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(5) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (5!) होती है। परीक्षा में अलग-अलग वस्तुओं के लिए factorial लगाएं। / The arrangement of (5) distinct objects is (5!). In exams, use factorial for distinct objects.
यहाँ पद अलग हैं इसलिए क्रम महत्त्वपूर्ण है और उत्तर \({}^{6}P_{3}=120\) है। परीक्षा में पद अलग हों तो permutation लें। / Here the posts are different, so order matters and the answer is \({}^{6}P_{3}=120\). In exams, use permutation when posts are distinct.
(CAT) में (3) अलग अक्षर हैं इसलिए (3!=6) शब्द बनेंगे। छोटे शब्दों में सभी अक्षरों की व्यवस्था सीधे factorial से करें। / The word (CAT) has (3) distinct letters, so (3!=6) words are possible. For small words, arrange all letters using factorial.
(4) अलग झंडों की व्यवस्था (4!=24) होती है। सीधी रेखा में लगाना linear permutation है। / The arrangement of (4) distinct flags is (4!=24). Placing in a straight line is a linear permutation.
\({}^{7}P_{2}=7\times6=42\) होता है। छोटे (r) के लिए घटते हुए (r) गुणनखंड लें। / \({}^{7}P_{2}=7\times6=42\). For small (r), multiply (r) decreasing factors.
कप्तान और उपकप्तान अलग पद हैं इसलिए \({}^{8}P_{2}=56\) होगा। जब जिम्मेदारी अलग हो तो क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / Captain and vice-captain are distinct posts, so \({}^{8}P_{2}=56\). When roles differ, order matters.
तीनों अलग अंकों की व्यवस्था (3!=6) है। बिना पुनरावृत्ति में हर स्थान के विकल्प घटते हैं। / The arrangement of three distinct digits is (3!=6). Without repetition, choices decrease place by place.
(5) लोगों को (5) स्थानों पर बैठाने के तरीके (5!=120) हैं। seating in a row में factorial याद रखें। / The number of ways to seat (5) people in (5) places is (5!=120). Remember factorial for seating in a row.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{5}P_{1}=5\)। एक वस्तु चुनकर व्यवस्थित करने में (n) तरीके होते हैं। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{5}P_{1}=5\). Choosing and arranging one object gives (n) ways.
(DOG) में (3) अलग अक्षर हैं इसलिए (3!=6) व्यवस्थाएँ हैं। अक्षर अलग हों तो सीधे factorial प्रयोग करें। / The word (DOG) has (3) distinct letters, so there are (3!=6) arrangements. Use factorial when letters are distinct.
उत्तर \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\) है। पहले स्थान के बाद दूसरा विकल्प एक कम हो जाता है। / The answer is \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\). After the first place, the second choice decreases by one.
प्रथम और द्वितीय स्थान क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{7}P_{2}=42\) होगा। रैंकिंग में permutation लगता है। / First and second places are ordered, so \({}^{7}P_{2}=42\). Ranking questions use permutation.
\({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\) है। (r=3) हो तो तीन घटते गुणनखंड लें। / \({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\). When (r=3), take three decreasing factors.
पुरस्कार अलग हैं और विद्यार्थी दोहराए नहीं जा सकते इसलिए \({}^{5}P_{3}=60\)। अलग पुरस्कारों के वितरण में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The prizes are distinct and students cannot repeat, so \({}^{5}P_{3}=60\). Distribution of distinct prizes makes order important.
(MATH) में (4) अलग अक्षर हैं इसलिए (4!=24)। सभी अलग अक्षरों की पूरी व्यवस्था factorial से मिलती है। / The word (MATH) has (4) distinct letters, so (4!=24). Full arrangement of distinct letters is found by factorial.
\({}^{n}P_{0}=1\) होता है क्योंकि कोई वस्तु न चुनने का एक तरीका होता है। यह standard result याद रखें। / \({}^{n}P_{0}=1\) because there is one way to choose nothing. Remember this standard result.
दो विशेष सीटों पर क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{4}P_{2}=12\)। सीटें अलग हों तो permutation लें। / Order matters on two special seats, so \({}^{4}P_{2}=12\). If seats are distinct, use permutation.
उत्तर \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\) है। चुनना और क्रम में रखना permutation है। / The answer is \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\). Choosing and arranging in order is permutation.
एक स्थान के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए उत्तर (5) है। (1)-स्थान वाली व्यवस्था में उपलब्ध विकल्प ही उत्तर होते हैं। / There are (5) choices for one place, so the answer is (5). For a one-place arrangement, available choices are the answer.
(SUN) में (3) अलग अक्षर हैं इसलिए (3!=6)। छोटे शब्दों में अक्षर गिनकर factorial लगाएं। / The word (SUN) has (3) distinct letters, so (3!=6). Count the letters and apply factorial for small words.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{10}P_{1}=10\)। एक पद की व्यवस्था में सीधे (n) लिखें। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{10}P_{1}=10\). For one position, write (n) directly.
पहले स्थान के लिए (6) और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए \(6\times5=30\)। स्थान अलग-अलग हों तो क्रम गिनें। / There are (6) choices for the first position and (5) for the second, so \(6\times5=30\). Count order when positions are distinct.
यह \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\) है। कार्डों का क्रम बदलने से व्यवस्था बदलती है। / This is \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\). Changing the order of cards changes the arrangement.
दो समान (O) होने से व्यवस्थाएँ \(\frac{4!}{2!}=12\) होंगी। समान वस्तुओं के लिए factorial से भाग दें। / Because two (O)'s are identical, arrangements are \(\frac{4!}{2!}=12\). For identical objects, divide by their factorial.
यह \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\) है। पंक्ति में खड़ा करना ordered arrangement है। / This is \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\). Standing in a row is an ordered arrangement.
(6) अलग गेंदों की व्यवस्था (6!=720) है। सभी वस्तुएँ अलग हों तो कुल व्यवस्था factorial होती है। / The arrangement of (6) distinct balls is (6!=720). If all objects are distinct, total arrangements are factorial.
दहाई स्थान पर (0) नहीं आ सकता इसलिए (2) विकल्प और इकाई पर (2) विकल्प हैं, कुल (4)। संख्या बनाते समय पहले स्थान पर (0) की जाँच करें। / Zero cannot be in the tens place, so there are (2) choices for tens and (2) for units, total (4). In number formation, check zero in the first place.
\({}^{n}P_{0}=1\) इसलिए \({}^{8}P_{0}=1\)। शून्य वस्तुओं की arrangement एक मानी जाती है। / \({}^{n}P_{0}=1\), so \({}^{8}P_{0}=1\). The arrangement of zero objects is counted as one.
(3) अलग सिक्कों की व्यवस्था (3!=6) है। अलग objects की पूरी arrangement factorial से करें। / The arrangement of (3) distinct coins is (3!=6). Use factorial for full arrangement of distinct objects.
दो अलग पद हैं इसलिए \({}^{10}P_{2}=10\times9=90\)। अलग designation में order महत्त्वपूर्ण होता है। / There are two distinct posts, so \({}^{10}P_{2}=10\times9=90\). Order matters for different designations.
(RAVI) में (4) अलग अक्षर हैं इसलिए (4!=24)। सभी distinct letters हों तो factorial लगाएं। / The word (RAVI) has (4) distinct letters, so (4!=24). Apply factorial when all letters are distinct.
पहले पीरियड के लिए (6) और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए (30)। timetable order में permutation लगता है। / There are (6) choices for the first period and (5) for the second, so (30). Timetable order uses permutation.
तीन स्थानों के लिए \(4\times3\times2=24\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में हर अगले स्थान पर विकल्प घटता है। / For three places, there are \(4\times3\times2=24\) ways. Without repetition, choices decrease at each next place.
यह \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\) है। शेल्फ पर क्रम बदलने से व्यवस्था बदलती है। / This is \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\). Changing order on a shelf changes the arrangement.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। समान अक्षरों के factorial से भाग देना न भूलें। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). Do not forget to divide by factorials of identical letters.
तीन rank क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{5}P_{3}=60\)। rank वाले प्रश्नों में combination नहीं, permutation लें। / The three ranks are ordered, so \({}^{5}P_{3}=60\). In rank questions, use permutation, not combination.
(3) अलग खिलौनों की arrangements (3!=6) हैं। सभी objects अलग हों तो total arrangements factorial होती हैं। / The arrangements of (3) distinct toys are (3!=6). If all objects are distinct, total arrangements are factorial.
उत्तर \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\) है। मंच पर बायाँ-दायाँ क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The answer is \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). Left-right order on a stage is important.
\({}^{3}P_{2}=3\times2=6\) है। छोटे permutation में सीधे घटते गुणनखंड लिखें। / \({}^{3}P_{2}=3\times2=6\). In small permutations, write decreasing factors directly.
सीधी सूची में (5) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (5!=120) है। यहाँ circular counting नहीं करनी है। / In a straight list, the arrangement of (5) distinct objects is (5!=120). Do not use circular counting here.
बाएँ से दाएँ क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए (4!=24)। क्रम बदलते ही arrangement बदल जाती है। / Left-to-right order matters, so (4!=24). Changing the order changes the arrangement.
(5) अक्षरों से (2) ordered positions के लिए \({}^{5}P_{2}=20\)। ordered pairs में ((P,Q)) और ((Q,P)) अलग होते हैं। / For (2) ordered positions from (5) letters, \({}^{5}P_{2}=20\). In ordered pairs, ((P,Q)) and ((Q,P)) are different.
कुल अक्षर (4) हैं और (O) दो समान हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!}=12\)। repeated letters में denominator लगाएं। / There are (4) letters and two identical (O)'s, so \(\frac{4!}{2!}=12\). Use a denominator for repeated letters.
उत्तर \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\) है। चुनी गई पुस्तकों का क्रम बदलने से तरीका बदलता है। / The answer is \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\). Changing the order of selected books changes the way.
\({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\) होता है। क्रम वाली व्यवस्था में permutation लगाएं। / \({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\). Use permutation for ordered arrangements.
पहले स्थान के लिए (4) और दूसरे के लिए (3) विकल्प हैं, इसलिए \(4\times3=12\)। पासवर्ड में स्थान बदलने से arrangement बदलती है। / There are (4) choices for the first place and (3) for the second, so \(4\times3=12\). In passwords, changing positions changes the arrangement.
(7) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (7!=5040) होती है। सभी वस्तुएँ अलग हों तो factorial लगाएं। / The arrangement of (7) distinct objects is (7!=5040). Use factorial when all objects are distinct.
स्थान क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\)। रैंकिंग में क्रमचय का प्रयोग करें। / The positions are ordered, so \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\). Use permutation in ranking questions.
(LAMP) में (4) अलग अक्षर हैं इसलिए (4!=24)। अलग अक्षरों की पूरी व्यवस्था factorial से मिलती है। / The word (LAMP) has (4) distinct letters, so (4!=24). Full arrangement of distinct letters is found by factorial.
दहाई के लिए (4) और इकाई के लिए (3) विकल्प हैं इसलिए \(4\times3=12\)। स्थान बदलने से संख्या बदलती है। / There are (4) choices for tens and (3) for units, so \(4\times3=12\). Changing places changes the number.
पहले स्थान के लिए (6) और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए (30)। अलग स्थानों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / There are (6) choices for the first position and (5) for the second, so (30). Order matters in distinct positions.
(P) दो बार है इसलिए व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!}=60\) होंगी। समान अक्षरों के factorial से भाग दें। / Since (P) occurs twice, arrangements are \(\frac{5!}{2!}=60\). Divide by the factorial of repeated letters.
कुर्सियाँ अलग हैं इसलिए \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\)। सीटों का क्रम बदलने से व्यवस्था बदलती है। / The chairs are distinct, so \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\). Changing seats changes the arrangement.
जब (r=n) हो तो \({}^{n}P_{n}=n!\), इसलिए \({}^{6}P_{6}=720\)। पूरा चयन होने पर factorial लें। / When (r=n), \({}^{n}P_{n}=n!\), so \({}^{6}P_{6}=720\). Use factorial when all are selected.
दहाई स्थान पर (0) नहीं आ सकता, इसलिए \(3\times3=9\) संख्याएँ बनेंगी। संख्या बनाते समय पहले स्थान की शर्त देखें। / Zero cannot be in the tens place, so \(3\times3=9\) numbers are possible. Check the first-place condition in number formation.
(4) अलग फूल (4) अलग स्थानों पर (4!=24) तरीकों से रखे जा सकते हैं। एक-एक वस्तु रखने में व्यवस्था गिनी जाती है। / (4) distinct flowers can be placed in (4) distinct positions in (4!=24) ways. Placing one each counts arrangements.
तीनों स्थान अलग हैं इसलिए \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\)। स्थानों के नाम अलग हों तो क्रमचय लें। / The three positions are distinct, so \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\). Use permutation when positions have different names.
पहला स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed position को पहले अलग करें। / The first position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Separate fixed positions first.
तीन पद अलग हैं इसलिए \({}^{10}P_{3}=10\times9\times8=720\)। अलग पदों में order महत्त्वपूर्ण होता है। / The three posts are distinct, so \({}^{10}P_{3}=10\times9\times8=720\). Order matters for different posts.
दोनों स्थानों पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3\times3=9\)। पुनरावृत्ति हो तो विकल्प कम नहीं होते। / There are (3) choices for each place, so \(3\times3=9\). With repetition, choices do not decrease.
पहला स्थान निश्चित है और शेष (4) बैग (4!=24) तरीकों से लगेंगे। fixed item के बाद बचे items की व्यवस्था करें। / The first position is fixed and the remaining (4) bags can be arranged in (4!=24) ways. Arrange the remaining items after fixing the item.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{9}P_{1}=9\)। एक स्थान के लिए सीधे उपलब्ध वस्तुएँ गिनें। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{9}P_{1}=9\). For one position, count the available objects directly.
(DELHI) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। अलग अक्षरों की संख्या ही factorial का आधार होती है। / The word (DELHI) has (5) distinct letters, so (5!=120). The number of distinct letters is the base of the factorial.
यह \({}^{8}P_{4}=8\times7\times6\times5=1680\) है। (4) स्थानों के लिए (4) घटते गुणनखंड लें। / This is \({}^{8}P_{4}=8\times7\times6\times5=1680\). Take (4) decreasing factors for (4) positions.
\({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\) तरीके होंगे। अक्षरों का क्रम बदलने से arrangement बदलती है। / There will be \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\) ways. Changing the order of letters changes the arrangement.
(M) दो बार है इसलिए \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements हैं। समान अक्षर होने पर कुल arrangements घट जाती हैं। / (M) occurs twice, so there are \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements. Repeated letters reduce total arrangements.
उत्तर \({}^{6}P_{4}=6\times5\times4\times3=360\) है। पंक्ति में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The answer is \({}^{6}P_{4}=6\times5\times4\times3=360\). Order matters in a row.
तीन स्थानों के लिए \(5\times4\times3=60\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में हर अगला विकल्प कम होता है। / For three places, there are \(5\times4\times3=60\) ways. Without repetition, each next choice decreases.
\({}^{n}P_{0}=1\) होता है इसलिए \({}^{7}P_{0}=1\)। शून्य वस्तु चुनने का एक ही तरीका माना जाता है। / \({}^{n}P_{0}=1\), so \({}^{7}P_{0}=1\). Choosing zero objects is counted in one way.
(4) अलग लेबल (4) अलग डिब्बों पर (4!=24) तरीकों से लगेंगे। matching arrangements में factorial काम आता है। / (4) different labels can be pasted on (4) different boxes in (4!=24) ways. Factorial is useful in matching arrangements.
कुल (6) अक्षर हैं और (O) दो समान हैं इसलिए \(\frac{6!}{2!}=360\)। repeated letter के लिए denominator लगाएं। / There are (6) letters and two identical (O)'s, so \(\frac{6!}{2!}=360\). Use a denominator for a repeated letter.
पहले शहर के लिए (5) और दूसरे के लिए (4) विकल्प हैं इसलिए (20)। यात्रा क्रम बदलने से योजना बदलती है। / There are (5) choices for the first city and (4) for the second, so (20). Changing trip order changes the plan.
सैकड़ा स्थान पर (3) विकल्प हैं, फिर (3) और (2) विकल्प हैं, कुल (18)। पहले स्थान पर (0) न रखें। / There are (3) choices for the hundreds place, then (3) and (2) choices, total (18). Do not put (0) in the first place.
(3) अलग झंडों की क्रमबद्ध व्यवस्था (3!=6) है। ऊपर-नीचे का क्रम बदलने से arrangement बदलती है। / The ordered arrangement of (3) distinct flags is (3!=6). Changing top-bottom order changes the arrangement.
दो पद अलग हैं इसलिए \({}^{11}P_{2}=11\times10=110\)। अलग पदों के लिए क्रमचय लगाएं। / The two posts are distinct, so \({}^{11}P_{2}=11\times10=110\). Use permutation for distinct posts.
अंतिम स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed condition को पहले लागू करें। / The last position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Apply the fixed condition first.
\({}^{5}P_{4}=5\times4\times3\times2=120\) है। (r=4) हो तो (4) घटते गुणनखंड लें। / \({}^{5}P_{4}=5\times4\times3\times2=120\). When (r=4), take (4) decreasing factors.
दायाँ और बायाँ स्थान अलग हैं इसलिए \({}^{6}P_{2}=30\)। स्थानों की पहचान अलग हो तो क्रम गिना जाता है। / Right and left positions are distinct, so \({}^{6}P_{2}=30\). When positions are identified, order is counted.
\({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\) कोड बनेंगे। कोड में अक्षरों का स्थान बदलने से कोड बदल जाता है। / \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\) codes are possible. In a code, changing positions changes the code.
(E) दो बार है इसलिए \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements होंगे। repeated letters को अलग-अलग न गिनें। / (E) occurs twice, so \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements are possible. Do not count repeated letters as distinct.
पहला और दूसरा वक्ता क्रम वाले पद हैं इसलिए \({}^{12}P_{2}=132\)। बोलने के क्रम में permutation लगता है। / First and second speakers are ordered positions, so \({}^{12}P_{2}=132\). Speaking order uses permutation.
तीनों स्थानों पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^3=27\)। repetition allowed हो तो हर स्थान पर समान विकल्प रहते हैं। / There are (3) choices for each of the three places, so \(3^3=27\). With repetition allowed, choices remain the same at every place.
सीधी डोरी पर (5) अलग मोतियों की व्यवस्था (5!=120) है। इसे circular arrangement न मानें। / On a straight string, the arrangement of (5) distinct beads is (5!=120). Do not treat it as a circular arrangement.
\({}^{4}P_{0}=1\) और \({}^{4}P_{1}=4\), इसलिए योग (5) है। standard values याद रखें। / \({}^{4}P_{0}=1\) and \({}^{4}P_{1}=4\), so the sum is (5). Remember standard values.
पहले डिब्बे के लिए (7) और दूसरे के लिए (6) विकल्प हैं इसलिए (42)। अलग डिब्बों में क्रमचय गिना जाता है। / There are (7) choices for the first box and (6) for the second, so (42). Permutation is counted for distinct boxes.
(BIHAR) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। सभी अक्षर अलग हों तो denominator नहीं लगता। / The word (BIHAR) has (5) distinct letters, so (5!=120). No denominator is needed when all letters are distinct.
(4) अलग विषय (4) अलग पीरियड में (4!=24) तरीकों से लगते हैं। timetable में order महत्त्वपूर्ण होता है। / (4) different subjects can be arranged in (4) different periods in (4!=24) ways. Order matters in a timetable.
चार स्थानों के लिए \(5\times4\times3\times2=120\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में विकल्प घटते जाते हैं। / For four places, there are \(5\times4\times3\times2=120\) ways. Without repetition, choices keep decreasing.
पुरस्कार अलग हैं इसलिए \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\)। अलग पुरस्कारों में order गिना जाता है। / The prizes are distinct, so \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\). Order is counted for distinct prizes.
(N) दो बार और (O) दो बार हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!2!}=6\)। दो repeated groups हों तो दोनों से भाग दें। / (N) occurs twice and (O) occurs twice, so \(\frac{4!}{2!2!}=6\). Divide by both repeated groups.
\({}^{10}P_{0}=1\) और \({}^{10}P_{1}=10\), इसलिए योग (11) है। आसान योग में पहले values अलग निकालें। / \({}^{10}P_{0}=1\) and \({}^{10}P_{1}=10\), so the sum is (11). In simple sums, find the values separately first.
बाएँ से दाएँ (6) अलग पोस्टरों की व्यवस्था (6!=720) है। linear arrangement में factorial लें। / The left-to-right arrangement of (6) distinct posters is (6!=720). Use factorial in linear arrangement.
इकाई स्थान पर (2,4,6) में से (3) विकल्प हैं और दहाई पर (4) विकल्प, कुल (12)। even number में इकाई स्थान पहले देखें। / The units place has (3) choices from (2,4,6), and the tens place has (4) choices, total (12). For even numbers, check the units place first.
\({}^{9}P_{4}=9\times8\times7\times6=3024\) है। क्रम वाले चयन में \({}^{n}P_{r}\) लगाएं। / \({}^{9}P_{4}=9\times8\times7\times6=3024\). Use \({}^{n}P_{r}\) for ordered selection.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। समान अक्षरों को अलग-अलग मानकर गिनती न करें। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). Do not count identical letters as different.
(8) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (8!=40320) होती है। सभी अलग वस्तुओं के लिए factorial लगाएं। / The arrangement of (8) distinct objects is (8!=40320). Use factorial for all distinct objects.
दो पद अलग हैं इसलिए \({}^{12}P_{2}=12\times11=132\)। अलग पदों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The two posts are distinct, so \({}^{12}P_{2}=12\times11=132\). Order matters for different posts.
(TRAIN) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। सभी अक्षर अलग हों तो denominator नहीं लगता। / The word (TRAIN) has (5) distinct letters, so (5!=120). No denominator is needed when all letters are distinct.
तीन स्थानों के लिए \(4\times3\times2=24\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में हर अगला विकल्प घटता है। / For three places, there are \(4\times3\times2=24\) ways. Without repetition, each next choice decreases.
\({}^{11}P_{2}=11\times10=110\) होता है। (r=2) होने पर दो घटते गुणनखंड लें। / \({}^{11}P_{2}=11\times10=110\). When (r=2), take two decreasing factors.
बजाने का क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\)। क्रम बदलने से सूची बदल जाती है। / Playing order matters, so \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\). Changing the order changes the list.
(P) दो बार समान है इसलिए व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!}=60\) होंगी। समान अक्षर के factorial से भाग दें। / Since (P) occurs twice, arrangements are \(\frac{5!}{2!}=60\). Divide by the factorial of the repeated letter.
मेजें अलग हैं इसलिए \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\)। अलग स्थानों पर बैठाने में क्रम गिना जाता है। / The desks are distinct, so \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\). Order is counted when seating at distinct places.
जब (r=n) हो तो \({}^{n}P_{n}=n!\), इसलिए \({}^{7}P_{7}=5040\)। पूरा चयन होने पर factorial लें। / When (r=n), \({}^{n}P_{n}=n!\), so \({}^{7}P_{7}=5040\). Use factorial when all are selected.
इकाई पर (0) हो तो (4) तरीके और इकाई पर गैर-शून्य सम अंक हो तो \(4\times3=12\) तरीके हैं, कुल (16)। शून्य वाले प्रश्न में cases बनाएं। / If the unit digit is (0), there are (4) ways, and if it is a non-zero even digit, there are \(4\times3=12\) ways, total (16). Make cases for zero questions.
(5) अलग पतंग (5) बच्चों में (5!=120) तरीकों से बाँटी जा सकती हैं। अलग वस्तुओं के एक-एक वितरण में factorial आता है। / (5) different kites can be distributed among (5) children in (5!=120) ways. Factorial appears in one-to-one distribution of distinct objects.
हल करने का क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\)। ordered selection में permutation लगाएं। / The solving order matters, so \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). Use permutation in ordered selection.
पहला स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed condition को पहले लागू करें। / The first position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Apply the fixed condition first.
दो पद अलग हैं इसलिए \({}^{13}P_{2}=13\times12=156\)। पद अलग हों तो combination नहीं लगाएं। / The two posts are distinct, so \({}^{13}P_{2}=13\times12=156\). Do not use combination when posts are different.
हर स्थान पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^3=27\)। repetition allowed हो तो विकल्प कम नहीं होते। / Each place has (3) choices, so \(3^3=27\). When repetition is allowed, choices do not decrease.
अंतिम स्थान निश्चित है और शेष (5) फोल्डर (5!=120) तरीकों से लगेंगे। fixed item के बाद बचे items व्यवस्थित करें। / The last position is fixed and the remaining (5) folders can be arranged in (5!=120) ways. Arrange the remaining items after fixing the item.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{14}P_{1}=14\)। एक स्थान के लिए सीधे उपलब्ध वस्तुएँ गिनें। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{14}P_{1}=14\). For one position, count available objects directly.
(SMART) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। distinct letters की पूरी arrangement factorial होती है। / The word (SMART) has (5) distinct letters, so (5!=120). The full arrangement of distinct letters is factorial.
\({}^{10}P_{4}=10\times9\times8\times7=5040\) है। (4) स्थानों के लिए (4) घटते गुणनखंड लें। / \({}^{10}P_{4}=10\times9\times8\times7=5040\). For (4) places, take (4) decreasing factors.
यह \({}^{5}P_{2}=5\times4=20\) है। ordered letters में (AE) और (EA) अलग माने जाते हैं। / This is \({}^{5}P_{2}=5\times4=20\). In ordered letters, (AE) and (EA) are considered different.
(D) दो बार है इसलिए \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements हैं। repeated letters को अलग-अलग न गिनें। / (D) occurs twice, so there are \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements. Do not count repeated letters as distinct.
उत्तर \({}^{8}P_{5}=8\times7\times6\times5\times4=6720\) है। बेंच पर बाएँ-दाएँ क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The answer is \({}^{8}P_{5}=8\times7\times6\times5\times4=6720\). Left-right order on a bench matters.
इकाई स्थान पर केवल (9) आएगा और बाकी दो स्थान \(4\times3=12\) तरीकों से भरेंगे। odd number में इकाई स्थान पहले देखें। / Only (9) can be in the units place, and the other two places can be filled in \(4\times3=12\) ways. For odd numbers, check the units place first.
\({}^{n}P_{0}=1\) इसलिए \({}^{15}P_{0}=1\)। शून्य वस्तु चुनने का एक तरीका माना जाता है। / \({}^{n}P_{0}=1\), so \({}^{15}P_{0}=1\). Choosing zero objects is counted in one way.
(5) अलग टिकट (5) अलग लिफाफों पर (5!=120) तरीकों से लगेंगे। one-to-one matching में factorial उपयोगी है। / (5) different stamps can be pasted on (5) different envelopes in (5!=120) ways. Factorial is useful in one-to-one matching.
(A) तीन बार और (N) दो बार है इसलिए \(\frac{6!}{3!2!}=60\)। repeated groups के factorial से भाग दें। / (A) occurs three times and (N) twice, so \(\frac{6!}{3!2!}=60\). Divide by factorials of repeated groups.
शुरू और समाप्ति क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{6}P_{2}=30\)। route में starting और ending बदलने से मामला बदलता है। / Starting and ending are ordered, so \({}^{6}P_{2}=30\). In a route, changing start and end changes the case.
सैकड़ा स्थान पर (3) विकल्प हैं, फिर (3) और (2) विकल्प मिलते हैं, कुल (18)। पहले स्थान पर (0) की अनुमति नहीं है। / There are (3) choices for the hundreds place, then (3) and (2) choices, total (18). Zero is not allowed in the first place.
ऊपर से नीचे (4) अलग कार्डों की व्यवस्था (4!=24) है। linear order में factorial प्रयोग करें। / The top-to-bottom arrangement of (4) distinct cards is (4!=24). Use factorial in linear order.
पहला और दूसरा वक्ता अलग क्रम वाले स्थान हैं इसलिए \({}^{14}P_{2}=182\)। speaking order में permutation लगता है। / First and second speakers are ordered positions, so \({}^{14}P_{2}=182\). Speaking order uses permutation.
अंतिम स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed position को पहले अलग करें। / The last position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Separate the fixed position first.
\({}^{6}P_{5}=6\times5\times4\times3\times2=720\) है। पाँच स्थान हों तो पाँच घटते गुणनखंड लें। / \({}^{6}P_{5}=6\times5\times4\times3\times2=720\). For five places, take five decreasing factors.
ऊपरी और निचला रैक अलग हैं इसलिए \({}^{8}P_{2}=56\)। अलग स्थानों में order गिना जाता है। / The upper and lower racks are distinct, so \({}^{8}P_{2}=56\). Order is counted for distinct positions.
\({}^{6}P_{2}=6\times5=30\) कोड बनेंगे। कोड में अक्षर का स्थान बदलने से कोड बदलता है। / \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\) codes are possible. In a code, changing the position of letters changes the code.
(C) दो बार और (O) दो बार हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!2!}=6\)। दो repeated letters हों तो दोनों से भाग दें। / (C) occurs twice and (O) occurs twice, so \(\frac{4!}{2!2!}=6\). Divide by both repeated letters.
तीन rank क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{15}P_{3}=15\times14\times13=2730\)। rank वाले प्रश्न permutation के होते हैं। / The three ranks are ordered, so \({}^{15}P_{3}=15\times14\times13=2730\). Rank questions use permutation.
दोनों स्थानों पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^2=9\)। repetition allowed हो तो विकल्प वही रहते हैं। / There are (3) choices at both places, so \(3^2=9\). With repetition allowed, choices remain the same.
सीधी रेखा में (6) अलग मोतियों की व्यवस्था (6!=720) है। इसे circular arrangement न मानें। / In a straight line, the arrangement of (6) distinct beads is (6!=720). Do not treat it as a circular arrangement.
\({}^{5}P_{0}=1\) और \({}^{5}P_{2}=20\), इसलिए योग (21) है। पहले अलग-अलग values निकालें। / \({}^{5}P_{0}=1\) and \({}^{5}P_{2}=20\), so the sum is (21). Find the values separately first.
पहले स्लॉट के लिए (9) और दूसरे के लिए (8) विकल्प हैं इसलिए (72)। स्लॉट अलग हों तो permutation गिनें। / There are (9) choices for the first slot and (8) for the second, so (72). Count permutation when slots are distinct.
(MOUSE) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। अलग अक्षरों में factorial ही कुल व्यवस्था देता है। / The word (MOUSE) has (5) distinct letters, so (5!=120). For distinct letters, factorial gives total arrangements.
(5) अलग घंटियाँ (5) स्थानों पर (5!=120) तरीकों से लगेंगी। निर्धारित स्थानों की arrangement factorial से होती है। / (5) different bells can be placed at (5) positions in (5!=120) ways. Arrangements at fixed positions use factorial.
चार स्थानों के लिए \(6\times5\times4\times3=360\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में विकल्प घटते हैं। / For four places, there are \(6\times5\times4\times3=360\) ways. Without repetition, choices decrease.
प्रदर्शन क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\)। order बदलने से कार्यक्रम बदल जाता है। / Performance order matters, so \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). Changing order changes the programme.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। समान अक्षरों को अलग-अलग न गिनें। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). Do not count identical letters as different.
\({}^{12}P_{0}=1\) और \({}^{12}P_{1}=12\), इसलिए योग (13) है। standard values याद रखें। / \({}^{12}P_{0}=1\) and \({}^{12}P_{1}=12\), so the sum is (13). Remember standard values.
बाएँ से दाएँ (7) अलग पोस्टकार्डों की व्यवस्था (7!=5040) है। linear arrangement में factorial लें। / The left-to-right arrangement of (7) distinct postcards is (7!=5040). Use factorial in linear arrangement.
इकाई स्थान पर (2,4,6) में से (3) विकल्प और दहाई पर (4) विकल्प हैं, कुल (12)। even number में इकाई स्थान पहले देखें। / The units place has (3) choices from (2,4,6), and the tens place has (4) choices, total (12). For even numbers, check the units place first.
\({}^{11}P_{3}=11\times10\times9=990\) है। क्रम वाले चयन में \({}^{n}P_{r}\) लगाएं। / \({}^{11}P_{3}=11\times10\times9=990\). Use \({}^{n}P_{r}\) in ordered selection.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। repeated letters के factorial से भाग देना जरूरी है। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). It is necessary to divide by factorials of repeated letters.
