Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \( \frac{5\pi}{12} \) रेडियन/\( \frac{5\pi}{12} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(75^\circ=\frac{75\pi}{180}=\frac{5\pi}{12}\) है। डिग्री से रेडियन में \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करें। / \(75^\circ=\frac{75\pi}{180}=\frac{5\pi}{12}\). Multiply by \( \frac{\pi}{180} \) to convert degrees to radians.
B. \( \frac{7\pi}{12} \) रेडियन/\( \frac{7\pi}{12} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(105^\circ=\frac{105\pi}{180}=\frac{7\pi}{12}\) होता है। पहले भिन्न को सरल करें फिर उत्तर चुनें। / \(105^\circ=\frac{105\pi}{180}=\frac{7\pi}{12}\). Simplify the fraction before choosing the answer.
C. \( \frac{11\pi}{12} \) रेडियन/\( \frac{11\pi}{12} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(165^\circ=\frac{165\pi}{180}=\frac{11\pi}{12}\) है। \(15^\circ\) के गुणजों में हर (12) आ सकता है। / \(165^\circ=\frac{165\pi}{180}=\frac{11\pi}{12}\). Multiples of \(15^\circ\) can lead to denominator (12).
D. \( \frac{13\pi}{12} \) रेडियन/\( \frac{13\pi}{12} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(195^\circ=\frac{195\pi}{180}=\frac{13\pi}{12}\) है। डिग्री को (180) से भाग देकर \( \pi \) लगाएं। / \(195^\circ=\frac{195\pi}{180}=\frac{13\pi}{12}\). Divide the degree measure by (180) and attach \( \pi \).
A. \( \frac{17\pi}{12} \) रेडियन/\( \frac{17\pi}{12} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(255^\circ=\frac{255\pi}{180}=\frac{17\pi}{12}\) होता है। सरलीकरण में (15) से भाग देना उपयोगी है। / \(255^\circ=\frac{255\pi}{180}=\frac{17\pi}{12}\). Dividing by (15) is useful for simplification.
B. \( \frac{19\pi}{12} \) रेडियन/\( \frac{19\pi}{12} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(285^\circ=\frac{285\pi}{180}=\frac{19\pi}{12}\) है। ऐसे कोणों में \( \frac{\pi}{12} \) की गिनती काम आती है। / \(285^\circ=\frac{285\pi}{180}=\frac{19\pi}{12}\). Counting in \( \frac{\pi}{12} \) steps helps for such angles.
C. \( \frac{23\pi}{12} \) रेडियन/\( \frac{23\pi}{12} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\(345^\circ=\frac{345\pi}{180}=\frac{23\pi}{12}\) है। \(360^\circ\) के निकट कोणों में गलती से बचें। / \(345^\circ=\frac{345\pi}{180}=\frac{23\pi}{12}\). Be careful with angles near \(360^\circ\).
डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए कोण को \(\frac{\pi}{180}\) से गुणा करते हैं: \((-135^\circ)\times\frac{\pi}{180}=-\frac{135\pi}{180}=-\frac{3\pi}{4}\)। इसलिए सही उत्तर \(-\frac{3\pi}{4}\) है। \(-\frac{\pi}{4}\), \(-45^\circ\) के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण को रेडियन में बदलते समय ऋण चिह्न अवश्य बनाए रखें। / To convert degrees to radians, multiply the angle by \(\frac{\pi}{180}\): \((-135^\circ)\times\frac{\pi}{180}=-\frac{135\pi}{180}=-\frac{3\pi}{4}\). Hence, the correct answer is \(-\frac{3\pi}{4}\). Note that \(-\frac{\pi}{4}\) corresponds to \(-45^\circ\), not \(-135^\circ\). Exam tip: Always retain the negative sign when converting a negative angle to radians.
\( \frac{5\pi}{12}\times \frac{180^\circ}{\pi}=75^\circ\) है। \( \pi \) कटाकर \(180^\circ\) को हर से भाग दें। / \( \frac{5\pi}{12}\times \frac{180^\circ}{\pi}=75^\circ\). Cancel \( \pi \) and divide \(180^\circ\) by the denominator.
\( \frac{7\pi}{12}=\frac{7\times 180^\circ}{12}=105^\circ\) होता है। रेडियन से डिग्री में \( \frac{180^\circ}{\pi} \) लगाएं। / \( \frac{7\pi}{12}=\frac{7\times 180^\circ}{12}=105^\circ\). Use \( \frac{180^\circ}{\pi} \) for radians to degrees.
\( \frac{17\pi}{12}=17\times 15^\circ=255^\circ\) है। \( \frac{\pi}{12} \) को \(15^\circ\) मानकर जल्दी हल करें। / \( \frac{17\pi}{12}=17\times 15^\circ=255^\circ\). Take \( \frac{\pi}{12}=15^\circ\) for a quick solution.
\( \frac{19\pi}{12}\times \frac{180^\circ}{\pi}=285^\circ\) है। हर (12) हो तो \(15^\circ\) से गुणा करें। / \( \frac{19\pi}{12}\times \frac{180^\circ}{\pi}=285^\circ\). If the denominator is (12) multiply the numerator by \(15^\circ\).
\( \frac{23\pi}{12}=23\times 15^\circ=345^\circ\) होता है। \(360^\circ\) के पास वाले मानों में सावधानी रखें। / \( \frac{23\pi}{12}=23\times 15^\circ=345^\circ\). Be careful with values close to \(360^\circ\).
सहसमापी कोणों में अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(840^\circ-2\times360^\circ=120^\circ\), इसलिए दिया गया कोण \(120^\circ\) के सहसमापी है और यह \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच है। \(90^\circ\) निकट लग सकता है, पर \(840^\circ-90^\circ=750^\circ\), जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: कोण को मानक सीमा में लाने के लिए उसमें \(360^\circ\) के गुणज जोड़ें या घटाएँ। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(840^\circ-2\times360^\circ=120^\circ\), the coterminal angle lying between \(0^\circ\) and \(360^\circ\) is \(120^\circ\). Although \(90^\circ\) may seem close, \(840^\circ-90^\circ=750^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: add or subtract multiples of \(360^\circ\) to bring an angle into the required interval.
सहसमापी कोणों में अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(-780^\circ\) में \(3\times360^\circ=1080^\circ\) जोड़ने पर \(300^\circ\) मिलता है: \(-780^\circ+1080^\circ=300^\circ\)। इसलिए सही उत्तर \(300^\circ\) है। \(240^\circ\) प्राप्त नहीं होता, क्योंकि \(240^\circ-(-780^\circ)=1020^\circ\), जो \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण में \(360^\circ\) जोड़ते रहें, जब तक सबसे छोटा धनात्मक कोण न मिल जाए। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Adding \(3\times360^\circ=1080^\circ\) to \(-780^\circ\) gives \(300^\circ\): \(-780^\circ+1080^\circ=300^\circ\). Hence, \(300^\circ\) is correct. \(240^\circ\) is not coterminal because \(240^\circ-(-780^\circ)=1020^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: Keep adding \(360^\circ\) to a negative angle until the least positive angle is obtained.
\(1125^\circ-1080^\circ=45^\circ\) है। मुख्य कोण के लिए \(0^\circ\) से \(360^\circ\) की सीमा लें। / \(1125^\circ-1080^\circ=45^\circ\). For the principal angle use the range from \(0^\circ\) to \(360^\circ\).
\( -1020^\circ+1080^\circ=60^\circ \) है। ऋणात्मक बड़े कोणों में \(360^\circ\) के उचित गुणज जोड़ें। / \( -1020^\circ+1080^\circ=60^\circ \). Add a suitable multiple of \(360^\circ\) for large negative angles.
\( \frac{25\pi}{6}-\frac{24\pi}{6}=\frac{\pi}{6} \) है। रेडियन में \(2\pi\) घटाकर मुख्य कोण निकालें। / \( \frac{25\pi}{6}-\frac{24\pi}{6}=\frac{\pi}{6} \). Subtract \(2\pi\) in radians to find the principal angle.
\( -\frac{17\pi}{4}+\frac{24\pi}{4}=\frac{7\pi}{4} \) है। ऋणात्मक रेडियन कोण में \(2\pi\) के गुणज जोड़ें। / \( -\frac{17\pi}{4}+\frac{24\pi}{4}=\frac{7\pi}{4} \). Add multiples of \(2\pi\) to a negative radian angle.
\( -\frac{11\pi}{3}+\frac{12\pi}{3}=\frac{\pi}{3} \) होता है। हर समान रखकर \(2\pi\) जोड़ना आसान है। / \( -\frac{11\pi}{3}+\frac{12\pi}{3}=\frac{\pi}{3} \). Keeping the same denominator makes adding \(2\pi\) easy.
\(725^\circ-5^\circ=720^\circ=2\times 360^\circ\) इसलिए वे सहसमापी हैं। अंतर \(360^\circ\) का गुणज हो तो कोण सहसमापी होते हैं। / \(725^\circ-5^\circ=720^\circ=2\times 360^\circ\) so they are coterminal. If the difference is a multiple of \(360^\circ\) the angles are coterminal.
\( -220^\circ+360^\circ=140^\circ \) और \(140^\circ\) द्वितीय चतुर्थांश में है। ऋणात्मक कोण को पहले धनात्मक सहसमापी कोण में बदलें। / \( -220^\circ+360^\circ=140^\circ \) and \(140^\circ\) lies in the second quadrant. First convert a negative angle to a positive coterminal angle.
\( -310^\circ+360^\circ=50^\circ \) है और \(50^\circ\) प्रथम चतुर्थांश में है। सहसमापी कोण से चतुर्थांश आसानी से मिलता है। / \( -310^\circ+360^\circ=50^\circ \) and \(50^\circ\) lies in the first quadrant. The coterminal angle gives the quadrant easily.
\( \frac{8\pi}{5}=288^\circ \) है इसलिए यह चतुर्थ चतुर्थांश में है। रेडियन कोण को जरूरत होने पर डिग्री में बदलें। / \( \frac{8\pi}{5}=288^\circ \) so it lies in the fourth quadrant. Convert radians to degrees when needed.
\( \frac{7\pi}{10}=126^\circ \) है और यह \(90^\circ\) से \(180^\circ\) के बीच है। चतुर्थांश के लिए कोण की सीमा देखें। / \( \frac{7\pi}{10}=126^\circ \) and it lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\). Check the interval to decide the quadrant.
\( \frac{11\pi}{10}=198^\circ \) है इसलिए यह तृतीय चतुर्थांश में है। \(180^\circ\) और \(270^\circ\) के बीच तीसरा चतुर्थांश होता है। / \( \frac{11\pi}{10}=198^\circ \) so it is in the third quadrant. The interval between \(180^\circ\) and \(270^\circ\) is the third quadrant.
(1) रेडियन \( \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ \) होता है। अनुमान में \( \pi\approx 3.14 \) लें। / (1) radian is \( \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ \). Use \( \pi\approx 3.14 \) for approximation.
\(2.5\times 57.3^\circ\approx 143.25^\circ\) है। (1) रेडियन को \(57.3^\circ\) मानकर अनुमान करें। / \(2.5\times 57.3^\circ\approx 143.25^\circ\). Estimate by taking (1) radian as \(57.3^\circ\).
B. \(90^\circ\) और \(180^\circ\)/\(90^\circ\) and \(180^\circ\)
Explanation
Simple Explanation
\(135^\circ\) \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच है। यही द्वितीय चतुर्थांश की सीमा है। / \(135^\circ\) lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\). This is the interval of the second quadrant.
ऋणात्मक (x)-अक्ष पर अंतिम भुजा \(180^\circ\) पर होती है। अक्षीय कोणों को चतुर्थांश में नहीं गिनते। / The terminal side lies on the negative (x)-axis at \(180^\circ\). Axis angles are not counted in quadrants.
\(540^\circ-360^\circ=180^\circ\) है इसलिए अंतिम भुजा ऋणात्मक (x)-अक्ष पर है। पहले सहसमापी कोण निकालें। / \(540^\circ-360^\circ=180^\circ\) so the terminal side lies on the negative (x)-axis. First find the coterminal angle.
\( -90^\circ \) दक्षिणावर्त घूमने पर ऋणात्मक (y)-अक्ष पर पहुंचता है। ऋणात्मक दिशा को ध्यान से देखें। / \( -90^\circ \) reaches the negative (y)-axis by clockwise rotation. Watch the negative direction carefully.
\(30'=\frac{30}{60}^\circ=0.5^\circ\) इसलिए कुल \(18.5^\circ\) है। मिनट को डिग्री में बदलने के लिए (60) से भाग दें। / \(30'=\frac{30}{60}^\circ=0.5^\circ\) so the total is \(18.5^\circ\). Divide minutes by (60) to convert them into degrees.
\(15'=\frac{15}{60}^\circ=0.25^\circ\) इसलिए \(42^\circ 15'=42.25^\circ\) है। मिनट को सीधे दशमलव न लिखें। / \(15'=\frac{15}{60}^\circ=0.25^\circ\) so \(42^\circ 15'=42.25^\circ\). Do not write minutes directly as decimals.
\(0.75^\circ\times 60'=45'\) इसलिए \(23.75^\circ=23^\circ 45'\) है। दशमलव भाग को (60) से गुणा करें। / \(0.75^\circ\times 60'=45'\) so \(23.75^\circ=23^\circ 45'\). Multiply the decimal part by (60).
क्योंकि \(1^\circ=3600''\) और \(1'=60''\), इसलिए \(12^\circ 20' 30''=12\times3600+20\times60+30=43200+1200+30=44430''\)। अतः विकल्प A सही है। \(43320''\) में मिनटों और सेकंडों का रूपांतरण सही नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: कोण को सेकंड में बदलते समय पहले डिग्री को \(3600\) से और मिनट को \(60\) से गुणा करें। / Since \(1^\circ=3600''\) and \(1'=60''\), \(12^\circ 20' 30''=12\times3600+20\times60+30=43200+1200+30=44430''\). Therefore, option A is correct. \(43320''\) results from an incorrect conversion of the minutes and seconds. Exam tip: when converting an angle to seconds, multiply degrees by \(3600\) and minutes by \(60\).
\(1^\circ=3600''\) होता है। \(9050''=2\times3600''+1850''\), इसलिए \(2^\circ\) प्राप्त होते हैं। अब \(1850''=30\times60''+50''\), अतः शेष भाग \(30'\ 50''\) है। इसलिए सही रूप \(2^\circ 30' 50''\) है। विकल्प B में मिनट और सेकंड का विभाजन सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले सेकंड को \(3600\) से भाग देकर डिग्री, फिर शेष को \(60\) से भाग देकर मिनट निकालें। / Since \(1^\circ=3600''\), \(9050''=2\times3600''+1850''\), giving \(2^\circ\). Next, \(1850''=30\times60''+50''\), so the remaining part is \(30'\ 50''\). Therefore, \(9050''=2^\circ 30' 50''\). Option B does not split the remaining seconds correctly into minutes and seconds. Exam tip: divide total seconds by \(3600\) first for degrees, then divide the remainder by \(60\) for minutes.
रेडियन में \( \theta=\frac{s}{r}=\frac{14}{7}=2 \) होता है। चाप लंबाई वाले प्रश्नों में \(s=r\theta\) प्रयोग करें। / In radians \( \theta=\frac{s}{r}=\frac{14}{7}=2 \). Use \(s=r\theta\) in arc length questions.
\(s=r\theta=5\times \frac{3\pi}{5}=3\pi\) सेमी है। रेडियन में कोण हो तभी यह सूत्र सीधे लगता है। / \(s=r\theta=5\times \frac{3\pi}{5}=3\pi\) cm. This formula applies directly when the angle is in radians.
A. \( \frac{10\pi}{3} \) सेमी/\( \frac{10\pi}{3} \) cm
Explanation
Simple Explanation
\(60^\circ=\frac{\pi}{3}\) और \(s=10\times \frac{\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}\) सेमी है। चाप लंबाई से पहले कोण को रेडियन में बदलें। / \(60^\circ=\frac{\pi}{3}\) and \(s=10\times \frac{\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}\) cm. Convert the angle into radians before finding arc length.
\(135^\circ=\frac{3\pi}{4}\) और \(s=8\times \frac{3\pi}{4}=6\pi\) सेमी है। डिग्री कोण को पहले रेडियन में बदलना जरूरी है। / \(135^\circ=\frac{3\pi}{4}\) and \(s=8\times \frac{3\pi}{4}=6\pi\) cm. It is necessary to convert a degree angle into radians first.
वृत्त की चाप-लंबाई का सूत्र \(s=r\theta\) है, जहाँ \(\theta\) रेडियन में होना चाहिए। अतः \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{9}{3}=3\) cm। इसलिए सही उत्तर 3 cm है। \(27\) cm विकल्प में \(s\) को \(\theta\) से गुणा किया गया है, जबकि त्रिज्या ज्ञात करने के लिए भाग देना होता है। परीक्षा टिप: चाप-लंबाई के प्रश्नों में कोण को हमेशा रेडियन में लेकर \(s=r\theta\) लागू करें। / The arc-length formula is \(s=r\theta\), where \(\theta\) must be in radians. Thus, \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{9}{3}=3\) cm. Therefore, the correct answer is 3 cm. The option 27 cm results from multiplying \(s\) by \(\theta\), whereas finding the radius requires division. Exam tip: For arc-length questions, use \(s=r\theta\) only when the angle is in radians.
D. \( \frac{3}{2} \) रेडियन/\( \frac{3}{2} \) radians
Explanation
Simple Explanation
\( \theta=\frac{s}{r}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2} \) रेडियन है। चाप और त्रिज्या की इकाई समान होनी चाहिए। / \( \theta=\frac{s}{r}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2} \) radians. The arc length and radius must have the same unit.
रेडियन में कोण के लिए सूत्र \(\theta=\frac{s}{r}\) होता है, जहाँ \(s\) चाप की लंबाई और \(r\) त्रिज्या है। यहाँ \(s=r\), इसलिए \(\theta=\frac{r}{r}=1\) रेडियन। \(\pi\) रेडियन अर्धवृत्त के कोण को दर्शाता है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: चाप-लंबाई वाले प्रश्नों में कोण निकालने से पहले \(\theta=\frac{s}{r}\) का उपयोग करें। / For an angle measured in radians, \(\theta=\frac{s}{r}\), where \(s\) is the arc length and \(r\) is the radius. Here \(s=r\), so \(\theta=\frac{r}{r}=1\) radian. \(\pi\) radians represents a semicircle, so it is not correct here. Exam tip: For arc-length questions, first use \(\theta=\frac{s}{r}\).
\(s=r\theta=14\times \frac{\pi}{7}=2\pi\) सेमी है। रेडियन कोण के साथ \(s=r\theta\) सीधे लागू करें। / \(s=r\theta=14\times \frac{\pi}{7}=2\pi\) cm. Apply \(s=r\theta\) directly with a radian angle.
त्रिज्यखंड क्षेत्रफल \( \frac{1}{2}r^2\theta \) से \( \frac{1}{2}\times36\times\frac{\pi}{3}=6\pi \) है। कोण रेडियन में हो तो सूत्र सीधे लगाएं। / The sector area is \( \frac{1}{2}r^2\theta \) so \( \frac{1}{2}\times36\times\frac{\pi}{3}=6\pi \). Apply the formula directly when the angle is in radians.
