Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
स्वतुल्य होने से सभी विकर्ण युग्म निश्चित रूप से संबंध में होंगे। / Reflexivity forces all diagonal pairs to be included.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता में केवल (n(n-1)/2) गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों को चुनना होता है, इसलिए संख्या \(2^{\frac{6\cdot5}{2}}=2^{15}\) होगी। / For symmetry, we choose from (n(n-1)/2) unordered off-diagonal pair groups, so the count is \(2^{\frac{6\cdot5}{2}}=2^{15}\).
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्य शर्त होने पर विकर्ण युग्मों के लिए अलग चुनाव नहीं बचता। / When reflexivity is fixed, do not count diagonal choices separately.
कोई विकर्ण युग्म नहीं होने का अर्थ है कि ((a,a)) जैसे सभी युग्म अनुपस्थित रहेंगे। / No diagonal pair means every pair of the form ((a,a)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
अब केवल (5) अवयवों के \(5\cdot4/2=10\) गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों में चुनाव बचेगा। / Only the \(5\cdot4/2=10\) unordered off-diagonal pair groups remain optional.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्म अकेले नहीं, अपने उल्टे के साथ चुने जाते हैं। / In symmetric relations, off-diagonal pairs are selected together with their reverses.
A. (R-S) हमेशा सममित होगा/(R-S) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\) होगा। / If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) सममित है इसलिए \((b,a)\in R\), और (S) सममित होने से यदि \((b,a)\in S\) होता तो \((a,b)\in S\) भी होता, जो असत्य है। / Since (R) is symmetric, \((b,a)\in R\), and since (S) is symmetric, \((b,a)\in S\) would imply \((a,b)\in S\), which is false.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले प्रमाण में शामिल और अनुपस्थित दोनों शर्तों को साथ जाँचें। / In difference proofs, handle membership and non-membership together.
उल्टे संबंध के नियम से (\(R\circ S\)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}) होता है। / For inverse relations, (\(R\circ S\)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) सममित हैं, इसलिए \(R^{-1}=R\) और \(S^{-1}=S\), अतः (\(R\circ S\)^{-1}=S\circ R)। / Since (R) and (S) are symmetric, \(R^{-1}=R\) and \(S^{-1}=S\), so (\(R\circ S\)^{-1}=S\circ R).
Step 3
Exam Tip
यदि \(R\circ S=S\circ R\), तो संयुक्त संबंध अपने उल्टे के बराबर होकर सममित हो जाएगा। / If \(R\circ S=S\circ R\), then the composite equals its inverse and is symmetric.
(4) विकर्ण युग्मों में से ठीक (2) चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं। / Exactly two diagonal pairs can be selected in \(\binom{4}{2}=6\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों की संख्या \(4\cdot3/2=6\) है, जिनके लिए \(2^6\) चुनाव हैं। / There are \(4\cdot3/2=6\) unordered off-diagonal pair groups, giving \(2^6\) choices.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण चुनाव और गैर-विकर्ण सममित चुनाव को गुणा करें। / Multiply the diagonal choices and off-diagonal symmetric choices.
(R) को सममित बनाने के लिए हर युग्म का उल्टा जोड़ना पड़ता है। / To make (R) symmetric, every pair needs its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
\(R^{-1}\) यही उल्टे युग्म देता है, इसलिए \(R\cup R^{-1}\) सभी आवश्यक युग्म रखता है। / \(R^{-1}\) provides exactly those reverse pairs, so \(R\cup R^{-1}\) contains all required pairs.
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा शब्द देखकर अनावश्यक अतिरिक्त युग्म जोड़ने वाले विकल्प हटाएँ। / When the word smallest appears, reject options that add unnecessary pairs.
(n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
गैर-विकर्ण युग्म उल्टे जोड़ों में आते हैं, इसलिए उनके समूहों की संख्या (\frac{n(n-1)}{2}) है। / Off-diagonal pairs are chosen in reverse-pair groups, and there are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) होते हैं। / The total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
एक विकर्ण युग्म चुनने के (3) तरीके हैं। / There are (3) ways to choose one diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
दो गैर-विकर्ण क्रमित युग्मों का अर्थ है एक उल्टा जोड़ी समूह; (3) अवयवों में ऐसे समूह \(\binom{3}{2}=3\) हैं। / Two off-diagonal ordered pairs mean one reverse-pair group; with (3) elements, there are \(\binom{3}{2}=3\) such groups.
Step 3
Exam Tip
कुल तरीके \(3\cdot3=9\) होंगे। / Total possibilities are \(3\cdot3=9\).
दो सममित संबंधों का अंतर भी सममित होता है। / The difference of two symmetric relations is also symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
(R-S) और (S-R) दोनों सममित होंगे, और सममित संबंधों का संघ भी सममित होता है। / Both (R-S) and (S-R) are symmetric, and the union of symmetric relations is symmetric.
Step 3
Exam Tip
जटिल संक्रिया को छोटे भागों में तोड़कर गुण जाँचें। / Break a complex operation into smaller relation operations.
A. ((a,a)), यदि (a) और (b) वही अवयव हैं जिनसे ((a,b)) दिया है/((a,a)), for the same (a) and (b) in the given pair
Step 1
Concept
\((a,b)\in R\) और सममितता से \((b,a)\in R\) होगा। / From \((a,b)\in R\), symmetry gives \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,a)) से \((a,a)\in R\) मिलता है। / By transitivity, ((a,b)) and ((b,a)) imply \((a,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
यह निष्कर्ष केवल जुड़े हुए अवयवों के लिए है, पूरे समुच्चय के हर अवयव के लिए नहीं। / This conclusion applies to the involved elements, not automatically to every element of the set.
A. कोई गैर-विकर्ण युग्म नहीं हो सकता/No off-diagonal pair can occur
Step 1
Concept
सममितता में ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होगा। / Symmetry says that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधी-सममितता कहती है कि यदि दोनों दिशाएँ हों तो (a=b) होना चाहिए। इसलिए \(a\ne b\) वाले युग्म संभव नहीं। / Antisymmetry says that if both directions are present, then (a=b). Hence off-diagonal pairs with \(a\ne b\) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
दोनों गुण साथ आएँ तो विकर्ण और गैर-विकर्ण का अलग विश्लेषण करें। / When both properties appear together, separate diagonal and off-diagonal cases.
सममित और विरोधी-सममित दोनों होने पर कोई गैर-विकर्ण युग्म नहीं हो सकता। / If a relation is both symmetric and antisymmetric, no off-diagonal pair can be present.
Step 2
Why this answer is correct
केवल (4) विकर्ण युग्मों को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। / Only the (4) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^4\) है। / Therefore, the number of such relations is \(2^4\).
