यदि (R) और (S) दोनों (A) पर सममित संबंध हैं तो \(R\cup S\) के बारे में क्या सही है?
If (R) and (S) are both symmetric relations on (A), what is true about \(R\cup S\)?
#relations
#union
#symmetric-relation
A यह भी सममित होगा / It will also be symmetric
B यह कभी सममित नहीं होगा / It will never be symmetric
C यह हमेशा स्वतः होगा / It will always be reflexive
D यह हमेशा संचारी होगा / It will always be transitive
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Correct Answer
A. यह भी सममित होगा / It will also be symmetric
Step 1
Concept
यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है तो वह (R) या (S) में होगा। / If a pair is in \(R\cup S\), it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में वह युग्म है उसमें उसका उलटा भी होगा, इसलिए उलटा युग्म भी \(R\cup S\) में होगा। / In that relation, its reverse is also present, so the reverse is in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सममित संबंधों का सम्मिलन सममित रहता है। / Hence the union of symmetric relations remains symmetric.
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यदि (R) और (S) दोनों संचारी संबंध हैं तो \(R\cup S\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) and (S) are both transitive relations, which statement about \(R\cup S\) is correct?
#relations
#union
#transitive-relation
A यह हमेशा संचारी हो यह जरूरी नहीं / It need not always be transitive
B यह हमेशा संचारी होगा / It is always transitive
C यह हमेशा रिक्त होगा / It is always empty
D यह हमेशा तत्समक होगा / It is always identity
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Correct Answer
A. यह हमेशा संचारी हो यह जरूरी नहीं / It need not always be transitive
Step 1
Concept
अलग अलग संबंधों से आए युग्म मिलकर नई श्रृंखला बना सकते हैं। / Pairs coming from different relations can form a new chain.
Step 2
Why this answer is correct
उस नई श्रृंखला के लिए जरूरी तीसरा युग्म सम्मिलन में न भी हो सकता है। / The third pair required for that new chain may not be present in the union.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संचारी संबंधों का सम्मिलन हमेशा संचारी नहीं माना जाता। / Therefore the union of transitive relations is not always transitive.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) है, तो (R) किस प्रकार का संबंध है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\), what type of relation is (R)?
#relations
#reflexive
#symmetric
A स्वपरक और सममित / Reflexive and symmetric
B स्वपरक पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
C सममित पर स्वपरक नहीं / Symmetric but not reflexive
D न स्वपरक न सममित / Neither reflexive nor symmetric
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Correct Answer
A. स्वपरक और सममित / Reflexive and symmetric
Step 1
Concept
स्वपरकता के लिए सभी स्वयं युग्म मौजूद होने चाहिए। / Reflexivity needs all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) मौजूद हैं और ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है। / ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) are present and ((1,2)) has ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
पहले स्वयं युग्म फिर उल्टे युग्म जांचना अच्छा तरीका है। / Check self-pairs first and then reverse pairs.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) है, तो (R) समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not an equivalence relation?
#relations
#equivalence relation
#not symmetric
A क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
B क्योंकि यह संबंध नहीं है / Because it is not a relation
C क्योंकि यह स्वपरक नहीं है / Because it is not reflexive
D क्योंकि यह रिक्त है / Because it is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध के लिए स्वपरकता, सममितता और संक्रामकता तीनों चाहिए। / An equivalence relation needs reflexivity, symmetry, and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता में एक भी गुण छूटे तो संबंध समतुल्यता नहीं होगा। / If even one property is missing, the relation is not equivalence.
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यदि किसी समुच्चय (A) में (4) तत्व हैं, तो (A) पर कुल संबंधों की संख्या कितनी होगी?
If a set (A) has (4) elements, how many relations are possible on (A)?
#relations
#total relations
#counting
A \(2^{8}\)
B \(2^{16}\)
C \(4^{4}\)
D \(16^{2}\)
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Correct Answer
B. \(2^{16}\)
Step 1
Concept
(A) पर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। / A relation on (A) is a subset of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। / \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{16}\) होगी, इसलिए यही उत्तर है। / The number of subsets is \(2^{16}\), so that is the answer.
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यदि (A) में (3) तत्व हैं, तो (A) पर स्वपरक संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (3) elements, what is the number of reflexive relations on (A)?
#relations
#reflexive relations
#counting formula
A \(2^3\)
B \(2^6\)
C \(2^9\)
D \(3^6\)
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Correct Answer
B. \(2^6\)
Step 1
Concept
स्वपरक संबंध में (3) स्वयं युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must include (3) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) में (9) युग्म हैं, इसलिए (6) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / \(A\times A\) has (9) pairs, so (6) pairs are freely chosen.
Step 3
Exam Tip
स्वपरक संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी। / The number of reflexive relations is \(2^6\).
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यदि \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) है, तो (R) \(A=\{1,2,3\}\) पर सममित क्यों नहीं है?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\), why is (R) not symmetric on \(A=\{1,2,3\}\)?
#relations
#symmetry test
#ordered pairs
A क्योंकि ((2,1)) अनुपस्थित है / Because ((2,1)) is missing
B क्योंकि ((1,1)) मौजूद है / Because ((1,1)) is present
C क्योंकि ((3,3)) मौजूद है / Because ((3,3)) is present
D क्योंकि यह स्वपरक है / Because it is reflexive
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Correct Answer
A. क्योंकि ((2,1)) अनुपस्थित है / Because ((2,1)) is missing
Step 1
Concept
सममितता में प्रत्येक युग्म का उल्टा युग्म भी होना चाहिए। / Symmetry needs the reverse of every ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है, जो संबंध में नहीं है। / The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), which is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
एक भी उल्टा युग्म न मिलने पर सममितता समाप्त हो जाती है। / Missing even one reverse pair breaks symmetry.
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यदि \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) है, तो इसे संक्रामक बनाने के लिए कौन सा युग्म जोड़ना जरूरी है?
If \(R=\{(1,2),(2,3)\}\), which pair must be added to make it transitive?
#relations
#transitive closure
#required pair
A ((2,1))
B ((3,2))
C ((1,3))
D ((3,1))
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Correct Answer
C. ((1,3))
Step 1
Concept
संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। / Transitivity needs ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) जरूरी है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता में पहले युग्म का पहला और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व लें। / Take the first entry of the first pair and the second entry of the second pair.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\), तो (A) पर सर्वसम संबंध कौन सा है?
If \(A=\{1,2,3\}\), which is the identity relation on (A)?
#relations
#identity relation
#self pairs
A ({(1,2),(2,3),(3,1)})
B ({(1,1),(2,2),(3,3)})
C ({(1,1),(1,2),(2,1)})
D \(\varnothing\)
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Correct Answer
B. ({(1,1),(2,2),(3,3)})
Step 1
Concept
सर्वसम संबंध में हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित होता है। / In the identity relation, every element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (1), (2), (3) के लिए ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) मिलते हैं। / So for (1), (2), and (3), the pairs are ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग तत्वों वाले युग्म सर्वसम संबंध में नहीं होते। / Pairs with different entries are not part of the identity relation.
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यदि (A) में (2) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं, तो (A) से (B) में कुल संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (2) elements and (B) has (3) elements, how many relations are possible from (A) to (B)?
#relations
#from A to B
#cartesian product
A \(2^5\)
B \(2^6\)
C \(6^2\)
D \(3^2\)
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Correct Answer
B. \(2^6\)
Step 1
Concept
(A) से (B) में संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / A relation from (A) to (B) is a subset of \(A\times B\).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times B\) में \(2\times3=6\) युग्म हैं। / \(A\times B\) has \(2\times3=6\) pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंध \(2^6\) होंगे। / Therefore, the number of relations is \(2^6\).
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