A. अनंत और अनावर्ती/Non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या अनंत आवर्ती होता है। अतः \(\sqrt{2}\) के लिए अनंत अनावर्ती प्रसार जरूरी है। परीक्षा-टिप: केवल कई अंक दिखना प्रमाण नहीं। / A rational number has a terminating or repeating decimal expansion. Hence \(\sqrt{2}\) must be non-terminating and non-repeating. Exam tip: many displayed digits alone are not proof.
C. असांत अनावर्ती दशमलव प्रसार/Non-terminating non-recurring decimal expansion
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती होता है। सांत या आवर्ती दशमलव प्रसार सदैव परिमेय होते हैं। परीक्षा टिप: यही अपरिमेय संख्याओं की पहचान है। / \(\sqrt{3}\) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating and non-recurring. Terminating or recurring decimals are always rational. Exam tip: use this decimal property to identify irrational numbers.
A. यह पूर्ण प्रमाण नहीं देता/It does not give a complete proof
Explanation
Simple Explanation
अनुमान केवल निकट मान देता है। प्रमाण के लिए (3) से विभाज्यता और विरोधाभास जरूरी है। / Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and contradiction are needed for proof.
A. \(1.732\) को सटीक मान मानना गलत है; यह केवल सन्निकट मान है।/Treating \(1.732\) as an exact value is wrong; it is only an approximation.
Explanation
Simple Explanation
\(1.732^2=2.999824\ne3\), इसलिए 1.732 केवल सन्निकट मान है, सटीक नहीं। दशमलव बिंदु से संख्या अपरिमेय नहीं होती। परीक्षा में दावे को वर्ग करके जाँचें। / Because \(1.732^2=2.999824\ne3\), 1.732 is an approximation, not the exact value. A decimal point does not make a number irrational. Exam tip: square a claimed exact value.
A. यह सटीक विरोधाभास देता है/It gives an exact contradiction
Explanation
Simple Explanation
दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है। सहभाज्य भिन्न वाला तर्क अपरिमेयता को निश्चित रूप से सिद्ध करता है। / Decimal approximation is not a proof. The coprime fraction argument proves irrationality exactly.
A. क्योंकि विभाज्यता तर्क पूर्ण प्रमाण देता है/Because divisibility reasoning gives a complete proof
Explanation
Simple Explanation
अनुमान केवल निकट मान देता है। (3) से विभाज्यता और सहभाज्य विरोधाभास सही प्रमाण हैं। / Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and coprime contradiction form the correct proof.
