals 1, so \(0.999\ldots=1\).
Explanation
Simple Explanation
\(0.9+0.09+\cdots\) एक गुणोत्तर श्रेणी है: \(S=\frac{0.9}{1-0.1}=1\)। प्रत्येक सीमित रूप 1 से छोटा है, पर उनकी सीमा 1 है। परीक्षा में \(\ldots\) को अनंत प्रक्रिया मानें। / \(0.9+0.09+\cdots\) is a geometric series: \(S=\frac{0.9}{1-0.1}=1\). Every finite truncation is below 1, but their limit is 1. In exams, treat \(\ldots\) as an infinite process.
