Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं है/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान हमेशा पूर्णांक होता है, इसलिए (0.5) जैसा वास्तविक मान नहीं मिलता। / Its values are always integers, so a real number like (0.5) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में अंतराल के कई मानों का समान प्रतिबिंब होता है। / The greatest integer function maps many values in an interval to the same integer.
हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए यह \(\mathbb{Z}\) पर आच्छादी है। / For every integer (n), taking (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto \(\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। / But \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) करने से यही फलन आच्छादी बन जाता है। / Changing the codomain to \(\mathbb{Z}\) makes this function onto.
\(x\ge0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}), जो (0) से बढ़कर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं होता। / For \(x\ge0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), which increases from (0) and approaches (1) but never equals (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर मान (-1) से बड़ा और (0) से छोटा रहता है। / For (x<0), the value stays greater than (-1) and less than (0).
Step 3
Exam Tip
सीमा के पास पहुँचना और सीमा को प्राप्त करना अलग बातें हैं। / Approaching an endpoint and attaining it are different things.
मान लें (f\(a_1\)=f\(a_2\))। / Suppose (f\(a_1\)=f\(a_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), अर्थात (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), so (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए \(a_1=a_2\); अतः (f) एकैकी है। / Since \(g\circ f\) is one-one, \(a_1=a_2\); therefore (f) is one-one.
दोनों समुच्चयों में तत्वों की संख्या (3) है। / Both sets have (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी और आच्छादी फलन का अर्थ है कि हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होगा, इसलिए संख्या (3!) होगी। / A function that is one-one and onto must pair every element uniquely, so the number is (3!).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में समान आकार के सीमित समुच्चयों के लिए ऐसे फलनों की संख्या सीधे (n!) लें। / In exams, for two finite sets of the same size, bijections are counted as (n!).
