Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले उल्टा मानते हैं कि \(\sqrt{2}\) परिमेय है। बाद में यही मान्यता गलत सिद्ध होती है। / In contradiction method we first assume the opposite that \(\sqrt{2}\) is rational. Later this assumption is shown false.
A. जनता सरकार चुनती है/People choose the government
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में जनता अपने प्रतिनिधि चुनती है। परीक्षा में जनता की भागीदारी को मुख्य तर्क मानें। / In democracy people choose their representatives. Exam tip: treat people's participation as the main argument.
परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। यहाँ (p) और (q) पूर्णांक होते हैं। / When assumed rational, \(\sqrt{3}\) is written as \(\frac{p}{q}\). Here (p) and (q) are integers.
लोकतांत्रिक सरकार जनता के प्रति जवाबदेह होती है। परीक्षा में जवाबदेही को लोकतंत्र का बड़ा लाभ समझें। / A democratic government is accountable to people. Exam tip: understand accountability as a big advantage of democracy.
सरलतम रूप में अंश और हर का सामान्य गुणनखंड केवल (1) होता है। यही सहभाज्य होने का अर्थ है। / In lowest form, the numerator and denominator have only (1) as common factor. This means they are coprime.
C. बेहतर निर्णय बनाने के लिए/To make better decisions
Explanation
Simple Explanation
चर्चा से अलग अलग विचार सामने आते हैं और निर्णय बेहतर हो सकता है। परीक्षा में चर्चा को निर्णय की गुणवत्ता से जोड़ें। / Discussion brings different views and can improve decisions. Exam tip: connect discussion with quality of decision.
D. क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है/Because division by zero is not defined
Explanation
Simple Explanation
भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(\frac{a}{b}\) में \(b\neq0\) जरूरी है। / The denominator of a fraction cannot be zero. Therefore \(b\neq0\) is necessary in \(\frac{a}{b}\).
B. क्योंकि जनता सरकार बदल सकती है/Because people can change the government
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में जनता चुनाव के माध्यम से सरकार बदल सकती है। परीक्षा में सुधार की संभावना को लोकतंत्र का लाभ मानें। / In democracy people can change government through elections. Exam tip: treat possibility of correction as an advantage.
C. बातचीत और सहमति से/Through discussion and agreement
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र बातचीत और सहमति से मतभेद हल करने का अवसर देता है। परीक्षा में शांतिपूर्ण समाधान याद रखें। / Democracy gives a chance to solve differences through discussion and agreement. Exam tip: remember peaceful solution.
A. इससे नीति में अस्थिरता आ सकती है/It may create policy instability
Explanation
Simple Explanation
बार बार नेता बदलने से नीतियों में निरंतरता कम हो सकती है। परीक्षा में अस्थिरता को विरोधी तर्क मानें। / Frequent change of leaders may reduce continuity in policies. Exam tip: treat instability as an argument against democracy.
पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है। यह \(\sqrt{2}\) के प्रमाण का मुख्य तथ्य है। / If an integer has an even square, the integer is also even. This is the key fact in the proof of \(\sqrt{2}\).
B. क्योंकि नागरिकों को अभिव्यक्ति का अधिकार होता है/Because citizens have the right to expression
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में नागरिक अपनी राय रख सकते हैं। परीक्षा में आलोचना को जवाबदेही से जोड़ें। / In democracy citizens can express their views. Exam tip: connect criticism with accountability.
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (x) (3) से विभाज्य है। / If prime factor (3) divides a square, it divides the number too. Therefore (x) is divisible by (3).
A. सरकार जनता की जरूरतों को समझ सकती है/Government can understand people's needs
Explanation
Simple Explanation
भागीदारी से सरकार जनता की समस्याएं समझती है। परीक्षा में भागीदारी और उत्तरदायित्व को साथ रखें। / Participation helps government understand people's problems. Exam tip: keep participation and responsibility together.
B. चुनाव और राजनीति में भ्रष्टाचार आ सकता है/Corruption may enter elections and politics
Explanation
Simple Explanation
कुछ लोग कहते हैं कि चुनावी राजनीति में भ्रष्टाचार हो सकता है। परीक्षा में इसे लोकतंत्र की आलोचना के रूप में पहचानें। / Some argue that electoral politics may have corruption. Exam tip: identify this as a criticism of democracy.
(3) से विभाज्य संख्या (3) के गुणज के रूप में लिखी जाती है। इसलिए (r=3t) लिखा जाता है। / A number divisible by (3) is written as a multiple of (3). So (r=3t) is written.
C. कई लोगों की राय ली जाती है/Views of many people are considered
Explanation
Simple Explanation
कई लोगों की राय से निर्णय में सुधार हो सकता है। परीक्षा में सलाह और बहस को लाभ समझें। / Decisions can improve when many views are considered. Exam tip: treat consultation and debate as benefits.
लोकतंत्र में चुनाव द्वारा सरकार बदली जा सकती है। परीक्षा में शांतिपूर्ण बदलाव को बड़ा लाभ मानें। / In democracy government can be changed through elections. Exam tip: treat peaceful change as a major benefit.
A. मतदाता ज्ञान पर संदेह/Doubt about voter knowledge
Explanation
Simple Explanation
यह लोकतंत्र के विरुद्ध दिया जाने वाला एक सामान्य तर्क है। परीक्षा में इसे मतदाता क्षमता से जुड़ी आलोचना समझें। / This is a common argument against democracy. Exam tip: understand it as a criticism related to voter capacity.
\(n^2\) सम है इसलिए (n) भी सम होगा। इससे अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं। / Since \(n^2\) is even, (n) is also even. Thus both numerator and denominator become even.
B. क्योंकि हर नागरिक की राजनीतिक आवाज होती है/Because every citizen has a political voice
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में सामान्य नागरिक की राय भी महत्वपूर्ण होती है। परीक्षा में नागरिक की आवाज को लाभ के रूप में याद रखें। / In democracy an ordinary citizen's opinion is also important. Exam tip: remember citizen voice as an advantage.
\(s^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (s) भी (3) से विभाज्य होगा। यही अंतिम विरोधाभास की ओर ले जाता है। / Since \(s^2\) is divisible by (3), (s) is also divisible by (3). This leads to the final contradiction.
A. वे सहभाज्य नहीं रह सकते/They cannot remain coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर (2) सामान्य गुणनखंड होता है। यह सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास है। / If both are even, (2) is a common factor. This contradicts the coprime assumption.
A. क्योंकि जनता चुनाव में सरकार बदल सकती है/Because people can change government in elections
Explanation
Simple Explanation
चुनाव सरकार को जनता के प्रति जवाबदेह बनाते हैं। परीक्षा में चुनाव और जवाबदेही को साथ रखें। / Elections make government accountable to people. Exam tip: keep elections and accountability together.
A. गलतियों को पहचानना आसान होता है/It becomes easier to identify mistakes
Explanation
Simple Explanation
बहस से गलतियां सामने आ सकती हैं और सुधार हो सकता है। परीक्षा में बहस को सुधार से जोड़ें। / Debate can reveal mistakes and allow improvement. Exam tip: connect debate with correction.
C. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / The rational assumption led to a contradiction. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
A. राजनीतिक प्रतिस्पर्धा से मतभेद बढ़ सकते हैं/Political competition may increase conflicts
Explanation
Simple Explanation
कुछ लोग मानते हैं कि राजनीतिक प्रतिस्पर्धा तनाव बढ़ा सकती है। परीक्षा में इसे आलोचना के रूप में पहचानें। / Some believe political competition can increase tension. Exam tip: identify it as a criticism.
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से सहभाज्य शर्त टूटती है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होता है। / The rational assumption breaks the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
A. सरकार बदलने का अवसर देकर/By giving a chance to change government
Explanation
Simple Explanation
गलत सरकार को चुनाव में बदला जा सकता है। परीक्षा में सुधार की क्षमता को लोकतंत्र का लाभ मानें। / A wrong government can be changed in elections. Exam tip: treat ability to correct as a benefit of democracy.
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में समता और (2) के गुणनखंड का उपयोग होता है। इसलिए (2) मुख्य है। / The proof of \(\sqrt{2}\) uses evenness and factor (2). Therefore (2) is central.
A. क्योंकि हर योग्य नागरिक की आवाज मायने रखती है/Because every eligible citizen's voice matters
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र समान नागरिक गरिमा पर आधारित है। परीक्षा में समान राजनीतिक सम्मान याद रखें। / Democracy is based on equal citizen dignity. Exam tip: remember equal political respect.
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता का उपयोग होता है। इसलिए (3) मुख्य है। / The proof of \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3). Therefore (3) is central.
चुनाव कराने में धन और व्यवस्था लगती है इसलिए इसे आलोचना माना जाता है। परीक्षा में खर्च को विरोधी तर्क से जोड़ें। / Elections need money and arrangements so it is treated as a criticism. Exam tip: connect expense with argument against democracy.
C. विरोधाभास दिखाने के लिए/To show a contradiction
Explanation
Simple Explanation
उल्टी मान्यता से असंभव स्थिति निकाली जाती है। इससे मूल कथन सिद्ध होता है। / An impossible situation is derived from the opposite assumption. This proves the original statement.
A. प्रश्न पूछ सकती है और बदलाव मांग सकती है/They can question and demand change
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र नागरिकों को सवाल और सुधार की मांग का अवसर देता है। परीक्षा में प्रश्न पूछना लोकतंत्र का लाभ समझें। / Democracy gives citizens chance to question and demand correction. Exam tip: understand questioning as a benefit.
A. चुनाव और जनता की इच्छा/Elections and people's will
Explanation
Simple Explanation
चुनाव सत्ता परिवर्तन का शांतिपूर्ण रास्ता देते हैं। परीक्षा में सत्ता परिवर्तन और चुनाव को जोड़ें। / Elections give a peaceful way of transfer of power. Exam tip: connect power change with elections.
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जा सकती है। इसलिए \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) परिमेय मान्यता है। / A rational number can be written as a ratio of two integers. So \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) is a rational assumption.
A. सरकार जनता को जवाब देती है/Government answers to people
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में सरकार जनता के प्रति उत्तरदायी होती है। परीक्षा में जवाबदेही को लोकतंत्र का मुख्य लाभ लिखें। / In democracy government is responsible to people. Exam tip: write accountability as a main benefit of democracy.
यदि कोई संख्या \(\frac{r}{s}\) के रूप में लिखी जाए तो वह परिमेय मानी जा रही है। यही प्रमाण की प्रारंभिक मान्यता है। / If a number is written as \(\frac{r}{s}\), it is being assumed rational. This is the initial assumption of the proof.
देरी लोकतंत्र के विरुद्ध दिया जाने वाला तर्क है। परीक्षा में देरी को आलोचना से जोड़ें। / Delay is an argument given against democracy. Exam tip: connect delay with criticism.
C. ताकि सहभाज्य शर्त से विरोधाभास दिखे/So contradiction with coprime condition can be shown
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (m) और (n) सहभाज्य होते हैं। दोनों सम निकलना इसी बात से टकराता है। / In lowest form (m) and (n) are coprime. Both becoming even contradicts this.
चुनाव जनता को सरकार चुनने और बदलने की शक्ति देते हैं। परीक्षा में चुनाव को जनता की शक्ति मानें। / Elections give people power to choose and change government. Exam tip: treat elections as people's power.
