Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) और (B) को एक खंड मानें, इसलिए (7) वस्तुओं की गोल व्यवस्था (6!) और अंदर (2!) तरीके हैं। परीक्षा में साथ वाली शर्त पर खंड विधि लगाएं। / Treat (A) and (B) as one block, so circular arrangements are (6!) and internal arrangements are (2!). Exam tip: use block method for together conditions.
कुल (7!) से उन व्यवस्थाओं को घटाएं जिनमें (3) विशेष पुस्तकें एक खंड बनती हैं, यानी \(5!\times3!\)। परीक्षा में निषेध शर्त के लिए कुल से प्रतिकूल घटाएं। / Subtract arrangements where the (3) special books form one block, that is \(5!\times3!\), from total (7!). Exam tip: for not-together cases, subtract unfavorable cases.
कुल (7) अक्षर हैं और (R) दो बार आता है, इसलिए संख्या \(\frac{7!}{2!}\) है। परीक्षा में समान अक्षरों के फैक्टोरियल से भाग दें। / There are (7) letters and (R) repeats twice, so the count is \(\frac{7!}{2!}\). Exam tip: divide by factorials of repeated letters.
(TT) को एक खंड मानने पर (8) वस्तुएं मिलती हैं जिनमें (M), (E) और (T)-खंड जैसी पुनरावृत्तियां संभलती हैं, संख्या \(\frac{8!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में पहले खंड बनाकर फिर समान अक्षर देखें। / Treat (TT) as one block, giving (8) objects with (M) and (E) repeated, so the count is \(\frac{8!}{2!,2!}\). Exam tip: form the block first, then handle repetitions.
अंतिम अंक (0) या (5) होगा; दोनों मामलों को अलग गिनने पर कुल (300) मिलता है। परीक्षा में शून्य को प्रथम स्थान पर न आने दें। / The last digit must be (0) or (5); counting both cases separately gives (300). Exam tip: never allow zero in the first place.
किसी भी (4) अंकों के चयन का केवल (1) बढ़ता क्रम होता है, इसलिए संख्या \(\binom{8}{4}=70\) है। परीक्षा में क्रम तय हो तो चयन ही पर्याप्त होता है। / Each selection of (4) digits has exactly (1) increasing arrangement, so the count is \(\binom{8}{4}=70\). Exam tip: when order is fixed, selection alone is counted.
(P) और (Q) की जगहों के (5) जोड़े हैं और उनका क्रम (2!) है, बाकी (7) लोग (7!) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में दूरी वाली शर्त को स्थान-जोड़ों से गिनें। / There are (5) position pairs for (P) and (Q), with (2!) orders, and the remaining (7) people can be arranged in (7!) ways. Exam tip: count distance conditions by position pairs.
पहले (6) पुरुषों को (6!) तरीकों से बैठाएं, फिर (7) खाली स्थानों में (4) महिलाओं को \(^{7}P_{4}\) तरीकों से रखें। परीक्षा में अलग-अलग रखने के लिए gaps विधि लगाएं। / Arrange (6) men in (6!) ways, then place (4) women in \(^{7}P_{4}\) of the (7) gaps. Exam tip: use the gaps method for non-adjacent placement.
(MM) को एक खंड मानें; अब (10) वस्तुओं में (A) और (T) दो-दो बार हैं, इसलिए संख्या \(\frac{10!}{2!,2!}\) है। परीक्षा में खंड बनाने के बाद शेष पुनरावृत्ति न भूलें। / Treat (MM) as one block; now there are (10) objects with (A) and (T) repeated twice, so the count is \(\frac{10!}{2!,2!}\). Exam tip: after blocking, do not forget remaining repetitions.
दोनों विशेष वस्तुओं के चुने जाने वाले \(^{8}P_{2}\times{}^{4}P_{2}\) प्रतिकूल मामलों को कुल \(^{10}P_{4}\) से घटाएं। परीक्षा में अधिकतम एक का अर्थ दोनों साथ नहीं है। / Subtract unfavorable cases where both special objects are selected, \(^{8}P_{2}\times{}^{4}P_{2}\), from total \(^{10}P_{4}\). Exam tip: at most one means not both.
