Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। सूची बनाते समय हर पहले तत्व को (B) के हर तत्व से मिलाएं। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). While listing, pair each first-set element with every element of (B).
कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की संख्या का सूत्र है: n(P×Q)=n(P)×n(Q)। यहाँ n(P)=3 और n(Q)=1, इसलिए n(P×Q)=3×1=3। वास्तव में P×Q={(0,1),(4,1),(8,1)} है। विकल्प A केवल Q के तत्वों की संख्या बताता है, जबकि विकल्प C और D गलत गणनाएँ हैं। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल की cardinality निकालने के लिए दोनों समुच्चयों में तत्वों की संख्या गुणा करें। / The number of ordered pairs in a Cartesian product is given by n(P×Q)=n(P)×n(Q). Here, n(P)=3 and n(Q)=1, so n(P×Q)=3×1=3. In fact, P×Q={(0,1),(4,1),(8,1)}. Option A gives only the number of elements in Q, while options C and D result from incorrect counting. Exam tip: multiply the cardinalities of the two sets to find the cardinality of their Cartesian product.
(A) का एकमात्र तत्व (7) पहले स्थान पर रहेगा। दूसरे स्थान पर (B) के सभी तत्व क्रम से आएंगे। / The only element (7) of (A) stays in the first position. All elements of (B) come in the second position one by one.
((3,1)) में पहला घटक (3) है, लेकिन \(3\notin X\)। सदस्यता जांचते समय पहला और दूसरा स्थान अलग-अलग देखें। / In ((3,1)), the first component is (3), but \(3\notin X\). Check the first and second positions separately for membership.
\(A\times B\) में पहला घटक हमेशा पहले समुच्चय (A) से होता है। यही कार्तीय गुणन की मूल पहचान है। / In \(A\times B\), the first component always comes from the first set (A). This is the basic identity of Cartesian product.
दूसरे घटक के लिए (S) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय के साथ गुणन हमेशा खाली देता है। / There is no element in (S) for the second component, so no pair is formed. Product with an empty set gives the empty set.
दो सीमित समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की संख्या \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)\) होती है। इसलिए \(n(A\times B)=6\times2=12\), अतः विकल्प B सही है। ध्यान रखें कि कार्तीय गुणनफल के लिए संख्याओं का योग नहीं, बल्कि गुणन किया जाता है। / For two finite sets, the number of ordered pairs in their Cartesian product is given by \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)\). Thus, \(n(A\times B)=6\times2=12\), so option B is correct. Remember that the cardinalities are multiplied, not added, for a Cartesian product.
\(B\times A\) में पहला घटक (B) से (c) और दूसरा घटक (A) से (a) या (b) होगा। उल्टा क्रम अलग उत्तर देता है। / In \(B\times A\), the first component is (c) from (B), and the second is (a) or (b) from (A). Reversed order gives a different answer.
परिभाषा के अनुसार \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\)। सेट-बिल्डर रूप में भी घटकों का क्रम न बदलें। / By definition, \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\). Do not change the order of components in set-builder form.
दो क्रमित युग्म तभी समान होते हैं जब उनके संगत घटक बराबर हों। इसलिए पहले घटकों से \(m=4\) और दूसरे घटकों से \(8=n\), अर्थात् \(n=8\)। विकल्प A में घटकों का क्रम उलट दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / Two ordered pairs are equal only when their corresponding components are equal. Comparing the first components gives \(m=4\), and comparing the second components gives \(8=n\), so \(n=8\). Option A incorrectly reverses the component order. Exam tip: The order of elements matters in an ordered pair.
