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The domain of a sum is the intersection of both domains, so \(x\ge 2\). In exams, keep the radicand of a square root non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\ge 2\). The domain of a sum is the intersection of both domains, so \(x\ge 2\). In exams, keep the radicand of a square root non-negative.
Step 3
Exam Tip
योग का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है, इसलिए \(x\ge 2\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को (0) या अधिक रखें।
Using a common denominator gives numerator ((x+1)+(x-3)=2x-2). While simplifying, remember original restrictions \(x\ne3,-1\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\frac{2x-2}{(x-3)(x+1)}). Using a common denominator gives numerator ((x+1)+(x-3)=2x-2). While simplifying, remember original restrictions \(x\ne3,-1\).
Step 3
Exam Tip
हर समान करने पर अंश ((x+1)+(x-3)=2x-2) मिलता है। सरल करते समय मूल प्रतिबंध \(x\ne3,-1\) भी याद रखें।
The domain of a product is the intersection of both domains, so \(5-x\ge0\) and \(x+1\ge0\). Hence \(-1\le x\le5\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-1\le x\le5\). The domain of a product is the intersection of both domains, so \(5-x\ge0\) and \(x+1\ge0\). Hence \(-1\le x\le5\).
Step 3
Exam Tip
गुणन का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद है, इसलिए \(5-x\ge0\) और \(x+1\ge0\)। अतः \(-1\le x\le5\)।
(\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), but (x=-2) remains excluded. Do not forget the original denominator restriction after cancellation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x-2,\ x\ne-2\). (\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), but (x=-2) remains excluded. Do not forget the original denominator restriction after cancellation.
Step 3
Exam Tip
(\frac{x-2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2), पर (x=-2) निषिद्ध रहेगा। कटाव के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध न भूलें।
Although the product becomes (1), the original functions exclude (x=0) and (x=1). It is safer to decide the domain before simplification.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\ne0,1\). Although the product becomes (1), the original functions exclude (x=0) and (x=1). It is safer to decide the domain before simplification.
Step 3
Exam Tip
यद्यपि गुणनफल (1) बनता है, मूल फलनों में (x=0) और (x=1) निषिद्ध हैं। सरलीकरण से पहले प्रांत तय करना सुरक्षित तरीका है।
A. \(x\le-3\) या \(x\ge3,\ x\ne4\)/\(x\le-3\) or \(x\ge3,\ x\ne4\)
Step 1
Concept
For \(\sqrt{x^2-9}\), \(x^2-9\ge0\), and for the fraction \(x\ne4\). Thus \(x\le-3\) or \(x\ge3\), but (x=4) is removed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\le-3\) या \(x\ge3,\ x\ne4\) / \(x\le-3\) or \(x\ge3,\ x\ne4\). For \(\sqrt{x^2-9}\), \(x^2-9\ge0\), and for the fraction \(x\ne4\). Thus \(x\le-3\) or \(x\ge3\), but (x=4) is removed.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x^2-9}\) के लिए \(x^2-9\ge0\) और भिन्न के लिए \(x\ne4\)। इसलिए \(x\le-3\) या \(x\ge3\), पर (x=4) हटेगा।
Both \(x^2\) and (|x|) are even functions, so their sum is even. To test evenness, replace (x) by (-x).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सम फलन / Even function. Both \(x^2\) and (|x|) are even functions, so their sum is even. To test evenness, replace (x) by (-x).
Step 3
Exam Tip
दोनों \(x^2\) और (|x|) सम फलन हैं, इसलिए उनका योग भी सम है। समता जाँचने के लिए (x) के स्थान पर (-x) रखें।
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the quotient is (x-3) and (x=2) is excluded. Keep the original denominator restriction after factorization.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x-3,\ x\ne2\). (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the quotient is (x-3) and (x=2) is excluded. Keep the original denominator restriction after factorization.
Step 3
Exam Tip
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), इसलिए भागफल (x-3) है और (x=2) निषिद्ध है। गुणनखंडन के बाद भी मूल हर का प्रतिबंध रखें।
(f(0)=\frac{1}{-1}=-1) and (g(0)=\frac{-1}{1}=-1), so the sum is (-2). First check whether the given (x) lies in the domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-2). (f(0)=\frac{1}{-1}=-1) and (g(0)=\frac{-1}{1}=-1), so the sum is (-2). First check whether the given (x) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
(f(0)=\frac{1}{-1}=-1) और (g(0)=\frac{-1}{1}=-1), इसलिए योग (-2) है। पहले जाँचें कि दिया गया (x) प्रांत में है।
((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), which is (0) at (x=1). Therefore (>0) holds for all \(x\ne1\); none of the broad options is exact.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सभी वास्तविक (x) के लिए / For all real (x). ((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), which is (0) at (x=1). Therefore (>0) holds for all \(x\ne1\); none of the broad options is exact.
Step 3
Exam Tip
((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), जो (x=1) पर (0) है। अतः (>0) सभी \(x\ne1\) के लिए होना चाहिए, इसलिए दिए विकल्पों में कोई?
((f-g)(x)=(x-1)2), which is (0) at (x=1) and positive elsewhere. A square form gives a quick clue in inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\in\mathbb{R},\ x\ne1\). ((f-g)(x)=(x-1)2), which is (0) at (x=1) and positive elsewhere. A square form gives a quick clue in inequalities.
Step 3
Exam Tip
((f-g)(x)=(x-1)2), जो (x=1) पर (0) और बाकी जगह धनात्मक है। वर्ग रूप कठिन असमानताओं में तेज संकेत देता है।
The denominator is \(\sqrt{x+2}\), so (x+2>0) is required. Hence (x>-2), regardless of where the numerator is defined.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x>-2). The denominator is \(\sqrt{x+2}\), so (x+2>0) is required. Hence (x>-2), regardless of where the numerator is defined.
Step 3
Exam Tip
हर में \(\sqrt{x+2}\) है, इसलिए (x+2>0) चाहिए। अतः (x>-2), भले ही अंश कहीं भी परिभाषित हो।
((fg)(x)=(2x+3)(x-5)=2x-2-7x-15), so the coefficient of \(x^2\) is (2). In multiplication, check the leading terms first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2). ((fg)(x)=(2x+3)(x-5)=2x-2-7x-15), so the coefficient of \(x^2\) is (2). In multiplication, check the leading terms first.
Step 3
Exam Tip
((fg)(x)=(2x+3)(x-5)=2x-2-7x-15), इसलिए \(x^2\) का गुणांक (2) है। गुणन में प्रमुख पदों का गुणन पहले देखें।
\(2x+1=x^2+x\) gives \(x^2-x-1=0\). The quadratic formula gives \(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\), so the listed option pattern would be wrong.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x=1+\sqrt{2},\ 1-\sqrt{2}\). \(2x+1=x^2+x\) gives \(x^2-x-1=0\). The quadratic formula gives \(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\), so the listed option pattern would be wrong.
Step 3
Exam Tip
\(2x+1=x^2+x\) से \(x^2-x-1=0\) मिलता है। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\), इसलिए विकल्पों में त्रुटि होगी।
A. \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Step 1
Concept
((f+g)(x)=2x+1) and ((fg)(x)=x(x+1)), so \(x^2-x-1=0\). The quadratic formula gives \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2}\). ((f+g)(x)=2x+1) and ((fg)(x)=x(x+1)), so \(x^2-x-1=0\). The quadratic formula gives \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\).
Step 3
Exam Tip
((f+g)(x)=2x+1) और ((fg)(x)=x(x+1)), इसलिए \(x^2-x-1=0\)। द्विघात सूत्र से सही हल \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) हैं।
(\frac{f}{g}=\frac{x-2}{x+2}\cdot\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-2)2}{(x+2)2}). The restrictions \(x\ne\pm2\) from the original functions remain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\frac{(x-2)2}{(x+2)2},\ x\ne\pm2). (\frac{f}{g}=\frac{x-2}{x+2}\cdot\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-2)2}{(x+2)2}). The restrictions \(x\ne\pm2\) from the original functions remain.
Step 3
Exam Tip
(\frac{f}{g}=\frac{x-2}{x+2}\cdot\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-2)2}{(x+2)2})। दोनों मूल फलनों के प्रतिबंध \(x\ne\pm2\) रहेंगे।
((g-f)(x)=x-2+1-\(x^2-1\)=2). Cancellation of like terms can produce a constant function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. स्थिर धनात्मक (2) / Constant positive (2). ((g-f)(x)=x-2+1-\(x^2-1\)=2). Cancellation of like terms can produce a constant function.
Step 3
Exam Tip
((g-f)(x)=x-2+1-\(x^2-1\)=2)। समान पदों के कटने से स्थिर फलन मिल सकता है।
With common denominator ((x-2)(x+2)), numerator is (2x-(x+2)=x-2), so the form is \(\frac{1}{x+2}\) with \(x\ne\pm2\). Thus option (C) is the simplification.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\frac{2}{(x-2)(x+2)}). With common denominator ((x-2)(x+2)), numerator is (2x-(x+2)=x-2), so the form is \(\frac{1}{x+2}\) with \(x\ne\pm2\). Thus option (C) is the simplification.
Step 3
Exam Tip
समान हर ((x-2)(x+2)) लेने पर अंश (2x-(x+2)=x-2) होगा, इसलिए \(\frac{1}{x+2}\) पर \(x\ne\pm2\)। सही सरलीकरण विकल्प (C) है।
(\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}). Hence the simplified form is \(\frac{1}{x+2}\), but \(x=\pm2\) remain excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{1}{x+2},\ x\ne\pm2\). (\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}). Hence the simplified form is \(\frac{1}{x+2}\), but \(x=\pm2\) remain excluded.
Step 3
Exam Tip
(\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)})। इसलिए सरल रूप \(\frac{1}{x+2}\) है, पर \(x=\pm2\) हटे रहेंगे।
((f+g)(x)=2x-2), which is an even function. Even if individual functions are not even or odd, their sum may become even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सम फलन / Even function. ((f+g)(x)=2x-2), which is an even function. Even if individual functions are not even or odd, their sum may become even.
Step 3
Exam Tip
((f+g)(x)=2x-2), जो सम फलन है। अलग-अलग फलन सम या विषम न हों, फिर भी योग सम बन सकता है।
((f-g)(x)=6x), which is an odd function. In subtraction, like-degree terms may cancel and change the nature.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विषम फलन / Odd function. ((f-g)(x)=6x), which is an odd function. In subtraction, like-degree terms may cancel and change the nature.
Step 3
Exam Tip
((f-g)(x)=6x), जो विषम फलन है। घटाव में समान घात वाले पद कट सकते हैं और प्रकृति बदल सकती है।
\(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\). Because of the original functions, \(x\ne0,-1\) remains.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{x^2}{x+1},\ x\ne0,-1\). \(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\). Because of the original functions, \(x\ne0,-1\) remains.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{f}{g}=\frac{x}{x+1}\cdot x=\frac{x^2}{x+1}\)। मूल फलनों के कारण \(x\ne0,-1\) रहेगा।
For (f), \(x\ge4\), and for (g), \(x\ne6\). In \(\frac{f}{g}\), (g(x)\ne0) is also needed, but \(\frac{1}{x-6}\) is never (0).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\ge4,\ x\ne6\). For (f), \(x\ge4\), and for (g), \(x\ne6\). In \(\frac{f}{g}\), (g(x)\ne0) is also needed, but \(\frac{1}{x-6}\) is never (0).
Step 3
Exam Tip
(f) के लिए \(x\ge4\) और (g) के लिए \(x\ne6\)। \(\frac{f}{g}\) में (g(x)\ne0) भी चाहिए, पर \(\frac{1}{x-6}\) कभी (0) नहीं होता।
First \(x^2-1\ge0\) gives \(|x|\ge1\), and \(4-x^2\ge0\) gives \(|x|\le2\). The intersection is \([-2,-1]\cup[1,2]\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([-2,-1]\cup[1,2]\). First \(x^2-1\ge0\) gives \(|x|\ge1\), and \(4-x^2\ge0\) gives \(|x|\le2\). The intersection is \([-2,-1]\cup[1,2]\).
Step 3
Exam Tip
पहले \(x^2-1\ge0\) से \(|x|\ge1\), और \(4-x^2\ge0\) से \(|x|\le2\)। प्रतिच्छेद \([-2,-1]\cup[1,2]\) है।
(\frac{f}{g}=\frac{(x+2)2}{x+2}), but at (x=-2) the original denominator is (0). Cancellation does not bring that point back into the domain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिभाषित है / It is undefined. (\frac{f}{g}=\frac{(x+2)2}{x+2}), but at (x=-2) the original denominator is (0). Cancellation does not bring that point back into the domain.
Step 3
Exam Tip
(\frac{f}{g}=\frac{(x+2)2}{x+2}) है, पर (x=-2) पर मूल हर (0) है। कटाव के बाद भी वह बिंदु प्रांत में वापस नहीं आता।
A. दोनों सूत्र समान हैं पर प्रांत अलग हैं/Their formulas match after simplification but domains differ
Step 1
Concept
(f(x)=x+3) only for \(x\ne3\), while (g) is defined for all real (x). The same algebraic form does not always mean the same function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सूत्र समान हैं पर प्रांत अलग हैं / Their formulas match after simplification but domains differ. (f(x)=x+3) only for \(x\ne3\), while (g) is defined for all real (x). The same algebraic form does not always mean the same function.
Step 3
Exam Tip
(f(x)=x+3) केवल \(x\ne3\) के लिए है, जबकि (g) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित है। समान बीजगणितीय रूप हमेशा समान फलन नहीं बनाता।
((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8) and the denominator is \(x^2-4\). The middle terms cancel when expanding the squares.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{2x^2+8}{x^2-4},\ x\ne\pm2\). ((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8) and the denominator is \(x^2-4\). The middle terms cancel when expanding the squares.
Step 3
Exam Tip
((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8) और हर \(x^2-4\) है। वर्गों को फैलाते समय मध्यम पद कटते हैं।
For both square roots, \(x+3\ge0\) and \(x-1\ge0\), so \(x\ge1\). The product is (\sqrt{(x+3)(x-1)}=\sqrt{x-2+2x-3}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{x^2+2x-3},\ x\ge1\). For both square roots, \(x+3\ge0\) and \(x-1\ge0\), so \(x\ge1\). The product is (\sqrt{(x+3)(x-1)}=\sqrt{x-2+2x-3}).
Step 3
Exam Tip
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+3\ge0\) और \(x-1\ge0\), इसलिए \(x\ge1\)। गुणनफल (\sqrt{(x+3)(x-1)}=\sqrt{x-2+2x-3}) है।
(\frac{x-2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1), but (x=-1) is excluded. Use the original denominator to set restrictions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x-1,\ x\ne-1\). (\frac{x-2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1), but (x=-1) is excluded. Use the original denominator to set restrictions.
Step 3
Exam Tip
(\frac{x-2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1), पर (x=-1) हटेगा। मूल हर से प्रतिबंध तय करें।
((fg)(x)=2x-3+4x), which tends to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\). Therefore no real minimum value exists.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. न्यूनतम मान नहीं है / No minimum value exists. ((fg)(x)=2x-3+4x), which tends to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\). Therefore no real minimum value exists.
Step 3
Exam Tip
((fg)(x)=2x-3+4x), जो \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए कोई न्यूनतम वास्तविक मान नहीं है।
(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-(x-1)}{x-2-1}=\frac{2}{x-2-1}). The zeros \(x=\pm1\) of the denominator are excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{2}{x^2-1},\ x\ne\pm1\). (\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-(x-1)}{x-2-1}=\frac{2}{x-2-1}). The zeros \(x=\pm1\) of the denominator are excluded.
Step 3
Exam Tip
(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-(x-1)}{x-2-1}=\frac{2}{x-2-1})। हर के शून्य \(x=\pm1\) निषिद्ध हैं।
For both square roots, \(x+2\ge0\) and \(6-x\ge0\), so \(-2\le x\le6\). The denominator (f(x)+g(x)) is never (0) on this interval, so no point is removed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([-2,6]). For both square roots, \(x+2\ge0\) and \(6-x\ge0\), so \(-2\le x\le6\). The denominator (f(x)+g(x)) is never (0) on this interval, so no point is removed.
Step 3
Exam Tip
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+2\ge0\) और \(6-x\ge0\), इसलिए \(-2\le x\le6\)। हर (f(x)+g(x)) इस अंतराल में (0) नहीं होता, इसलिए कोई बिंदु हटता नहीं है।
